2.1 三角形
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 三角形的高
1.(概念应用题)如图,△ABC的边BC上的高是(A)
A.线段AF B.线段DB
C.线段CF D.线段BE
2.如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则(B)
A.线段CD是△ABC的AC边上的高线
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线
3.(2024·遵义质检)如图,在△ABC中,AD与CE是△ABC的两条高,AB=CE=4,BC=5,则AD= .
4.在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC=
80°或40° .
知识点2 三角形的角平分线、中线
5.如图,AD是△ABC的中线,则下列结论正确的是(B)
A.∠BAD=∠CAD
B.BD=CD
C.AB=AC
D.AC=AD
6.(2024·遵义市播州区期末)如图,在△ABC中,AF是高,AD平分∠BAC,∠BAC=80°,
∠C=60°,则∠DAF的度数是(A)
A.10° B.15° C.20° D.30°
7.BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是 2 .
8.如图,AD,BE分别是△ABC的高和角平分线,∠ABC=66°,∠AEB=76°.求∠CAD的度数.
【解析】因为BE是△ABC的角平分线,∠ABC=66°,
所以∠EBC=∠ABC=×66°=33°.
因为AD是△ABC的高,
所以∠ADC=90°.
因为∠AEB=76°,所以∠BEC=104°,
所以∠C=180°-104°-33°=43°,所以∠CAD=180°-90°-∠C=90°-43°=47°.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.用三角板作△ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是(A)
10.下列说法错误的是(A)
A.三角形的三条高的交点一定在三角形内部
B.三角形的三条中线的交点一定在三角形内部
C.三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部
D.三角形的高、中线和角平分线都有三条
11.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AD的中点,则图中与△ABE的面积相等的三角形有(B)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
12.如图,已知△ABC.
(1)作中线AD;
(2)作△ABD的高BE及△ACD的高CF.
【解析】(1)取BC的中点D,连接AD,中线AD如图所示;
(2)过B作BE⊥AD,垂足为E,过C作CF⊥AD,垂足为F,△ABD的高BE及△ACD的高CF如图所示.
13.(素养提升题)(教材再开发·P45练习T2改编)如图,BD是△ABC的中线,点P是△ABC的重心,连接PC.
(1)写出图中的所有三角形;
(2)若延长CP交AB于点E,BC=5 cm,AC=7 cm,AB为整数,求整数AE的长.
【解析】(1)图中的三角形有△ABC,△ABD,△CBD,△BPC,△DPC;
(2)因为BC=5 cm,AC=7 cm,
所以7 cm-5 cm
即2 cm所以AB=3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,7 cm,8 cm,9 cm,10 cm,11 cm,
因为点P是△ABC的重心,
所以点E是AB的中点,即AE=AB,
又AE为整数,
所以AE=2 cm,3 cm,4 cm,5 cm.
(1)在面积问题中,中线往往把三角形的面积等分,如果两三角形高相同,我们往往把面积之比转化为底边之比.
(2)在涉及中线有关的线段长度问题,我们往往考虑倍长中线.2.1 三角形
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 三角形的高
1.(概念应用题)如图,△ABC的边BC上的高是( )
A.线段AF B.线段DB
C.线段CF D.线段BE
2.如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则( )
A.线段CD是△ABC的AC边上的高线
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线
3.(2024·遵义质检)如图,在△ABC中,AD与CE是△ABC的两条高,AB=CE=4,BC=5,则AD= .
4.在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC=
.
知识点2 三角形的角平分线、中线
5.如图,AD是△ABC的中线,则下列结论正确的是( )
A.∠BAD=∠CAD
B.BD=CD
C.AB=AC
D.AC=AD
6.(2024·遵义市播州区期末)如图,在△ABC中,AF是高,AD平分∠BAC,∠BAC=80°,
∠C=60°,则∠DAF的度数是( )
A.10° B.15° C.20° D.30°
7.BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是 .
8.如图,AD,BE分别是△ABC的高和角平分线,∠ABC=66°,∠AEB=76°.求∠CAD的度数.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.用三角板作△ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是( )
10.下列说法错误的是( )
A.三角形的三条高的交点一定在三角形内部
B.三角形的三条中线的交点一定在三角形内部
C.三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部
D.三角形的高、中线和角平分线都有三条
11.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AD的中点,则图中与△ABE的面积相等的三角形有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
12.如图,已知△ABC.
(1)作中线AD;
(2)作△ABD的高BE及△ACD的高CF.
13.(素养提升题)(教材再开发·P45练习T2改编)如图,BD是△ABC的中线,点P是△ABC的重心,连接PC.
(1)写出图中的所有三角形;
(2)若延长CP交AB于点E,BC=5 cm,AC=7 cm,AB为整数,求整数AE的长.
(1)在面积问题中,中线往往把三角形的面积等分,如果两三角形高相同,我们往往把面积之比转化为底边之比.
(2)在涉及中线有关的线段长度问题,我们往往考虑倍长中线.2.1 三角形
第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 三角形内角和定理及应用
1.(2023·遵义期末)如图,∠ABC=50°,点D,E分别在射线BA,BC上,将三角形BED沿着DE折叠,若点B恰好落在射线DA的B'处,则∠BEB'的度数是( )
A.50° B.80° C.100° D.130°
2.如图,点O是△ABC内一点,∠A=80°,BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BOC等于( )
A.140° B.120° C.130° D.无法确定
3.如图,∠1+∠2+∠3+∠4= .
4.等腰三角形一个底角和顶角的度数比是2∶1,这个三角形的顶角是 ,按角分它是一个 三角形.
知识点2 三角形外角的性质及应用
5.将一副三角板按如图所示的方式放置,图中∠CAF的大小等于( )
A.50° B.60° C.75° D.85°
6.如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠1>∠4+∠5 D.∠2<∠5
7.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使点B落在AC边上的E处,则∠ADE= .
8.(2024·贵阳花溪区质检)如图,在△ABC中,AN是∠BAC的平分线,∠B=50°,
∠ANC=80°.求∠C的度数.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD的度数是( )
A.145° B.150° C.155° D.160°
10.在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则( )
A.必有一个内角等于30°
B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60°
D.必有一个内角等于90°
11.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,分别沿MN和EF折叠,使点A,B与点C重合,则∠NCF的度数为( )
A.22° B.21° C.20° D.19°
12.如图,在△ABC中,∠A=80°,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,得∠A2,…,∠A3BC与∠A3CD的平分线相交于点A4,得∠A4,则∠A4的度数为( )
A.5° B.10° C.15° D.20°
13.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,
∠E=45°,∠A=60°,则∠DBC= °.
14.如图,在△ABC中,∠C=35°,将△ABC沿着直线l折叠,点C落在点D的位置,则∠1-∠2= .
15.(素养提升题)(2024·贵阳花溪区质检)
(1)探究:如图1,求证:∠BOC=∠A+∠B+∠C.
(2)应用:如图2,∠ABC=100°,∠DEF=130°,求∠A+∠C+∠D+∠F的度数.
模型 内外角平分线夹角的三种关系
(1)如图①,BP,CP为△ABC的内角平分线,则∠BPC=90°+∠A.
(2)如图②,BP,CP为△ABC的内、外角平分线,∠BPC=∠A.
(3)如图③,BP,CP为△ABC的外角平分线,∠BPC=90° -∠A.第2章 三角形
2.1 三角形
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 与三角形有关的概念
1.(概念应用题)小明用三根火柴组成了如图所示的图形,其中符合三角形概念的图形是()
2.下列说法正确的是(B)
A.三角形可分为钝角三角形、等腰三角形、锐角三角形
B.等边三角形是特殊的等腰三角形
C.等腰三角形是特殊的等边三角形
D.所有的等腰三角形都是锐角三角形
3.如图,图中有 个三角形;其中以AB为边的三角形有 ;含∠OCB的三角形为 ;在△BOC中,OC的对角是
,∠OCB的对边是 .
知识点2 三角形的三边关系
4.下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是( )
A.1 cm,2 cm,3 cm
B.3 cm,4 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm
D.6 cm,9 cm,2 cm
5.(2024·遵义绥阳县期中)若一个三角形的两边长分别是3和4,则第三边的长可能
是( )
A.8 B.7 C.2 D.1
6.八一中学九年级二班学生杨冲和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和3 km.那么杨冲,李锐两家的直线距离不可能是( )
A.1 km B.2 km C.3 km D.8 km
7.已知三角形的两边a=3,b=7,第三边是c.
(1)第三边c的取值范围是 .
(2)若第三边c的长为偶数,则c的值为 .
(3)若a8.已知△ABC的三边长分别为10-a,5,6,当△ABC为等腰三角形时,求a的值.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.三角形按边分类可以用集合来表示,如图所示,图中小椭圆圈里的A表示( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
10.如图,以BC为公共边的三角形的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
11.如图,数轴上A,B两点到原点的距离是三角形两边的长,则该三角形第三边长可能是( )
A.1 B.4 C.7 D.8
12.(教材再开发·P44练习T2改编)长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
13.在△ABC中,若AB=5 cm,BC=2 cm,且第三边AC的长为奇数,则AC= cm.
14.已知a,b,c是三角形的三条边,化简|a+b-c|+|a-b-c|= .
15.已知,△ABC的三边长为4,9,x.
(1)求△ABC的周长的取值范围;
(2)当△ABC的周长为偶数时,求x.
16.(素养提升题)(2024·贵阳花溪区质检)“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米,3分米,第三边长为奇数(单位:分米)的不同规格的三角形木框.
(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有_________种.
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为8元/分米,问:至少需要多少钱购买材料 (忽略接头)
易错点 忽略隐藏的条件:三角形三边关系
【案例1】如果等腰三角形的两条边长分别为23 cm和10 cm,那么周长为 56 cm.
【案例2】用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形,其中有一边长为4 cm,试求另两边的长.2.1 三角形
第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 三角形内角和定理及应用
1.(2023·遵义期末)如图,∠ABC=50°,点D,E分别在射线BA,BC上,将三角形BED沿着DE折叠,若点B恰好落在射线DA的B'处,则∠BEB'的度数是(B)
A.50° B.80° C.100° D.130°
2.如图,点O是△ABC内一点,∠A=80°,BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BOC等于(C)
A.140° B.120° C.130° D.无法确定
3.如图,∠1+∠2+∠3+∠4= 276° .
4.等腰三角形一个底角和顶角的度数比是2∶1,这个三角形的顶角是 36° ,按角分它是一个 锐角 三角形.
知识点2 三角形外角的性质及应用
5.将一副三角板按如图所示的方式放置,图中∠CAF的大小等于(C)
A.50° B.60° C.75° D.85°
6.如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是(A)
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠1>∠4+∠5 D.∠2<∠5
7.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使点B落在AC边上的E处,则∠ADE= 40° .
8.(2024·贵阳花溪区质检)如图,在△ABC中,AN是∠BAC的平分线,∠B=50°,
∠ANC=80°.求∠C的度数.
【解析】∵∠ANC=∠B+∠BAN,
∴∠BAN=∠ANC-∠B=80°-50°=30°,
∵AN是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAN=60°,
在△ABC中,∠C=180°-∠B-∠BAC=70°.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD的度数是(B)
A.145° B.150° C.155° D.160°
10.在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则(D)
A.必有一个内角等于30°
B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60°
D.必有一个内角等于90°
11.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,分别沿MN和EF折叠,使点A,B与点C重合,则∠NCF的度数为(C)
A.22° B.21° C.20° D.19°
12.如图,在△ABC中,∠A=80°,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,得∠A2,…,∠A3BC与∠A3CD的平分线相交于点A4,得∠A4,则∠A4的度数为(A)
A.5° B.10° C.15° D.20°
13.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,
∠E=45°,∠A=60°,则∠DBC= 15 °.
14.如图,在△ABC中,∠C=35°,将△ABC沿着直线l折叠,点C落在点D的位置,则∠1-∠2= 70° .
15.(素养提升题)(2024·贵阳花溪区质检)
(1)探究:如图1,求证:∠BOC=∠A+∠B+∠C.
(2)应用:如图2,∠ABC=100°,∠DEF=130°,求∠A+∠C+∠D+∠F的度数.
【解析】见全解全析
模型 内外角平分线夹角的三种关系
(1)如图①,BP,CP为△ABC的内角平分线,则∠BPC=90°+∠A.
(2)如图②,BP,CP为△ABC的内、外角平分线,∠BPC=∠A.
(3)如图③,BP,CP为△ABC的外角平分线,∠BPC=90° -∠A.第2章 三角形
2.1 三角形
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 与三角形有关的概念
1.(概念应用题)小明用三根火柴组成了如图所示的图形,其中符合三角形概念的图形是(D)
2.下列说法正确的是(B)
A.三角形可分为钝角三角形、等腰三角形、锐角三角形
B.等边三角形是特殊的等腰三角形
C.等腰三角形是特殊的等边三角形
D.所有的等腰三角形都是锐角三角形
3.如图,图中有 8 个三角形;其中以AB为边的三角形有 △ABO、△ABC、△ABD ;含∠OCB的三角形为 △BOC、△ABC ;在△BOC中,OC的对角是
∠OBC ,∠OCB的对边是 OB .
知识点2 三角形的三边关系
4.下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是(B)
A.1 cm,2 cm,3 cm
B.3 cm,4 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm
D.6 cm,9 cm,2 cm
5.(2024·遵义绥阳县期中)若一个三角形的两边长分别是3和4,则第三边的长可能
是(C)
A.8 B.7 C.2 D.1
6.八一中学九年级二班学生杨冲和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和3 km.那么杨冲,李锐两家的直线距离不可能是(A)
A.1 km B.2 km C.3 km D.8 km
7.已知三角形的两边a=3,b=7,第三边是c.
(1)第三边c的取值范围是 4(2)若第三边c的长为偶数,则c的值为 6或8 .
(3)若a8.已知△ABC的三边长分别为10-a,5,6,当△ABC为等腰三角形时,求a的值.
【解析】因为△ABC为等腰三角形,
所以当10-a=5时,解得a=5,
所以三边长为5,5,6,
因为5+5>6,6-5<5,
所以符合三角形三边的条件,
当10-a=6时,解得a=4,
所以三边长为5,6,6,
因为5+6>6,6-5<6,
所以符合三角形三边的条件,
所以a的值为4和5.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.三角形按边分类可以用集合来表示,如图所示,图中小椭圆圈里的A表示(D)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
10.如图,以BC为公共边的三角形的个数是(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
11.如图,数轴上A,B两点到原点的距离是三角形两边的长,则该三角形第三边长可能是(B)
A.1 B.4 C.7 D.8
12.(教材再开发·P44练习T2改编)长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为(B)
A.4 B.5 C.6 D.7
13.在△ABC中,若AB=5 cm,BC=2 cm,且第三边AC的长为奇数,则AC= 5 cm.
14.已知a,b,c是三角形的三条边,化简|a+b-c|+|a-b-c|= 2b .
15.已知,△ABC的三边长为4,9,x.
(1)求△ABC的周长的取值范围;
(2)当△ABC的周长为偶数时,求x.
【解析】(1)因为三角形的三边长分别为4,9,x,
所以9-4所以9+4+5<△ABC的周长<9+4+13,
即:18<△ABC的周长<26;
(2)因为△ABC的周长是偶数,由(1)结果得△ABC的周长可以是20,22或24,
所以x的值为7,9或11.
16.(素养提升题)(2024·贵阳花溪区质检)“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米,3分米,第三边长为奇数(单位:分米)的不同规格的三角形木框.
(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有_________种.
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为8元/分米,问:至少需要多少钱购买材料 (忽略接头)
【解析】(1)三角形的第三边x满足:7-3答案:3
(2)制作这种木框的木条的长为:3+5+7+3+7+7+3+7+9=51(分米),
所以51×8=408(元).
答:至少需要408元购买材料.
易错点 忽略隐藏的条件:三角形三边关系
【案例1】如果等腰三角形的两条边长分别为23 cm和10 cm,那么周长为 56 cm.
【案例2】用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形,其中有一边长为4 cm,试求另两边的长.
【解析】①当4 cm为底边长时:
设腰长为x cm,则2x+4=18.解得x=7.
此时另两边的长分别为7 cm,7 cm;
②当4 cm为腰长时:
设底边长为y cm,则y+4×2=18.
解得y=10.因为4+4<10,
所以不能组成三角形,舍去,
所以另两边的长为7 cm,7 cm.