第5章 二次根式
5.1 二次根式
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 二次根式的定义
1.(概念应用题)下列选项中,不是二次根式的是( )
A. B.
C. D.-
2.下列代数式能作为二次根式被开方数的是( )
A.3-π B.a C.a2+1 D.2x+4
3.已知二次根式,当x=1时,此二次根式的值为( )
A.2 B.±2 C.4 D.±4
知识点2 二次根式有意义的条件
4.(2024·贵州一模)使二次根式有意义的a的取值范围是( )
A.a≥0 B.a≠-1 C.a≥-1 D.a≤-1
5.(2023·铜仁玉屏县期末)若代数式有意义,则x的取值范围是( )
A.x>2且x≠3
B.x≥2
C.x≠3
D.x≥2且x≠3
6.设x,y为实数,且y=4++,则|y-x|的值是( )
A.1 B.9 C.4 D.5
7.若代数式有意义,则x的取值范围是 .
知识点3 二次根式的性质
8.实数5不能写成的形式是( )
A. B.
C.()2 D.-
9.计算:(1)(-3)2;(2) ()2;
(3);(4)+(-)2-.
10.实数a,b在数轴上的位置如图所示:
化简-+.
综合能力练巩固提升 迁移运用
11.下列各式是二次根式的是( )
A. B. C. D.
12.(2023·铜仁石阡县质检)若2,5,n为三角形的三边长,则化简+的结果为( )
A.5 B.2n-10 C.2n-6 D.10
13.(2023·毕节威宁县期末)已知y=-x+3,当x分别取得1,2,3,…,2 021时,所对应y值的总和是( )
A.2 023 B.2 022 C.2 021 D.2 020
14.使代数式有意义的x的取值范围是 .
15.若为整数,x为正整数,则x的值是 .
16.已知=5-x,则x的取值范围为 .
17.(1)已知a,b为实数,且+2=5+b,求a,b的值.
(2)已知实数m满足|2 023-m|+=m,求m-2 0232的值.
18.已知a,b,c在数轴上如图所示,化简:-|a+b|++|b+c|.
19.(素养提升题)先阅读材料,然后回答问题:
(1)小张同学在研究二次根式的化简时,遇到了一个问题:化简.
经过思考,小张解决这个问题的过程如下:
=…①
=…②
=…③
=-…④
上述化简过程中,第_________步出现了错误,化简正确的结果为_________.
(2)请根据你从上述材料中得到的启发,化简.
易错点1 忽略被开方数为非负数判断出错
【案例1】下列各式一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
易错点2 分母中含有二次根式忽略分母不为0
【案例2】若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥1且x≠2 B.x≤1
C.x>1且x≠2 D.x<15.1 二次根式
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 最简二次根式
1.(2023·六盘水期中)下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.已知:最简二次根式与的被开方数相同,则a+b= .
3.若二次根式是最简二次根式,则x可取的最小整数是 .
知识点2 二次根式的化简
4.(2024·遵义市红花岗区期中)将化成最简二次根式为( )
A.2 B.4
C.2 D.10
5.对于任意实数x,下列各式中一定成立的是( )
A.=·
B.=x+1
C.=·
D.=6x2
6.化简的结果是 .
7.化简:(1)= ;
(2)= ;
(3)= .
8.将二次根式化为最简二次根式为 .
9.(教材P159练习T2改编)化简:
(1);
(2);
(3).
10.(1)求代数式a+的值,其中a=1 012.
如图是小亮和小芳的解答过程:
_________(填“小亮”或“小芳”)的解法是错误的,错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质:(填字母)_________.
A.=|a| B.=a
(2)化简:.
综合能力练巩固提升 迁移运用
11.(2023·黔西南州质检)下列根式中是最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.
12.若是正整数,则正整数a的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
13.把-3中根号外的因式移到根号内,所得结果为( )
A.- B.- C.- D.
14.若和都是最简二次根式,则m= ,n= .
15.若=a,=b,则可以表示为 (用含a,b的式子表示).
16.若a17.(教材P159练习T2变式)化简下列二次根式:
(1);
(2)(a≥0);
(3)(y<0).
(4)(x>y>0).
18.如果是最简二次根式,求2a的值,并求2a的平方根.
19.(素养提升题)观察下列各式:
①=2;②=3;③=4.
(1)上面各式成立吗 请写出验证过程.
(2)请用字母n(n是正整数且n≥2)表示上面三个式子的规律,并给出证明.
易错点 忽略隐含条件致错
【案例】等式=·成立的条件是( )
A.a,b同号 B.a≥0,b≥0
C.a,b异号 D.a≥0,b>05.1 二次根式
第2课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 最简二次根式
1.(2023·六盘水期中)下列二次根式是最简二次根式的是(B)
A. B. C. D.
2.已知:最简二次根式与的被开方数相同,则a+b= 8 .
3.若二次根式是最简二次根式,则x可取的最小整数是 -2 .
知识点2 二次根式的化简
4.(2024·遵义市红花岗区期中)将化成最简二次根式为(C)
A.2 B.4
C.2 D.10
5.对于任意实数x,下列各式中一定成立的是(D)
A.=·
B.=x+1
C.=·
D.=6x2
6.化简的结果是 2a2 .
7.化简:(1)= 3 ;
(2)= ;
(3)= π-2 .
8.将二次根式化为最简二次根式为 .
9.(教材P159练习T2改编)化简:
(1);
【解析】原式==10;
(2);
【解析】原式==;
(3).
【解析】原式===.
10.(1)求代数式a+的值,其中a=1 012.
如图是小亮和小芳的解答过程:
_________(填“小亮”或“小芳”)的解法是错误的,错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质:(填字母)_________.
A.=|a| B.=a
(2)化简:.
【解析】(1)小亮的解法是错误的,错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质=|a|;
答案:小亮 A
(2)==|a-3|,∴当a≥3时,原式=a-3;当a<3时,原式=3-a.
综合能力练巩固提升 迁移运用
11.(2023·黔西南州质检)下列根式中是最简二次根式的是(C)
A. B.
C. D.
12.若是正整数,则正整数a的最小值为(A)
A.3 B.4 C.5 D.6
13.把-3中根号外的因式移到根号内,所得结果为(C)
A.- B.- C.- D.
14.若和都是最简二次根式,则m= 1 ,n= 2 .
15.若=a,=b,则可以表示为 a2b (用含a,b的式子表示).
16.若a17.(教材P159练习T2变式)化简下列二次根式:
(1);
【解析】原式==×=.
(2)(a≥0);
【解析】=3a.
(3)(y<0).
【解析】=-2xy.
(4)(x>y>0).
【解析】原式==·
=·|x-y|,
∵x>y>0,即x-y>0,
∴原式=·(x-y)=x-y.
18.如果是最简二次根式,求2a的值,并求2a的平方根.
【解析】∵是最简二次根式,
∴a=1,2b-5=1,
解得:a=1,b=3,
∴2a=2=8,
∴2a的平方根为±2.
19.(素养提升题)观察下列各式:
①=2;②=3;③=4.
(1)上面各式成立吗 请写出验证过程.
(2)请用字母n(n是正整数且n≥2)表示上面三个式子的规律,并给出证明.
【解析】(1)成立.验证如下:
①====2.
②====3.
③===
=4.∴各式都成立.
(2)见全解全析
易错点 忽略隐含条件致错
【案例】等式=·成立的条件是(D)
A.a,b同号 B.a≥0,b≥0
C.a,b异号 D.a≥0,b>0第5章 二次根式
5.1 二次根式
第1课时
基础达标练课时训练 夯实基础
知识点1 二次根式的定义
1.(概念应用题)下列选项中,不是二次根式的是(C)
A. B.
C. D.-
2.下列代数式能作为二次根式被开方数的是(C)
A.3-π B.a C.a2+1 D.2x+4
3.已知二次根式,当x=1时,此二次根式的值为(A)
A.2 B.±2 C.4 D.±4
知识点2 二次根式有意义的条件
4.(2024·贵州一模)使二次根式有意义的a的取值范围是(C)
A.a≥0 B.a≠-1 C.a≥-1 D.a≤-1
5.(2023·铜仁玉屏县期末)若代数式有意义,则x的取值范围是(D)
A.x>2且x≠3
B.x≥2
C.x≠3
D.x≥2且x≠3
6.设x,y为实数,且y=4++,则|y-x|的值是(A)
A.1 B.9 C.4 D.5
7.若代数式有意义,则x的取值范围是 x>-1 .
知识点3 二次根式的性质
8.实数5不能写成的形式是(D)
A. B.
C.()2 D.-
9.计算:(1)(-3)2;(2) ()2;
(3);(4)+(-)2-.
【解析】(1)原式=(-3)2×()2=9×7=63.
(2)原式==.
(3)原式==.
(4)原式=5+2-5=2.
10.实数a,b在数轴上的位置如图所示:
化简-+.
【解析】由数轴知,a<0,且b>0,
∴a-b<0,
∴-+
=|a|-|b|+|a-b|=(-a)-b+(b-a)
=-a-b+b-a=-2a.
综合能力练巩固提升 迁移运用
11.下列各式是二次根式的是(C)
A. B. C. D.
12.(2023·铜仁石阡县质检)若2,5,n为三角形的三边长,则化简+的结果为(A)
A.5 B.2n-10 C.2n-6 D.10
13.(2023·毕节威宁县期末)已知y=-x+3,当x分别取得1,2,3,…,2 021时,所对应y值的总和是(A)
A.2 023 B.2 022 C.2 021 D.2 020
14.使代数式有意义的x的取值范围是 x≥-且x≠1 .
15.若为整数,x为正整数,则x的值是 4或7或8 .
16.已知=5-x,则x的取值范围为 x≤5 .
17.(1)已知a,b为实数,且+2=5+b,求a,b的值.
(2)已知实数m满足|2 023-m|+=m,求m-2 0232的值.
【解析】(1)∵和均有意义,
∴6-2a≥0且a-3≥0,
即a≤3且a≥3,∴a=3,
当a=3时,==0=5+b,
∴b=-5,所以a=3,b=-5;
(2)∵有意义,∴m≥2 024,
∴|2 023-m|=m-2 023,
因此|2 023-m|+=m,可变为m-2 023+=m,
即=2 023,
∴m-2 024=2 0232,
即m-2 0232=2 024.
18.已知a,b,c在数轴上如图所示,化简:-|a+b|++|b+c|.
【解析】从数轴可知:a|c|,∴a+b<0,c-a>0,b+c<0,
∴-|a+b|++|b+c|=-a+a+b+c-a-b-c=-a.
19.(素养提升题)先阅读材料,然后回答问题:
(1)小张同学在研究二次根式的化简时,遇到了一个问题:化简.
经过思考,小张解决这个问题的过程如下:
=…①
=…②
=…③
=-…④
上述化简过程中,第_________步出现了错误,化简正确的结果为_________.
(2)请根据你从上述材料中得到的启发,化简.
【解析】(1)④ -
(2)=
=
==|-|=-.
易错点1 忽略被开方数为非负数判断出错
【案例1】下列各式一定是二次根式的是(B)
A. B. C. D.
易错点2 分母中含有二次根式忽略分母不为0
【案例2】若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是(A)
A.x≥1且x≠2 B.x≤1
C.x>1且x≠2 D.x<1
