2.5 全等三角形
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 全等图形
1.下列说法不正确的是(D)
A.如果两个图形全等,那么它们的形状和大小一定相同
B.全等图形一定能重合
C.图形全等,只与形状、大小有关,而与它们的位置无关
D.面积相等的两个图形是全等图形
2.如图所示,下列图形中的全等图形是 (1)(9),(2)(3),(4)(8),(5)(7),(11)(12) .
3.如图,把大小为4×4的正方形方格图形分别分割成两个全等图形,例如图①,请在下图中,沿着虚线画出三种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.
【解析】如图所示(画法不唯一):
知识点2 全等三角形
4.(2024·遵义质检)已知△ABC≌△DEF,∠A=40°,∠B=50°,则∠D的度数为(A)
A.40° B.50° C.60° D.90°
5.如图,点B,E,C,F在同一直线上,△ABC≌△DEF,BC=8,BF=11.5,则EC的长为(B)
A.5 B.4.5 C.4 D.3.5
6.(2024·黔东南州天柱县质检)如图,已知△AEC≌△ADB,若AB=5,AD=3,则BE的长为(D)
A.5 B.4 C.3 D.2
7.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,BC边上,若△ACE≌△ADE≌△BDE,则∠B的大小为 30° .
8.(教材再开发·P76练习变式)如图,已知△ABC≌△DEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE的度数和EC的长.
【解析】见全解全析
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·遵义红花岗区期中)若△ABC≌△DEF,则根据图中提供的信息,可得出x的值为(A)
A.30 B.27 C.35 D.40
10.若△ABC≌△DEF,且△ABC的周长为20,AB=5,BC=8,则DF的长为(C)
A.5 B.8 C.7 D.5或8
11.如图,△ABC≌△DEC,点E在AB上,AC与DE相交于点F.若∠A=20°,
∠CEB=65°,则∠DFA的度数为(B)
A.65° B.70° C.85° D.110°
12.如图,△ABD≌△ACE,∠AEC=110°,则∠DAE的度数为 40° .
13.(2024·遵义质检)已知△ABC≌△DEF,且△DEF的周长为12,若AB=5,BC=4,则AC= 3 .
14.如图,△ABC≌△DEF,且A和D,B和E是对应顶点,则图中相等的边有 AB=DE,BC=EF,AC=DF ,相等的角有 ∠A=∠D,∠ABC=∠DEF,∠C=∠F,
∠ABD=∠CBF .
15.(教材再开发·P76练习改编)如图,已知△EFG≌△NMH,∠F与∠M是对应角.
(1)写出边FG的对应边与∠EGF的对应角;
(2)若EF=2.1 cm,FH=1.1 cm,HM=3.3 cm,求MN和HG的长度.
【解析】(1)∵△EFG≌△NMH,∴FG的对应边是MH,∠EGF的对应角是
∠MHN.
(2)∵△EFG≌△NMH,
∴MN=EF=2.1 cm,HM=FG=3.3 cm,
∵FH=1.1 cm,
∴HG=3.3-1.1=2.2 cm.
16.(素养提升题)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,连接AE,已知△ADE≌△ADC.
(1)AD与BC之间的位置关系是_________;
(2)求BE与AC之间的数量关系;
(3)若∠BEF=54°,求∠C的度数.
【解析】(1)∵△ADE≌△ADC,
∴∠ADE=∠ADC,
∵∠ADE+∠ADC=180°,
∴∠ADC=90°,
∴AD与BC之间的位置关系是垂直.
答案:垂直
(2)∵FE垂直平分AB,∴BE=AE,
∵△ADE≌△ADC,
∴AE=AC,∴BE=AC,
∴BE与AC之间的数量关系是相等.
(3)∵FE垂直平分AB,
∴BE=AE,
∴∠AEF=∠BEF=54°,
∴∠AED=180°-∠BEF-∠AEF=72°,
∵△ADE≌△ADC,
∴∠AED=∠C=72°.2.5 全等三角形
第5课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用“SSS”判定三角形全等
1.如图所示,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时,下面的4个条件中:①AE=FB,②AB=FE,③AE=BE,④BF=BE,可利用的是(A)
A.①或② B.②或③
C.①或③ D.①或④
2.(2024·贵州一模)如图,在△ABC和△BAD中,AC=BD,BC=AD,在不添加任何辅助线的条件下,可判断△ABC≌△BAD.判断这两个三角形全等的依据是(C)
A.ASA B.AAS C.SSS D.SAS
3.(2024·遵义绥阳县期中)已知,如图,AD=AC,BD=BC,O为AB上一点,那么,图中共有 3 对全等三角形.
4.(2024·遵义红花岗区期中)一个燕子风筝的骨架图如图所示,AB=AE,AC=AD,
BC=ED.求证:∠BAD=∠EAC.
【证明】在△ABC和△AED中,,∴△ABC≌△AED(SSS),
∴∠BAC=∠EAD,∴∠BAD=∠EAC.
知识点2 两三角形全等判定的应用
5.利用尺规进行作图,根据下列条件作三角形,画出的三角形不唯一的是(B)
A.已知三条边 B.已知三个角
C.已知两角和夹边 D.已知两边和夹角
6.空调安装在墙上时,一般都采用如图所示的方法固定.这种方法应用的几何原理是:三角形具有 稳定性 .
7.如图,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降30 cm时,求小明离地面的高度.
【解析】在△OCF与△ODG中,
∴△OCF≌△ODG(AAS),
∴CF=DG=30(cm),
∴小明离地面的高度是50+30=80(cm).
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图所示,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在(B)
A.A,C两点之间 B.E,G两点之间
C.B,F两点之间 D.G,H两点之间
9.如图,在△ABC与△DFE中,AC=DE,∠ACB=∠DEF,添加下列条件后,仍不能得到△ABC≌△DFE的是(D)
A.∠B=∠F B.BE=CF
C.∠A=∠D D.AB=DF
10.工人师傅常用角尺(透明)平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△MOC≌△NOC,其依据是
SSS .
11.如图,两根旗杆间相距20米,某人从点B沿BA走向点A,一段时间后他到达点M,此时他分别仰望旗杆的顶点C和D,两次视线的夹角为90°,且CM=DM.已知旗杆BD的高为12米,该人的运动速度为2米/秒,则这个人运动到点M所用时间是
4 秒.
12.(教材再开发·P84练习T1改编)如图AD与BC相交于点O,且AB=CD,AD=BC.
求证:△ABO≌△CDO.
【证明】如图,连接BD,
在△ABD和△CDB中,
,
∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠A=∠C,
在△ABO和△CDO中,
,
∴△ABO≌△CDO(AAS).
13.如图所示,点E,F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,AC与BD交于点O.
求证:AC与BD互相平分.
【证明】∵BF=DE,∴BF-EF=DE-EF,
即BE=DF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SSS),∴∠B=∠D.
又∵∠AOB=∠COD,AB=CD,
∴△ABO≌△CDO(AAS),
∴AO=CO,BO=DO,
故AC与BD互相平分.2.5 全等三角形
第4课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 用“AAS”判定三角形全等
1.如图所示,已知CA=CD,∠A=∠D,添加下列条件不能判定△ABC与△DEC全等的
是(C)
A.∠B=∠E B.AB=DE
C.BC=EC D.∠BCE=∠ACD
2.如图,下列四个条件,可以确定△ABC与△A1B1C1全等的是(D)
A.BC=B1C1,AC=A1C1,∠A=∠A1
B.∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1
C.AB=A1B1,∠C=∠C1,BC=B1C1
D.AB=A1B1,∠A=∠A1,∠C=∠C1
3.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是(B)
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
4.如图,已知∠ACB=∠BDA=90°,要使△ACB≌△BDA,还需要添加的一个条件是
∠BAC=∠ABD(答案不唯一) .你选择的判定方法是 AAS(答案不唯一) .
5.已知:如图,点A,D,C,F在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求证:AD=CF.
【证明】∵AB∥DE,∴∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(AAS).∴AC=DF,
∴AC-DC=DF-DC,即AD=CF.
6.王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合.
(1)求证:△ADC≌△CEB;
(2)求两堵木墙之间的距离.
【解析】(1)由题意得:AC=BC,
∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC,
在△ADC和△CEB中,,
∴△ADC≌△CEB(AAS);
(2)由题意得:AD=2×3=6(cm),BE=7×2=14(cm),
∵△ADC≌△CEB,
∴EC=AD=6 cm,DC=BE=14 cm,
∴DE=DC+CE=20(cm),
答:两堵木墙之间的距离为20 cm.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.如图,AB∥DE,AB=DE,添加下列条件,仍不能判断△ABC≌△DEF的是(A)
A.AC=DF B.BF=CE
C.∠A=∠D D.AC∥DF
8.如图,∠1=∠2,∠B=∠D,则下列结论错误的是(B)
A.△ABC≌△CDA B.∠1=∠CAD
C.AD∥BC D.AB=CD
9.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是(D)
A.1 m B.1.6 m C.1.8 m D.1.4 m
10.(2024·遵义红花岗区期中)如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,有下列条件:①∠A=∠D;②BC=EF;③∠ACB=∠F;④AC=DF.添加一个条件后能证明△ABC≌△DEF,这个条件不可以是 ④ .(填序号)
11.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
(1)求证:△BDE≌△CDF.
(2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长.
【解析】(1)∵CF∥AB,
∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F ,
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
∴△BDE≌△CDF(AAS);
(2)∵△BDE≌△CDF,
∴BE=CF=2,
∴AB=AE+BE=1+2=3,
∵AD⊥BC ,BD=CD ,
∴AC=AB=3.
12.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分别是BC和AC边上的高,AD与BE相交于点F,连接CF.
(1)求证:△BDF≌△ADC;
(2)若BF=2EC,AB=10 cm,求△FDC的周长.
【解析】见全解全析2.5 全等三角形
第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用“ASA”判定三角形全等
1.如图,已知△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F,则增加下列条件,可直接利用“ASA”判定这两个三角形全等的是(C)
A.AB=DE B.BC=EF
C.AC=DF D.∠B=∠E
2.如图,已知MB=ND,∠M=∠N,BM∥DN,下列结论正确的是(D)
A.AM=DN B.BM=CN
C.AC=CD D.AM∥CN
3.如图,BC=EC.∠1=∠2,要利用“ASA”判定△ABC≌△DEC,则需添加的条件是
∠B=∠E .
4.如图,已知AB∥DE,∠ACB=∠D,AC=DE.
(1)求证:△ABC≌△EAD.
(2)若∠BCE=60°,求∠BAD的度数.
【解析】(1)∵AB∥DE,∴∠E=∠BAC,
在△ABC和△EAD中,
,∴△ABC≌△EAD(ASA);
(2)∵△ABC≌△EAD,∴∠B=∠DAE,
∵∠BAD=∠BAC+∠DAE,
∴∠BAD=∠BAC+∠B=∠BCE=60°.
知识点2 “ASA”的实际应用
5.如图,△ABC的一角被墨水污了,但小明很快就画出跟原来一样的图形,他所用定理是 ASA .
6.(2024·黔西南州期末)一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块,他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具.现只能拿两块去配,其中可以配出符合要求的模具的是(B)
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
7.(生活情境题)如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使E与A,C在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长,为什么
(1)请根据题意补全图形;
(2)说明理由.
【解析】(1)补全图形,如图所示.
(2)理由:∵AB⊥BF,DE⊥BF,
∴∠B=∠EDC=90°.在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(ASA),∴AB=ED.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为点D,交AC于点E,
∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为(D)
A.2.5 B.1.5 C.2 D.1
9.在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=
∠2=∠BAC,若△ABC的面积为18,则△ACF与△BDE的面积之和是(A)
A.6 B.8 C.9 D.12
10.如图,点D在△ABC的BC边上,AC∥BE,BC=BE,∠ABC=∠E.
(1)求证:△ABC≌△DEB;
(2)若BE=9,AC=4,求CD的长.
【解析】(1)∵AC∥BE,
∴∠C=∠DBE.
在△ABC和△DEB中,
,
∴△ABC≌△DEB(ASA);
(2)∵△ABC≌△DEB,
∴BC=EB=9,AC=DB=4,
∴CD=BC-BD=9-4=5.
11.(素养提升题)(2024·安顺市期末)综合与实践,问题情境:活动课上,同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动,如图1,已知△ABC中AB=AC,∠B=30°.将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转,得到△ADE(点D,E分别是点B,C的对应点),旋转角为α(0°<α<100°),设线段AD与BC相交于点M,线段DE分别交BC,AC于点O,N.
特例分析:(1)如图2,当旋转到AD⊥BC时,旋转角α的度数为_________;
探究规律:(2)如图3,在△ABC绕点A逆时针旋转过程中,“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN,请你证明这一结论.
拓展延伸:(3)①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数.
②在图3中,作直线BD,CE交于点P,直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数.
【解析】(1)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠C=∠B=30°,∠BAD=∠BAC,
∴∠BAD==60°,
∴α=60°;
答案:60°
(2)(3)见全解全析2.5 全等三角形
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用“SAS”判定三角形全等
1.(概念应用题)(2024·贵阳南明区期中)下列四个三角形中,与图中的△ABC全等的
是( )
2.如图,在△ABC中,∠A=40°,∠B=∠C,BE=CD,BD=CF,则∠EDF=( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要用SAS证明△ADF≌△CBE,则需添加的条件为 .
4.如图,点D,E在△ABC的边BC上,∠B=∠C,BD=CE,求证:△ABD≌△ACE.
5.(2024·铜仁质检)如图,点B,C,E,F共线,AB=DC,∠B=∠C,BF=CE.求证:△ABE≌△DCF.
知识点2 “SAS”性质的应用
6.(生活情境题)如图,工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽.卡钳由两根钢条AA',BB'组成,O为AA',BB'的中点.只要量出A'B'的长度,由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度.那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是 .
7.把两根钢条AD,BC的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),如图,若测得AB=8厘米,则槽宽为 厘米.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图,要用“SAS”证明△ABC≌△ADE,若已知AB=AD,AC=AE,则还需具备条
件( )
A.∠B=∠D B.∠C=∠E
C.∠1=∠2 D.∠3=∠4
9.如图,已知AB=AD,BC=DE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,则∠EGF的度数为( )
A.120° B.135° C.115° D.125°
10.(2023·黔南州长顺县质检)如图,AB=12 m,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AC=4 m,点P从B向A运动,每分钟走1 m,点Q从B向D运动,每分钟走2 m,P,Q两点同时出发,运动______分钟后,△CAP与△PQB全等.( )
A.2 B.3 C.4 D.8
11.(2024·遵义绥阳县期中)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠CAB=
∠DAE=50°,CD和BE交于点O,则∠COB= .
12.如图,EB⊥CD,垂足为E,BE=DE,AE=CE.求证:DA⊥BC.
模型一 “共角”模型
如图,AB=DB,BC=BE,∠1=∠2,利用SAS可证△ABE≌△DBC.
模型二 “手拉手”模型
如图,△ABC和△ECD都是等边三角形,连接BE,AD交于点O,欲求AD=BE,利用SAS可证△ADC≌△BEC.2.5 全等三角形
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用“SAS”判定三角形全等
1.(概念应用题)(2024·贵阳南明区期中)下列四个三角形中,与图中的△ABC全等的
是(C)
2.如图,在△ABC中,∠A=40°,∠B=∠C,BE=CD,BD=CF,则∠EDF=(C)
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要用SAS证明△ADF≌△CBE,则需添加的条件为 ∠D=∠B .
4.如图,点D,E在△ABC的边BC上,∠B=∠C,BD=CE,求证:△ABD≌△ACE.
【证明】∵∠B=∠C,
∴AB=AC,
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
5.(2024·铜仁质检)如图,点B,C,E,F共线,AB=DC,∠B=∠C,BF=CE.求证:△ABE≌△DCF.
【解析】∵BF=CE,
∴BF+EF=CE+EF,
即BE=CF,
在△ABE和△DCF中,,
∴△ABE≌△DCF(SAS).
知识点2 “SAS”性质的应用
6.(生活情境题)如图,工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽.卡钳由两根钢条AA',BB'组成,O为AA',BB'的中点.只要量出A'B'的长度,由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度.那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是 SAS .
7.把两根钢条AD,BC的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),如图,若测得AB=8厘米,则槽宽为 8 厘米.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图,要用“SAS”证明△ABC≌△ADE,若已知AB=AD,AC=AE,则还需具备条
件(C)
A.∠B=∠D B.∠C=∠E
C.∠1=∠2 D.∠3=∠4
9.如图,已知AB=AD,BC=DE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,则∠EGF的度数为(C)
A.120° B.135° C.115° D.125°
10.(2023·黔南州长顺县质检)如图,AB=12 m,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AC=4 m,点P从B向A运动,每分钟走1 m,点Q从B向D运动,每分钟走2 m,P,Q两点同时出发,运动______分钟后,△CAP与△PQB全等.(C)
A.2 B.3 C.4 D.8
11.(2024·遵义绥阳县期中)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠CAB=
∠DAE=50°,CD和BE交于点O,则∠COB= 50° .
12.如图,EB⊥CD,垂足为E,BE=DE,AE=CE.求证:DA⊥BC.
【证明】如图,延长DA交BC于点F.
∵EB⊥CD,
∴∠BEC=∠DEA=90°.
在△BEC和△DEA中,
∴△BEC≌△DEA(SAS).
∴∠B=∠D.
又∵∠B+∠C=90°,
∴∠D+∠C=90°.
∴∠CFD=90°,即DA⊥BC.
模型一 “共角”模型
如图,AB=DB,BC=BE,∠1=∠2,利用SAS可证△ABE≌△DBC.
模型二 “手拉手”模型
如图,△ABC和△ECD都是等边三角形,连接BE,AD交于点O,欲求AD=BE,利用SAS可证△ADC≌△BEC.2.5 全等三角形
第4课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点 用“AAS”判定三角形全等
1.如图所示,已知CA=CD,∠A=∠D,添加下列条件不能判定△ABC与△DEC全等的
是( )
A.∠B=∠E B.AB=DE
C.BC=EC D.∠BCE=∠ACD
2.如图,下列四个条件,可以确定△ABC与△A1B1C1全等的是( )
A.BC=B1C1,AC=A1C1,∠A=∠A1
B.∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1
C.AB=A1B1,∠C=∠C1,BC=B1C1
D.AB=A1B1,∠A=∠A1,∠C=∠C1
3.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
4.如图,已知∠ACB=∠BDA=90°,要使△ACB≌△BDA,还需要添加的一个条件是
.你选择的判定方法是 .
5.已知:如图,点A,D,C,F在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求证:AD=CF.
6.王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合.
(1)求证:△ADC≌△CEB;
(2)求两堵木墙之间的距离.
.
综合能力练巩固提升 迁移运用
7.如图,AB∥DE,AB=DE,添加下列条件,仍不能判断△ABC≌△DEF的是( )
A.AC=DF B.BF=CE
C.∠A=∠D D.AC∥DF
8.如图,∠1=∠2,∠B=∠D,则下列结论错误的是( )
A.△ABC≌△CDA B.∠1=∠CAD
C.AD∥BC D.AB=CD
9.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是( )
A.1 m B.1.6 m C.1.8 m D.1.4 m
10.(2024·遵义红花岗区期中)如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,有下列条件:①∠A=∠D;②BC=EF;③∠ACB=∠F;④AC=DF.添加一个条件后能证明△ABC≌△DEF,这个条件不可以是 .(填序号)
11.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
(1)求证:△BDE≌△CDF.
(2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长.
12.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分别是BC和AC边上的高,AD与BE相交于点F,连接CF.
(1)求证:△BDF≌△ADC;
(2)若BF=2EC,AB=10 cm,求△FDC的周长.2.5 全等三角形
第3课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用“ASA”判定三角形全等
1.如图,已知△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F,则增加下列条件,可直接利用“ASA”判定这两个三角形全等的是( )
A.AB=DE B.BC=EF
C.AC=DF D.∠B=∠E
2.如图,已知MB=ND,∠M=∠N,BM∥DN,下列结论正确的是( )
A.AM=DN B.BM=CN
C.AC=CD D.AM∥CN
3.如图,BC=EC.∠1=∠2,要利用“ASA”判定△ABC≌△DEC,则需添加的条件是
.
4.如图,已知AB∥DE,∠ACB=∠D,AC=DE.
(1)求证:△ABC≌△EAD.
(2)若∠BCE=60°,求∠BAD的度数.
知识点2 “ASA”的实际应用
5.如图,△ABC的一角被墨水污了,但小明很快就画出跟原来一样的图形,他所用定理是 .
6.(2024·黔西南州期末)一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块,他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具.现只能拿两块去配,其中可以配出符合要求的模具的是( )
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
7.(生活情境题)如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使E与A,C在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长,为什么
(1)请根据题意补全图形;
(2)说明理由.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为点D,交AC于点E,
∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.2.5 B.1.5 C.2 D.1
9.在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=
∠2=∠BAC,若△ABC的面积为18,则△ACF与△BDE的面积之和是( )
A.6 B.8 C.9 D.12
10.如图,点D在△ABC的BC边上,AC∥BE,BC=BE,∠ABC=∠E.
(1)求证:△ABC≌△DEB;
(2)若BE=9,AC=4,求CD的长.
11.(素养提升题)(2024·安顺市期末)综合与实践,问题情境:活动课上,同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动,如图1,已知△ABC中AB=AC,∠B=30°.将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转,得到△ADE(点D,E分别是点B,C的对应点),旋转角为α(0°<α<100°),设线段AD与BC相交于点M,线段DE分别交BC,AC于点O,N.
特例分析:(1)如图2,当旋转到AD⊥BC时,旋转角α的度数为_________;
探究规律:(2)如图3,在△ABC绕点A逆时针旋转过程中,“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN,请你证明这一结论.
拓展延伸:(3)①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数.
②在图3中,作直线BD,CE交于点P,直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数.2.5 全等三角形
第5课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 用“SSS”判定三角形全等
1.如图所示,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时,下面的4个条件中:①AE=FB,②AB=FE,③AE=BE,④BF=BE,可利用的是( )
A.①或② B.②或③
C.①或③ D.①或④
2.(2024·贵州一模)如图,在△ABC和△BAD中,AC=BD,BC=AD,在不添加任何辅助线的条件下,可判断△ABC≌△BAD.判断这两个三角形全等的依据是( )
A.ASA B.AAS C.SSS D.SAS
3.(2024·遵义绥阳县期中)已知,如图,AD=AC,BD=BC,O为AB上一点,那么,图中共有 对全等三角形.
4.(2024·遵义红花岗区期中)一个燕子风筝的骨架图如图所示,AB=AE,AC=AD,
BC=ED.求证:∠BAD=∠EAC.
知识点2 两三角形全等判定的应用
5.利用尺规进行作图,根据下列条件作三角形,画出的三角形不唯一的是( )
A.已知三条边 B.已知三个角
C.已知两角和夹边 D.已知两边和夹角
6.空调安装在墙上时,一般都采用如图所示的方法固定.这种方法应用的几何原理是:三角形具有 .
7.如图,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降30 cm时,求小明离地面的高度.
综合能力练巩固提升 迁移运用
8.如图所示,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在( )
A.A,C两点之间 B.E,G两点之间
C.B,F两点之间 D.G,H两点之间
9.如图,在△ABC与△DFE中,AC=DE,∠ACB=∠DEF,添加下列条件后,仍不能得到△ABC≌△DFE的是( )
A.∠B=∠F B.BE=CF
C.∠A=∠D D.AB=DF
10.工人师傅常用角尺(透明)平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△MOC≌△NOC,其依据是
.
11.如图,两根旗杆间相距20米,某人从点B沿BA走向点A,一段时间后他到达点M,此时他分别仰望旗杆的顶点C和D,两次视线的夹角为90°,且CM=DM.已知旗杆BD的高为12米,该人的运动速度为2米/秒,则这个人运动到点M所用时间是
秒.
12.(教材再开发·P84练习T1改编)如图AD与BC相交于点O,且AB=CD,AD=BC.
求证:△ABO≌△CDO.
13.如图所示,点E,F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,AC与BD交于点O.
求证:AC与BD互相平分.2.5 全等三角形
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 全等图形
1.下列说法不正确的是( )
A.如果两个图形全等,那么它们的形状和大小一定相同
B.全等图形一定能重合
C.图形全等,只与形状、大小有关,而与它们的位置无关
D.面积相等的两个图形是全等图形
2.如图所示,下列图形中的全等图形是 .
3.如图,把大小为4×4的正方形方格图形分别分割成两个全等图形,例如图①,请在下图中,沿着虚线画出三种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.
知识点2 全等三角形
4.(2024·遵义质检)已知△ABC≌△DEF,∠A=40°,∠B=50°,则∠D的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.90°
5.如图,点B,E,C,F在同一直线上,△ABC≌△DEF,BC=8,BF=11.5,则EC的长为( )
A.5 B.4.5 C.4 D.3.5
6.(2024·黔东南州天柱县质检)如图,已知△AEC≌△ADB,若AB=5,AD=3,则BE的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
7.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,BC边上,若△ACE≌△ADE≌△BDE,则∠B的大小为 .
8.(教材再开发·P76练习变式)如图,已知△ABC≌△DEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE的度数和EC的长.
综合能力练巩固提升 迁移运用
9.(2024·遵义红花岗区期中)若△ABC≌△DEF,则根据图中提供的信息,可得出x的值为( )
A.30 B.27 C.35 D.40
10.若△ABC≌△DEF,且△ABC的周长为20,AB=5,BC=8,则DF的长为( )
A.5 B.8 C.7 D.5或8
11.如图,△ABC≌△DEC,点E在AB上,AC与DE相交于点F.若∠A=20°,
∠CEB=65°,则∠DFA的度数为( )
A.65° B.70° C.85° D.110°
12.如图,△ABD≌△ACE,∠AEC=110°,则∠DAE的度数为 .
13.(2024·遵义质检)已知△ABC≌△DEF,且△DEF的周长为12,若AB=5,BC=4,则AC= .
14.如图,△ABC≌△DEF,且A和D,B和E是对应顶点,则图中相等的边有 ,相等的角有 ,
.
15.(教材再开发·P76练习改编)如图,已知△EFG≌△NMH,∠F与∠M是对应角.
(1)写出边FG的对应边与∠EGF的对应角;
(2)若EF=2.1 cm,FH=1.1 cm,HM=3.3 cm,求MN和HG的长度.
16.(素养提升题)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,连接AE,已知△ADE≌△ADC.
(1)AD与BC之间的位置关系是_________;
(2)求BE与AC之间的数量关系;
(3)若∠BEF=54°,求∠C的度数.
