三角形知识初步
三角形的三边关系
【典例1】在△ABC中,已知AB=2,AC=5,若第三边BC的长为偶数,求△ABC的周长.
思路点拨依据三角形三边关系得出BC的范围,结合BC的长为偶数,得出符合的BC长,进一步得出周长.
【解析】因为在△ABC中,AB=2,AC=5,
所以第三边BC的取值范围是:3
所以符合条件的偶数是4或6,所以当BC=6时,△ABC的周长为:2+6+5=13;
当BC=4时,△ABC的周长为:2+4+5=11.所以△ABC的周长为13或11.
【变式1】一个三角形的两边长分别为3和4,且第三边长为整数,这样的三角形的周长最大值是(C)
A.11 B.12 C.13 D.14
【变式2】若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b满足+(b-2)2=0.
(1)求c的取值范围;
(2)若第三边长c是整数,求c的值.
【解析】(1)∵+(b-2)2=0,
∴a-3=0,b-2=0,
解得a=3,b=2,
∵3-2=1,3+2=5,
∴1(2)∵c是整数,
∴c的值为2,3,4.
三角形的中线
【典例2】在△ABC中,BC=8,AB=1;
(1)若AC是整数,求AC的长;
(2)已知BD是△ABC的中线,若△ABD的周长为10,求△BCD的周长.
思路点拨(1)根据三角形的三边关系确定AC的范围,然后根据条件解答即可;
(2)根据三角形中线的定义得到AD=CD,然后利用三角形的周长公式计算.
【解析】(1)由题意得BC-AB所以7因为AC是整数,所以AC=8;
(2)因为BD是△ABC的中线,所以AD=CD,因为△ABD的周长为10,
所以AB+AD+BD=10,
因为AB=1,所以AD+BD=9,
所以C△BCD=BC+BD+CD=BC+AD+BD=8+9=17.
【变式1】(2024·铜仁碧江区期中)已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成
6 cm和12 cm两部分,则等腰三角形的腰长为(C)
A.4 cm或8 cm B.4 cm
C.8 cm D.2 cm或10 cm
【变式2】如图,点D是BC的中点,点E是AD的中点,若△ABC的面积为6,则图中阴影部分的面积为(A)
A. B. C.1 D.2
【变式3】如图,在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长.
【解析】设BD=CD=x,AB=y,则AC=2BC=4x,
因为BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,AC>AB,
所以AC+CD=60,AB+BD=40,
即
解得:
当AB=28,BC=24,AC=48时,符合三角形三边关系定理,能组成三角形,所以AC=48,AB=28.
【变式4】如图,△ABC的周长是21 cm,AB=AC,中线BD分△ABC为两个三角形,且△ABD的周长比△BCD的周长大6 cm,求AB,BC.
【解析】因为BD是中线,
所以AD=CD=AC,
因为△ABD的周长比△BCD的周长大6 cm,
所以(AB+AD+BD)-(BD+CD+BC)=AB-BC=6 cm①,
因为△ABC的周长是21 cm,AB=AC,
所以2AB+BC=21 cm②,联立①②得:AB=9 cm,BC=3 cm.
三角形的内角与外角
【典例3】将一副三角板按如图所示的方式摆放,其中点B落在边EF上,点D落在边AC上,则∠α的大小为(A)
A.165° B.160° C.150° D.135°
【变式1】(2024·安顺期末)一副三角板如图所示摆放,若∠2=100°,则∠1的度数是(A)
A.85° B.95° C.100° D.105°
【变式2】将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为(B)
A.105° B.75° C.65° D.55°
【变式3】将一副三角板按如图所示的方式叠放,则∠α的度数为 15° .
【变式4】一个零件的形状如图,按规定∠A=90°,∠B和∠C应分别是32°和21°,检验工人量得∠BDC=149°,就判断这个零件不合格,运用三角形的有关知识说出零件不合格的理由.
【解析】延长CD交AB于点E,因为∠BED是△ACE的一个外角,所以∠BED=∠A+∠C=90°+21°=111°,同理,∠BDC=∠BEC+∠B=111°+32°=143°,而检验工人量得∠BDC=149°,所以零件不合格.三角形知识初步
三角形的三边关系
【典例1】在△ABC中,已知AB=2,AC=5,若第三边BC的长为偶数,求△ABC的周长.
思路点拨依据三角形三边关系得出BC的范围,结合BC的长为偶数,得出符合的BC长,进一步得出周长.
【变式1】一个三角形的两边长分别为3和4,且第三边长为整数,这样的三角形的周长最大值是( )
A.11 B.12 C.13 D.14
【变式2】若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b满足+(b-2)2=0.
(1)求c的取值范围;
(2)若第三边长c是整数,求c的值.
三角形的中线
【典例2】在△ABC中,BC=8,AB=1;
(1)若AC是整数,求AC的长;
(2)已知BD是△ABC的中线,若△ABD的周长为10,求△BCD的周长.
思路点拨(1)根据三角形的三边关系确定AC的范围,然后根据条件解答即可;
(2)根据三角形中线的定义得到AD=CD,然后利用三角形的周长公式计算.
【变式1】(2024·铜仁碧江区期中)已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成
6 cm和12 cm两部分,则等腰三角形的腰长为( )
A.4 cm或8 cm B.4 cm
C.8 cm D.2 cm或10 cm
【变式2】如图,点D是BC的中点,点E是AD的中点,若△ABC的面积为6,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C.1 D.2
【变式3】如图,在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长.
【变式4】如图,△ABC的周长是21 cm,AB=AC,中线BD分△ABC为两个三角形,且△ABD的周长比△BCD的周长大6 cm,求AB,BC.
三角形的内角与外角
【典例3】将一副三角板按如图所示的方式摆放,其中点B落在边EF上,点D落在边AC上,则∠α的大小为( )
A.165° B.160° C.150° D.135°
【变式1】(2024·安顺期末)一副三角板如图所示摆放,若∠2=100°,则∠1的度数是( )
A.85° B.95° C.100° D.105°
【变式2】将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为( )
A.105° B.75° C.65° D.55°
【变式3】将一副三角板按如图所示的方式叠放,则∠α的度数为 15° .
【变式4】一个零件的形状如图,按规定∠A=90°,∠B和∠C应分别是32°和21°,检验工人量得∠BDC=149°,就判断这个零件不合格,运用三角形的有关知识说出零件不合格的理由.