实数的有关运算
含有算术平方根和立方根的运算
【典例1】已知:一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x-15.
(1)求x的值;
(2)求a+1的立方根.
思路点拨(1)根据正数a的两个平方根互为相反数列式求出x的值即可;
(2)把(1)中求出的a的值代入a+1,然后再求立方根即可.
【变式1】(2024·贵阳期中)下列说法不正确的是( )
A.1的平方根是1
B.-1的立方根是-1
C.0的算术平方根是0
D.0的立方根是0
【变式2】下列等式正确的是( )
A.=-3 B.=±
C.=4 D.-=-
【变式3】(1)--++的值为( )
A.- B.± C. D.
(2)计算+|-11|-,正确的结果是( )
A.-11 B.11 C.22 D.-22
【变式4】求下列各式中的x:
(1)25(x-1)2=49;
(2)64(x-2)3-1=0.
运用法则进行实数运算
【典例2】(1)计算:|3-π|-= .
(2)计算:42 022××(-1)0= .
思路点拨根据实数运算法则进行计算即可.
【变式1】(2024·遵义市绥阳县期末)计算:(-1)0+2-1= .
【变式2】计算:(1) (-)2;
(2)(-)-;
(3)1-(+)(-).
含绝对值的实数运算
【典例3】计算|1-|+|-|+|-2|的值为( )
A.1 B.-1
C.1-2 D.2-1
思路点拨先判断实数的大小去绝对值符号,再运算.
【变式1】实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,那么|b-a|+|a+b|-|b|化简的结果为( )
A.2a+b B.b
C.2a-b D.3b
【变式2】求下列各式中x的实数值.
(1)|x|-=0; (2)|x+2|=π.
【变式3】计算:(2-π)0-2+|2-|+3-2.
【变式4】如图,数轴的正半轴上有A,B,C三点,点A,B分别表示数1和.点B到点A的距离与点C到点O的距离相等,设点C所表示的数为x.
(1)请你求出数x的值.
(2)若m为x-2的相反数,n为x-2的绝对值,求m+n.
拓展:实数运算中的新定义问题
1.规定a*b=(a+b)(a-b),则1*的值是( )
A.1+ B.1- C.-1 D.3
2.对任意两个实数a,b定义两种运算:ab=,a b=,并且定义运算顺序仍然是先做括号内的,例如(-2) 3=3,(-2) 3=-2,[(-2) 3] 2=2.那么(2) 等于( )
A.3 B.3 C. D.6
3.对于两个不相等的实数a,b,定义一种新的运算:a*b=,例如:3*2==,那么15*(6*3)= . 实数的有关运算
含有算术平方根和立方根的运算
【典例1】已知:一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x-15.
(1)求x的值;
(2)求a+1的立方根.
思路点拨(1)根据正数a的两个平方根互为相反数列式求出x的值即可;
(2)把(1)中求出的a的值代入a+1,然后再求立方根即可.
【解析】(1)∵一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x-15,
∴(x+5)+(4x-15)=0,
∴5x-10=0,解得x=2;
(2)由(1)得x=2,
∴a=(2+5)2=49.
a+1=×49+1=7+1=8,
∴a+1的立方根是=2.
【变式1】(2024·贵阳期中)下列说法不正确的是(A)
A.1的平方根是1
B.-1的立方根是-1
C.0的算术平方根是0
D.0的立方根是0
【变式2】下列等式正确的是(C)
A.=-3 B.=±
C.=4 D.-=-
【变式3】(1)--++的值为(A)
A.- B.± C. D.
(2)计算+|-11|-,正确的结果是(B)
A.-11 B.11 C.22 D.-22
【变式4】求下列各式中的x:
(1)25(x-1)2=49;
(2)64(x-2)3-1=0.
【解析】(1)∵25(x-1)2=49,
∴(x-1)2=,
∴x-1=±,
∴x=1±,
∴x=或-;
(2)∵64(x-2)3-1=0,
∴(x-2)3=,
∴x-2=,∴x=.
运用法则进行实数运算
【典例2】(1)计算:|3-π|-= π-7 .
(2)计算:42 022××(-1)0= - .
思路点拨根据实数运算法则进行计算即可.
【变式1】(2024·遵义市绥阳县期末)计算:(-1)0+2-1= .
【变式2】计算:(1) (-)2;
(2)(-)-;
(3)1-(+)(-).
【解析】(1)原式=3-4+=;
(2)原式=5-1-0.5=3.5;
(3)原式=1-3+2=0.
含绝对值的实数运算
【典例3】计算|1-|+|-|+|-2|的值为(A)
A.1 B.-1
C.1-2 D.2-1
思路点拨先判断实数的大小去绝对值符号,再运算.
【变式1】实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,那么|b-a|+|a+b|-|b|化简的结果为(A)
A.2a+b B.b
C.2a-b D.3b
【变式2】求下列各式中x的实数值.
(1)|x|-=0; (2)|x+2|=π.
【解析】(1)由题意得x=或-;
(2)x+2=π或-π,
∴x=π-2或x=-π-2.
【变式3】计算:(2-π)0-2+|2-|+3-2.
【解析】原式=1-2+-2+
=1-2+2-2+
=-.
【变式4】如图,数轴的正半轴上有A,B,C三点,点A,B分别表示数1和.点B到点A的距离与点C到点O的距离相等,设点C所表示的数为x.
(1)请你求出数x的值.
(2)若m为x-2的相反数,n为x-2的绝对值,求m+n.
【解析】(1)∵点A,B表示的数分别是1和,∴AB=-1,
∴OC=AB=-1,
∴点C表示的数x=-1;
(2)由(1)知x=-1,
∴x-2=-1-2=-3,
∴m=3-,n=|-3|=3-,
∴m+n=6-2.
拓展:实数运算中的新定义问题
1.规定a*b=(a+b)(a-b),则1*的值是(C)
A.1+ B.1- C.-1 D.3
2.对任意两个实数a,b定义两种运算:ab=,a b=,并且定义运算顺序仍然是先做括号内的,例如(-2) 3=3,(-2) 3=-2,[(-2) 3] 2=2.那么(2) 等于(C)
A.3 B.3 C. D.6
3.对于两个不相等的实数a,b,定义一种新的运算:a*b=,例如:3*2==,那么15*(6*3)= .
