一元一次不等式(组)的应用
销售问题
【典例1】植树节,学校组织学生参加义务植树活动,共准备了甲、乙两种树苗.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元,用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元
(2)在实际栽种中,学校决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵,此时,甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%,乙种树苗的售价不变,如果再次购买两种树苗的总费用不超过1 500元,那么学校最多可购买多少棵乙种树苗
思路点拨(1)可设甲种树苗每棵的价格是x元,则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元,根据等量关系:用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同,列出方程求解即可;
(2)设学校可购买y棵乙种树苗,根据不等关系:再次购买两种树苗的总费用不超过1 500元,列出不等式求解即可.
【解析】(1)设甲种树苗每棵的价格是x元,
则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元,
依题意有=,解得:x=30,经检验,x=30是原方程的解,x+10=30+10=40,
答:甲种树苗每棵的价格是30元,乙种树苗每棵的价格是40元;
(2)设学校可购买y棵乙种树苗,
依题意有30×(1-10%)(50-y)+40y≤1 500,解得y≤11,
∵y为整数,∴y最大为11.
答:学校最多可购买11棵乙种树苗.
【变式1】某商品进价是400元,标价是500元,商店要求利润不低于10%,需按标价打折出售,最多可以打(D)
A.八折 B.七折 C.七五折 D.八八折
【变式2】闻宏商店计划用不超过8 400元的货款,购进A,B两种单价分别为
120元、200元的商品共50件,据市场行情,销售A,B两种商品各一件分别可获利20元、40元,两种商品均售完.若所获利润大于1 500元,则该商店进货方案有(B)
A.4种 B.5种 C.6种 D.8种
【变式3】端午节吃粽子是中国的传统习俗,在今年端午节期间,某超市出售A,B两种不同品种的粽子.已知购买4个A品种的粽子和5个B品种的粽子共需
35元;购买2个A品种的粽子和3个B品种的粽子共需19元.
(1)求每个A品种的粽子和每个B品种的粽子各多少元;
(2)某校计划用不超过4 000元的资金,购买A,B两种不同品种的粽子共1 000个,则最多可以购买多少个A品种的粽子.
【解析】(1)设每个A品种的粽子x元,每个B品种的粽子y元,
由题意可得:,解得,
答:每个A品种的粽子5元,每个B品种的粽子3元;
(2)设购买A品种的粽子a个,
由题意可得:5a+3(1 000-a)≤4 000,
∴a≤500,
∴最多可以购买500个A品种的粽子.
行程问题
【典例2】红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地,以75千米/小时的平均速度,用时2小时到达.由于天气原因,原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内,这样需要用t小时到达.求t的取值范围.
思路点拨根据路程=速度×时间,结合原路返回时汽车平均速度控制在不低于
50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内,即可得出关于t的一元一次不等式组,解之得出t的取值范围.
【解析】依题意,得:,解得:2.5≤t≤3.
答:t的取值范围为2.5≤t≤3.
【变式1】甲、乙、丙三只电子跳蚤在数轴上分别以每秒9个、7个、6.5个单位长度的速度向右移动,开始时乙在甲、丙两者之间,且丙在甲的右边(如图),当
x秒后三只跳蚤的位置变为甲在乙、丙之间,则x的值可能是下列数中的(B)
A.11 B.14 C.17 D.20
【变式2】甲、乙两地相距30 km,小李要从甲地到乙地办事,若他以5 km/h的速度可按时到达,现在小李走了3 h后因有事停留了0.5 h,为了不迟到,小李后来的速度至少是多少
【解析】设小李后来的速度为x km/h,由题意可得: 3×5+x≥30,解得x≥6.
经检验不等式的解集符合题意.
答:为了不迟到,小李后来的速度至少是6 km/h.
【变式3】随着我国汽车保有量的持续攀升,不仅给能源带来了危机,同时也给环境带来了巨大的危害.节能成为新世纪全球的主题,节能又环保的油电混合动力汽车,既可以用油做动力行驶,也可用电做动力行驶,某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地,若完全用油做动力行驶,则费用为60元,若完全用电做动力行驶,则费用为20元,已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元.
(1)汽车行驶中每千米用电费用是多少元 甲、乙两地的距离是多少千米
(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶,且所需费用不超过40元,则至少需要用电行驶多少千米
【解析】(1)设汽车行驶中每千米用电费用是x元,
则每千米用油费用为(x+0.5)元,
依题意可得:=,
解得:x=0.25,
经检验x=0.25是原方程的解,
20÷0.25=80.
答:汽车行驶中每千米用电费用是0.25元,甲、乙两地的距离是80千米;
(2)汽车行驶中每千米用油费用为0.25+0.5=0.75(元),
设汽车用电行驶y千米,
依题意可得:0.25y+0.75(80-y)≤40,
解得:y≥40,
答:至少需要用电行驶40千米.
分配问题
【典例3】某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A,B两种型号的机器.已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件,且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等.
(1)每台A,B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件
(2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于72件,同时为了保障机器的正常运转,两种机器每小时加工的零件不能超过76件,那么A,B两种型号的机器可以各安排多少台
思路点拨(1)设每台B型机器每小时加工x个零件,则每台A型机器每小时加工(x+2)个零件,根据工作时间=工作总量÷工作效率,结合一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设A型机器安排m台,则B型机器安排(10-m)台,根据每小时加工零件的总量=8×A型机器的数量+6×B型机器的数量,结合每小时加工的零件不少于72件且不能超过76件,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m为正整数即可得出安排方案.
【解析】见全解全析
【变式1】(2024·铜仁质检)把一些笔分给几名学生,如果每人分5支,那么余7支;如果前面的学生每人分6支,那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支,则共有学生(C)
A.10或11人 B.10人
C.11或12人 D.12人
【变式2】某机械厂甲、乙两个生产车间承担生产同一种零件的任务,甲、乙两车间共有50人,甲车间平均每人每天生产零件30个,乙车间平均每人每天生产零件20个,甲车间每天生产零件总数与乙车间每天生产零件总数之和为1 200个.
(1)求甲、乙两车间各有多少人.
(2)该机械厂改进了生产技术,在甲、乙两车间总人数不变的情况下,从甲车间调出一部分人到乙车间.调整后甲车间平均每人每天生产零件35个,乙车间平均每人每天生产零件25个,若甲车间每天生产零件总数与乙车间每天生产零件总数之和不少于1 420个,求从甲车间最多调出多少人到乙车间.
【解析】(1)设甲车间有x人,乙车间有y人,
由题意得,
解得:
答:甲车间有20人,乙车间有30人.
(2)设从甲车间调出a人到乙车间,
则甲车间有(20-a)人,乙车间有(30+a)人,35(20-a)+25(30+a)≥1 420,
解得:a≤3.
答:从甲车间最多调出3人到乙车间.
【变式3】赫章樱桃素有“春果第一枝“之称,备受广大消费者青睐,樱桃成熟之际总是远销贵阳,昆明和成都等地,赫章已成为名副其实的“中国樱桃之乡”,赫章某樱桃种植基地欲将n吨樱桃运往贵阳、昆明和成都三地销售,要求:①运往各地的樱桃质量均为整数吨;②运往成都的樱桃质量是运往贵阳的樱桃质量的2倍.设安排a吨樱桃运往贵阳.
(1)当n=20时,
①根据表中的已有信息将表补充完整.
项目 贵阳 昆明 成都 合计
樱桃质 量/吨 a ______ ______ 20
运费/元 300a ______ 500a 560a+1 600
②若运往昆明的樱桃的质量不多于运往贵阳的樱桃质量,且总运费不超过
5 520元,则具体有哪几种运输方案
(2)若总运费为7 360元,求n的最小值.
【解析】(1)①∵运往三地的樱桃质量是20吨,且运往成都的樱桃质量是运往贵阳的樱桃质量的2倍,运往贵阳的樱桃质量是a吨,
∴运往成都的樱桃质量是2a吨,运往昆明的樱桃质量是(20-3a)吨;
∵运往贵阳所需的运费为300a元,运往成都所需的运费为500a元,合计运费为(560a+1 600)元,∴运往昆明所需的运费为560a+1 600-300a-500a=(1 600-240a)元.
答案:20-3a 2a 1 600-240a
②根据题意得:,
解得:5≤a≤7,
又∵a,2a,20-3a均为正整数,
∴a可以为5,6,∴共有2种运输方案,
方案1:运往贵阳5吨,昆明5吨,成都10吨;
方案2:运往贵阳6吨,昆明2吨,成都12吨;
(2)见全解全析
方案设计题
【典例4】(2022·六盘水中考)钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人,现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售,以下是购买者的出价:
(1)根据对话内容,求钢钢出售的竹篮和陶罐数量;
(2)钢钢接受了姗姗的报价,交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花,剩余的钱不超过20元,求有哪几种购买方案.
思路点拨(1)设出售的竹篮x个,陶罐y个,根据每个竹篮5元,每个陶罐12元,共需61元;每个竹篮6元,每个陶罐10元,共需60元,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购买鲜花a束,根据总价=单价×数量,结合剩余的钱不超过20元,即可得出关于a的一元一次不等式组,解之取其中的整数值,即可得出各购买方案.
【解析】(1)设出售的竹篮x个,陶罐y个,
依题意有:,解得:.
故出售的竹篮5个,陶罐3个;
(2)设购买鲜花a束,
依题意有:解得8≤a<12,
∵a为整数,∴共有4种购买方案,方案一:购买鲜花8束;方案二:购买鲜花9束;方案三:购买鲜花10束;方案四:购买鲜花11束.
【变式1】为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备.现有A,B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如表.经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
(1)请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若企业每月产生的污水量为2 040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案
项目 A型 B型
价格(万元/台) 12 10
处理污水量(吨/月) 240 200
年消耗费(万元/台) 1 1
【解析】(1)设购买污水处理设备A型x台,
则B型为(10-x)台.
12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5.
∵x取非负整数,∴x可取0,1,2.
有三种购买方案:A型0台,B型10台;A型1台,B型9台;A型2台,B型8台.
(2)240x+200(10-x)≥2 040,解得x≥1,
所以x为1或2.当x=1时,购买资金为:12×1+10×9=102(万元);当x=2时,购买资金为:12×2+10×8=104(万元).
答:为了节约资金,应购买A型1台,B型9台.
【变式2】“绿水青山,就是金山银山”.某旅游景区为了保护环境,需购买A,B两种型号的垃圾处理设备,已知2台A型设备和3台B型设备日处理能力一共为72吨;3台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为52吨.
(1)求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为多少吨
(2)根据实际情况,需购买A,B两种型号的垃圾处理设备共10台.要求B型设备不多于A型设备的3倍,且购回的设备日处理能力不低于144吨.请你利用不等式的知识为该景区设计购买A,B设备的方案.
【解析】(1)设1台A型设备、1台B型设备日处理能力分别为x,y吨,
由题意得:,
解得,
答:1台A型设备、1台B型设备日处理能力分别为12、16吨.
(2)设购买A型设备m台,则购买B型设备(10-m)台.
由题意得:,
解得,
∴≤m≤4,
∵m为正整数,
∴m=3或4,
∴该景区的购买方案共有2种,
方案1:购买A型设备3台,则购买B型设备7台;
方案2:购买A型设备4台,则购买B型设备6台.一元一次不等式(组)的应用
销售问题
【典例1】植树节,学校组织学生参加义务植树活动,共准备了甲、乙两种树苗.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元,用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元
(2)在实际栽种中,学校决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵,此时,甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%,乙种树苗的售价不变,如果再次购买两种树苗的总费用不超过1 500元,那么学校最多可购买多少棵乙种树苗
思路点拨(1)可设甲种树苗每棵的价格是x元,则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元,根据等量关系:用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同,列出方程求解即可;
(2)设学校可购买y棵乙种树苗,根据不等关系:再次购买两种树苗的总费用不超过1 500元,列出不等式求解即可.
【变式1】某商品进价是400元,标价是500元,商店要求利润不低于10%,需按标价打折出售,最多可以打( )
A.八折 B.七折 C.七五折 D.八八折
【变式2】闻宏商店计划用不超过8 400元的货款,购进A,B两种单价分别为
120元、200元的商品共50件,据市场行情,销售A,B两种商品各一件分别可获利20元、40元,两种商品均售完.若所获利润大于1 500元,则该商店进货方案有( )
A.4种 B.5种 C.6种 D.8种
【变式3】端午节吃粽子是中国的传统习俗,在今年端午节期间,某超市出售A,B两种不同品种的粽子.已知购买4个A品种的粽子和5个B品种的粽子共需
35元;购买2个A品种的粽子和3个B品种的粽子共需19元.
(1)求每个A品种的粽子和每个B品种的粽子各多少元;
(2)某校计划用不超过4 000元的资金,购买A,B两种不同品种的粽子共1 000个,则最多可以购买多少个A品种的粽子.
行程问题
【典例2】红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地,以75千米/小时的平均速度,用时2小时到达.由于天气原因,原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内,这样需要用t小时到达.求t的取值范围.
思路点拨根据路程=速度×时间,结合原路返回时汽车平均速度控制在不低于
50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内,即可得出关于t的一元一次不等式组,解之得出t的取值范围.
【变式1】甲、乙、丙三只电子跳蚤在数轴上分别以每秒9个、7个、6.5个单位长度的速度向右移动,开始时乙在甲、丙两者之间,且丙在甲的右边(如图),当
x秒后三只跳蚤的位置变为甲在乙、丙之间,则x的值可能是下列数中的( )
A.11 B.14 C.17 D.20
【变式2】甲、乙两地相距30 km,小李要从甲地到乙地办事,若他以5 km/h的速度可按时到达,现在小李走了3 h后因有事停留了0.5 h,为了不迟到,小李后来的速度至少是多少
【变式3】随着我国汽车保有量的持续攀升,不仅给能源带来了危机,同时也给环境带来了巨大的危害.节能成为新世纪全球的主题,节能又环保的油电混合动力汽车,既可以用油做动力行驶,也可用电做动力行驶,某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地,若完全用油做动力行驶,则费用为60元,若完全用电做动力行驶,则费用为20元,已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元.
(1)汽车行驶中每千米用电费用是多少元 甲、乙两地的距离是多少千米
(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶,且所需费用不超过40元,则至少需要用电行驶多少千米
分配问题
【典例3】某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A,B两种型号的机器.已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件,且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等.
(1)每台A,B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件
(2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于72件,同时为了保障机器的正常运转,两种机器每小时加工的零件不能超过76件,那么A,B两种型号的机器可以各安排多少台
思路点拨(1)设每台B型机器每小时加工x个零件,则每台A型机器每小时加工(x+2)个零件,根据工作时间=工作总量÷工作效率,结合一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设A型机器安排m台,则B型机器安排(10-m)台,根据每小时加工零件的总量=8×A型机器的数量+6×B型机器的数量,结合每小时加工的零件不少于72件且不能超过76件,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m为正整数即可得出安排方案.
【变式1】(2024·铜仁质检)把一些笔分给几名学生,如果每人分5支,那么余7支;如果前面的学生每人分6支,那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支,则共有学生( )
A.10或11人 B.10人
C.11或12人 D.12人
【变式2】某机械厂甲、乙两个生产车间承担生产同一种零件的任务,甲、乙两车间共有50人,甲车间平均每人每天生产零件30个,乙车间平均每人每天生产零件20个,甲车间每天生产零件总数与乙车间每天生产零件总数之和为1 200个.
(1)求甲、乙两车间各有多少人.
(2)该机械厂改进了生产技术,在甲、乙两车间总人数不变的情况下,从甲车间调出一部分人到乙车间.调整后甲车间平均每人每天生产零件35个,乙车间平均每人每天生产零件25个,若甲车间每天生产零件总数与乙车间每天生产零件总数之和不少于1 420个,求从甲车间最多调出多少人到乙车间.
【变式3】赫章樱桃素有“春果第一枝“之称,备受广大消费者青睐,樱桃成熟之际总是远销贵阳,昆明和成都等地,赫章已成为名副其实的“中国樱桃之乡”,赫章某樱桃种植基地欲将n吨樱桃运往贵阳、昆明和成都三地销售,要求:①运往各地的樱桃质量均为整数吨;②运往成都的樱桃质量是运往贵阳的樱桃质量的2倍.设安排a吨樱桃运往贵阳.
(1)当n=20时,
①根据表中的已有信息将表补充完整.
项目 贵阳 昆明 成都 合计
樱桃质 量/吨 a ______ ______ 20
运费/元 300a ______ 500a 560a+1 600
②若运往昆明的樱桃的质量不多于运往贵阳的樱桃质量,且总运费不超过
5 520元,则具体有哪几种运输方案
(2)若总运费为7 360元,求n的最小值.
方案设计题
【典例4】(2022·六盘水中考)钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人,现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售,以下是购买者的出价:
(1)根据对话内容,求钢钢出售的竹篮和陶罐数量;
(2)钢钢接受了姗姗的报价,交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花,剩余的钱不超过20元,求有哪几种购买方案.
思路点拨(1)设出售的竹篮x个,陶罐y个,根据每个竹篮5元,每个陶罐12元,共需61元;每个竹篮6元,每个陶罐10元,共需60元,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购买鲜花a束,根据总价=单价×数量,结合剩余的钱不超过20元,即可得出关于a的一元一次不等式组,解之取其中的整数值,即可得出各购买方案.
【变式1】为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备.现有A,B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如表.经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
(1)请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若企业每月产生的污水量为2 040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案
项目 A型 B型
价格(万元/台) 12 10
处理污水量(吨/月) 240 200
年消耗费(万元/台) 1 1
【变式2】“绿水青山,就是金山银山”.某旅游景区为了保护环境,需购买A,B两种型号的垃圾处理设备,已知2台A型设备和3台B型设备日处理能力一共为72吨;3台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为52吨.
(1)求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为多少吨
(2)根据实际情况,需购买A,B两种型号的垃圾处理设备共10台.要求B型设备不多于A型设备的3倍,且购回的设备日处理能力不低于144吨.请你利用不等式的知识为该景区设计购买A,B设备的方案.
