不等式在求字母参数取值(范围)中的应用
与可化为一元一次方程的方程结合
【典例1】关于x的分式方程=2的解是负数,求满足条件的整数m的最大值.
思路点拨先求出分式方程=2的解,再根据解是负数得到关于m的不等式,解不等式可求满足条件的整数m的最大值.
【解析】解分式方程=2得x=m+2,∵关于x的分式方程=2的解是负数,
∴m+2<0且m+2≠-1,解得m<-2且m≠-3,
∴满足条件的整数m的最大值是-4.
【变式1】若关于x的方程x-k=2x-1的解为正数,则k的取值范围是 k<1 .
【变式2】当m取何值时,关于x的方程-=1的解不大于11
【解析】解关于x的方程-=1得x=,
根据题意,得≤11,
∴3-2m<0或3-2m≥1,
解得m≤1或m>.
【变式3】已知关于x的方程3x-a=4.
(1)若该方程的解满足x>-2,求a的取值范围;
(2)若该方程的解是不等式x-2(3x-1)≥x+4的最大整数解,求a的值.
【解析】(1)解方程3x-a=4,得x=,
∵该方程的解满足x>-2,
∴>-2,解得a>-10.
(2)解不等式x-2(3x-1)≥x+4,
得x≤-,
则最大的整数解是x=-1.
把x=-1代入3x-a=4,
解得a=-7.
【变式4】已知有关x的方程=1-的解也是不等式2x-3a<5的一个解,求满足条件的整数a的最小值.
【解析】原方程可化为:5(x+1)=10-2(x-1),
即7x=7,
解得x=1,
把x=1代入2x-3a<5中,得2-3a<5,
解不等式得:a>-1,
所以整数a的最小值为0.
与二元一次方程组结合
【典例2】若关于x,y的方程组的解满足x+y≤6,求k的取值范围.
思路点拨先在二元一次方程组中解出x,y,再代入不等式中求解即可.
【解析】解方程组得,,∵x+y≤6,∴3k+1-k-2≤6,解得k≤.
∴k的取值范围为k≤.
【变式1】已知x,y满足,和x+y≤0,求m的最小值.
【解析】解方程组,
得,
∵x+y≤0,
∴m+2+1-2m≤0,即-m+3≤0,
解得m≥3,
∴m的最小值为3.
【变式2】已知关于x,y的二元一次方程组.
(1)若方程组的解满足x-y>3m+11,求m的取值范围.
(2)当m取(1)中最大负整数值时,求x-y的值.
【解析】(1),
用②-①得:4y=8-4m,解得y=2-m,
把y=2-m代入到②得:x+2-m=-3m+7,解得x=5-2m,
∵x-y>3m+11,
∴5-2m-2+m>3m+11,
解得m<-2;
(2)由(1)得m<-2,
∵m取最大负整数,∴m=-3,
∴x-y=5-2m-2+m=3-m=3-(-3)=6.
【变式3】若等式2(2x-4)+=0中的x,y满足方程组(其中m,n为常数),试确定关于k的不等式n-mk≤0中k的最小整数解.
【解析】∵2(2x-4)+=0,
∴2x-4=0且y-=0,
解得x=2,y=,
则方程组为
解方程组得
则不等式为6-4k≤0,
解不等式得k≥,∴k的最小整数解为2.
与不等式解集结合
【典例3】已知不等式5-3x≤-1的最小整数解也是关于x的不等式3(x-4)-6k>0的解,求k的取值范围.
思路点拨先解不等式5-3x≤-1确定其最小整数解,然后解不等式3(x-4)-6k>0,从而结合上一个不等式的最小整数解确定k的取值范围.
【解析】解不等式5-3x≤-1得x≥2,
∴不等式5-3x≤-1的最小整数解是2,
解关于x的不等式3(x-4)-6k>0得x>2k+4,
由题意可知2k+4<2,
解得k<-1.
【变式1】若关于x的不等式3x-m≤0的正整数解是1,2,3,则m的取值范围是(D)
A.m≥9 B.9C.m<12 D.9≤m<12
【变式2】关于x的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解集是x<1,求关于x的不等式2ax-b>0的解集.
【解析】∵不等式(2a-b)x+a-5b>0的解集是x<1,
∴2a-b<0,2a-b=5b-a,a=2b,b<0,
又∵2ax-b>0,∴x<.
【变式3】关于x的两个不等式①<1与②1-3x>0.
(1)若两个不等式的解集相同,求a的值;
(2)若不等式①的解都是②的解,求a的取值范围.
【解析】解不等式①得x<,解不等式②得x<.
(1)由两个不等式的解集相同,得=,解得a=1.
(2)由不等式①的解都是②的解,得≤,解得a≥1.
【变式4】若不等式-1≤2-x的解集中x的每一个值,都能使关于x的不等式
3(x-1)+5>5x+2(m+x)成立,求m的取值范围.
【解析】解不等式-1≤2-x得x≤,
解关于x的不等式3(x-1)+5>5x+2(m+x),
得x<,
∵不等式-1≤2-x的解集中x的每一个值,都能使关于x的不等式3(x-1)+5>5x+2(m+x)成立,
∴>,
解得m<-.不等式在求字母参数取值(范围)中的应用
与可化为一元一次方程的方程结合
【典例1】关于x的分式方程=2的解是负数,求满足条件的整数m的最大值.
思路点拨先求出分式方程=2的解,再根据解是负数得到关于m的不等式,解不等式可求满足条件的整数m的最大值.
【变式1】若关于x的方程x-k=2x-1的解为正数,则k的取值范围是 .
【变式2】当m取何值时,关于x的方程-=1的解不大于11
【变式3】已知关于x的方程3x-a=4.
(1)若该方程的解满足x>-2,求a的取值范围;
(2)若该方程的解是不等式x-2(3x-1)≥x+4的最大整数解,求a的值.
【变式4】已知有关x的方程=1-的解也是不等式2x-3a<5的一个解,求满足条件的整数a的最小值.
与二元一次方程组结合
【典例2】若关于x,y的方程组的解满足x+y≤6,求k的取值范围.
思路点拨先在二元一次方程组中解出x,y,再代入不等式中求解即可.
【变式1】已知x,y满足,和x+y≤0,求m的最小值.
【变式2】已知关于x,y的二元一次方程组.
(1)若方程组的解满足x-y>3m+11,求m的取值范围.
(2)当m取(1)中最大负整数值时,求x-y的值.
【变式3】若等式2(2x-4)+=0中的x,y满足方程组(其中m,n为常数),试确定关于k的不等式n-mk≤0中k的最小整数解.
与不等式解集结合
【典例3】已知不等式5-3x≤-1的最小整数解也是关于x的不等式3(x-4)-6k>0的解,求k的取值范围.
思路点拨先解不等式5-3x≤-1确定其最小整数解,然后解不等式3(x-4)-6k>0,从而结合上一个不等式的最小整数解确定k的取值范围.
【变式1】若关于x的不等式3x-m≤0的正整数解是1,2,3,则m的取值范围是( )
A.m≥9 B.9C.m<12 D.9≤m<12
【变式2】关于x的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解集是x<1,求关于x的不等式2ax-b>0的解集.
【变式3】关于x的两个不等式①<1与②1-3x>0.
(1)若两个不等式的解集相同,求a的值;
(2)若不等式①的解都是②的解,求a的取值范围.
【变式4】若不等式-1≤2-x的解集中x的每一个值,都能使关于x的不等式
3(x-1)+5>5x+2(m+x)成立,求m的取值范围.
