2.3 等腰三角形
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 等腰三角形的性质
1.如图,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是( )
A.40° B.45° C.50° D.70°
2.(概念应用题)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是( )
A.AB=2BD B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
3.一等腰三角形的一个外角是110°,则它的底角的度数为 .
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=28°,且AD=AE,求∠EDC的度数.
知识点2 等边三角形的性质
5.(2024·黔东南期末)如图,△ABC为等边三角形,D是△ABC内一点,将△ABD旋转到△ACP的位置,则旋转角的度数为( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
6.如图,直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=35°,则∠β等于( )
A.35° B.30° C.25° D.15°
7.如图,已知△ABC为等边三角形,AB=6,将边AB绕点A顺时针旋转a(0°
8.如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,并且PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAQ的大小.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·黔东南期中)如图所示,将一等边三角形剪去一个角后,∠1+∠2的度数
为( )
A.140° B.240° C.280° D.360°
10.(2023·黔东南州质检)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E是AD延长线上一点,若AE=AC,则∠AEC的度数为( )
A.45° B.60° C.65° D.75°
11.如图,如果△ABC外一点O满足OA=OB=OC,∠OAB=45°,∠OBC=24°,那么
∠OCA的大小是( )
A.65° B.24° C.69° D.45°
12.如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 度.
13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为 .
14.如图,等边△ABC的边长为1 cm,D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A'处,且点A'在△ABC外部,则阴影部分图形的周长为 cm.
15.如图,已知在等边三角形ABC中,AD⊥BC,AD=AC,连接CD并延长,交AB的延长线于点E,求∠E的度数.
16.(素养提升题)数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数,
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.2.3 等腰三角形
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 等腰三角形的判定
1.如图,在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,∠ABC的平分线交AC于点D,则图中共有等腰三角形( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.将一个三角板和一把直尺如图摆放,要使△ABC是等腰三角形,则∠1的度数
是( )
A.22.5° B.30° C.45° D.60°
3.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,若C也是图中的格点,则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时,点C的个数是( )
A.8 B.6 C.4 D.7
4.一个三角形三个内角的比是3∶3∶6,且最短边长为10 cm,则该三角形的面积是 .
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠BAC的平分线AF交CD于点E,求证:△CEF是等腰三角形.
知识点2 等边三角形的判定
6.如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达A点时,M,N同时停止运动.点M、N运动______s后,可得到等边△AMN( )
A.1 B.0.5 C.4 D.2
7.(易错警示题)如图已知OA=a,P是射线ON上一动点,∠AON=60°,当OP= 时,△AOP为等边三角形.
8.如图,点E是DC的中点,EC=EB,∠CDA=120°,DF∥BE,且DF平分∠CDA,求证:△BEC为等边三角形.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·六盘水钟山区质检)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放,若∠1=60°,则△ABC是( )
A.不等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
10.已知△ABC三边a,b,c满足(a-b)2+|b-c|=0,则△ABC的形状是 .
11.如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀,则剪下△DEF后剩余部分图形的周长是
.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,过点A作AE∥BC,交BD的延长线于点E.
(1)求∠ADB的度数;
(2)求证:△ADE是等腰三角形.
13.(素养提升题)如图所示,在△ABC中,AB=AC=BC=10厘米,M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度是1厘米/秒,点N的速度是2厘米/秒,当点N第一次回到点B时,M,N同时停止运动.
(1)M,N同时运动几秒后,M,N两点重合
(2)M,N同时运动几秒后,可得等边三角形AMN
模型 等腰三角形判定的三种图形
(1)角平分线+平行线→等腰三角形;
(2)角平分线+垂线→等腰三角形;
(3)作倍角的平分线→等腰三角形.2.3 等腰三角形
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 等腰三角形的性质
1.如图,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是(A)
A.40° B.45° C.50° D.70°
2.(概念应用题)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是(A)
A.AB=2BD B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
3.一等腰三角形的一个外角是110°,则它的底角的度数为 70°或55° .
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=28°,且AD=AE,求∠EDC的度数.
【解析】∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠DAE=∠BAD=28°,
∵AD=AE,∴∠ADE=(180°-∠DAE)=×(180°-28°)=76°,
∴∠EDC=90°-∠ADE=90°-76°=14°.
知识点2 等边三角形的性质
5.(2024·黔东南期末)如图,△ABC为等边三角形,D是△ABC内一点,将△ABD旋转到△ACP的位置,则旋转角的度数为(D)
A.15° B.30° C.45° D.60°
6.如图,直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=35°,则∠β等于(C)
A.35° B.30° C.25° D.15°
7.如图,已知△ABC为等边三角形,AB=6,将边AB绕点A顺时针旋转a(0°8.如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,并且PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAQ的大小.
【解析】∵PQ=AP=AQ,∴△APQ为等边三角形,∴∠PAQ=∠APQ=60°,
∵BP=AP,∴∠BAP=∠APQ=30°.
∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=30°+60°=90°.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·黔东南期中)如图所示,将一等边三角形剪去一个角后,∠1+∠2的度数
为(B)
A.140° B.240° C.280° D.360°
10.(2023·黔东南州质检)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E是AD延长线上一点,若AE=AC,则∠AEC的度数为(D)
A.45° B.60° C.65° D.75°
11.如图,如果△ABC外一点O满足OA=OB=OC,∠OAB=45°,∠OBC=24°,那么
∠OCA的大小是(C)
A.65° B.24° C.69° D.45°
12.如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 15 度.
13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为 63°或27° .
14.如图,等边△ABC的边长为1 cm,D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A'处,且点A'在△ABC外部,则阴影部分图形的周长为 3 cm.
15.如图,已知在等边三角形ABC中,AD⊥BC,AD=AC,连接CD并延长,交AB的延长线于点E,求∠E的度数.
【解析】∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,∴AB=AC,
∴∠CAD=∠BAC,∵∠BAC=60°,
∴∠CAD=30°,∵AD=AC,
∴∠ACD=∠ADC,∵在△ACD中,∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°,∴∠ACD=75°,
∵在△ACE中,∠EAC+∠ACE+∠E=180°,∴∠E=45°.
16.(素养提升题)数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数,
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
【解析】(1)若∠A为顶角,则∠B=(180°-∠A)÷2=50°;
若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°-2×80°=20°;
若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=80°;
故∠B=50°或20°或80°;
(2)见全解全析2.3 等腰三角形
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 等腰三角形的判定
1.如图,在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,∠ABC的平分线交AC于点D,则图中共有等腰三角形(D)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.将一个三角板和一把直尺如图摆放,要使△ABC是等腰三角形,则∠1的度数
是(B)
A.22.5° B.30° C.45° D.60°
3.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,若C也是图中的格点,则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时,点C的个数是(C)
A.8 B.6 C.4 D.7
4.一个三角形三个内角的比是3∶3∶6,且最短边长为10 cm,则该三角形的面积是 50 cm2 .
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠BAC的平分线AF交CD于点E,求证:△CEF是等腰三角形.
【证明】见全解全析
知识点2 等边三角形的判定
6.如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达A点时,M,N同时停止运动.点M、N运动______s后,可得到等边△AMN(C)
A.1 B.0.5 C.4 D.2
7.(易错警示题)如图已知OA=a,P是射线ON上一动点,∠AON=60°,当OP= a 时,△AOP为等边三角形.
8.如图,点E是DC的中点,EC=EB,∠CDA=120°,DF∥BE,且DF平分∠CDA,求证:△BEC为等边三角形.
【证明】因为DF平分∠CDA,
所以∠FDC=∠ADC.
因为∠CDA=120°,
所以∠FDC=60°.
因为DF∥BE,
所以∠FDC=∠BEC,
所以∠BEC=60°.
又因为EC=EB,
所以△BCE为等边三角形.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·六盘水钟山区质检)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放,若∠1=60°,则△ABC是(D)
A.不等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
10.已知△ABC三边a,b,c满足(a-b)2+|b-c|=0,则△ABC的形状是 等边三角形 .
11.如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀,则剪下△DEF后剩余部分图形的周长是
20 .
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,过点A作AE∥BC,交BD的延长线于点E.
(1)求∠ADB的度数;
(2)求证:△ADE是等腰三角形.
【解析】见全解全析
13.(素养提升题)如图所示,在△ABC中,AB=AC=BC=10厘米,M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度是1厘米/秒,点N的速度是2厘米/秒,当点N第一次回到点B时,M,N同时停止运动.
(1)M,N同时运动几秒后,M,N两点重合
(2)M,N同时运动几秒后,可得等边三角形AMN
【解析】(1)设点M,N运动x秒后,M,N两点重合,x+10=2x,解得x=10.M,N运动10秒后,M,N两点重合.
(2)设点M,N运动t秒后,可得到等边三角形AMN,
如图,则AM=t,AN=AB-BN=10-2t,
∵△AMN是等边三角形,
∴t=10-2t,解得t=,∴点M,N运动秒后,可得到等边三角形AMN.
模型 等腰三角形判定的三种图形
(1)角平分线+平行线→等腰三角形;
(2)角平分线+垂线→等腰三角形;
(3)作倍角的平分线→等腰三角形.