2.4 线段的垂直平分线
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 线段垂直平分线的性质与判定
1.已知点C,D是线段AB的垂直平分线MN上的点,MN交AB于点P,则一定有( )
A.PC=PD
B.AC=AD
C.BC=BD
D.DA=DB
2.如图,在△ABC中,AD是边BC的垂直平分线,∠B=60°,BD=2,那么AC的长度
是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在线段 的垂直平分线上.
4.(教材再开发·P70练习T1变式)(2024·贵阳云岩区质检)在△ABC中,DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,
(1)若∠BAC=120°,求∠EAG的度数.
(2)若BC=8,求△AEG的周长.
知识点2 线段的垂直平分线的作法及应用
5.如图,已知点A和直线MN,过点A用尺规作图画出线段MN的垂线,下列画法中错误的是( )
6.如图,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及三个洞口,尽快抓住老鼠,应该蹲在( )
A.△ABC三条角平分线的交点处
B.△ABC三条边的中线的交点处
C.△ABC三条高的交点处
D.△ABC三条边的垂直平分线的交点处
7.用尺规作出△ABC的中线AD.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图,在△ABC中,DE垂直平分BC,若AB=6,AC=8,则△ABD的周长等于( )
A.11 B.13 C.14 D.16
9.在△ABC中,用尺规作图,分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N.作直线MN交AC于点D,交BC于点E,连接AE.则下列结论不一定正确的是( )
A.AB=AE
B.AD=CD
C.AE=CE
D.∠ADE=∠CDE
10.(2024·黔东南州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则图中长度与BP+EP的最小值相等的线段是 .
11.如图,∠AOB内一点P,P1,P2分别是点P关于OA,OB的对称点,P1P2交OA于点M,交OB于点N,若P1P2=10 cm,则△PMN的周长是 cm.
12.如图,在△ABC中,点D是AB的中点,点F是BC延长线上一点,连接DF,交AC于点E,连接BE,∠A=∠ABE.
(1)求证:DF是线段AB的垂直平分线;
(2)当AB=AC,∠A=46°时,求∠EBC及∠F的度数.
13.(素养提升题)如图,在△ABC中,点D在AC的垂直平分线上.
(1)若AB=AD,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数;
(2)若AB=AD=DC,AC=BC,求∠C的度数;
(3)若AC=6 cm,△ABD的周长为13 cm,求△ABC的周长.2.4 线段的垂直平分线
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 线段垂直平分线的性质与判定
1.已知点C,D是线段AB的垂直平分线MN上的点,MN交AB于点P,则一定有(D)
A.PC=PD
B.AC=AD
C.BC=BD
D.DA=DB
2.如图,在△ABC中,AD是边BC的垂直平分线,∠B=60°,BD=2,那么AC的长度
是(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在线段 AC 的垂直平分线上.
4.(教材再开发·P70练习T1变式)(2024·贵阳云岩区质检)在△ABC中,DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,
(1)若∠BAC=120°,求∠EAG的度数.
(2)若BC=8,求△AEG的周长.
【解析】(1)∵∠BAC=120°,
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=60°,
∵DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,
∴EA=EB,GA=GC,
∴∠B=∠BAE,∠C=∠GAC,
∴∠BAE+∠GAC=60°,
∴∠EAG=∠BAC-(∠BAE+∠GAC)=60°,
∴∠EAG的度数为60°;
(2)∵BC=8,EA=EB,GA=GC,
∴△AEG的周长=AE+EG+AG
=BE+EG+GC
=BC
=8,
∴△AEG的周长为8.
知识点2 线段的垂直平分线的作法及应用
5.如图,已知点A和直线MN,过点A用尺规作图画出线段MN的垂线,下列画法中错误的是(A)
6.如图,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及三个洞口,尽快抓住老鼠,应该蹲在(D)
A.△ABC三条角平分线的交点处
B.△ABC三条边的中线的交点处
C.△ABC三条高的交点处
D.△ABC三条边的垂直平分线的交点处
7.用尺规作出△ABC的中线AD.
【解析】如图所示:AD即为所求.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图,在△ABC中,DE垂直平分BC,若AB=6,AC=8,则△ABD的周长等于(C)
A.11 B.13 C.14 D.16
9.在△ABC中,用尺规作图,分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N.作直线MN交AC于点D,交BC于点E,连接AE.则下列结论不一定正确的是(A)
A.AB=AE
B.AD=CD
C.AE=CE
D.∠ADE=∠CDE
10.(2024·黔东南州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则图中长度与BP+EP的最小值相等的线段是 CE .
11.如图,∠AOB内一点P,P1,P2分别是点P关于OA,OB的对称点,P1P2交OA于点M,交OB于点N,若P1P2=10 cm,则△PMN的周长是 10 cm.
12.如图,在△ABC中,点D是AB的中点,点F是BC延长线上一点,连接DF,交AC于点E,连接BE,∠A=∠ABE.
(1)求证:DF是线段AB的垂直平分线;
(2)当AB=AC,∠A=46°时,求∠EBC及∠F的度数.
【解析】(1)∵∠A=∠ABE,
∴EA=EB,∵AD=DB,
∴DF是线段AB的垂直平分线;
(2)∵∠A=46°,∴∠ABE=∠A=46°,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=67°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=21°,
∠F=90°-∠ABC=23°.
13.(素养提升题)如图,在△ABC中,点D在AC的垂直平分线上.
(1)若AB=AD,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数;
(2)若AB=AD=DC,AC=BC,求∠C的度数;
(3)若AC=6 cm,△ABD的周长为13 cm,求△ABC的周长.
【解析】(1)在△ABC中,AB=AD=DC,
∵AB=AD,在三角形ABD中,
∠B=∠ADB=(180°-26°)×=77°,
又∵AD=DC,在三角形ADC中,
∴∠C=77°×=38.5°.
(2)(3)见全解全析
