综合运用等腰三角形的性质进行判定和计算
利用等腰三角形的定义进行判定
【典例1】已知,a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|a-4|=2的解,请判断△ABC的形状.
思路点拨利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b,c的值,进而利用三角形三边关系和方程得出a的值,从而判断出其形状.
【解析】∵(b-2)2+|c-3|=0,
∴b-2=0,c-3=0,
解得b=2,c=3,
∵a为方程|a-4|=2的解,
∴a-4=±2,
解得a=6或2,
∵a,b,c为△ABC的三边长,b+c<6,
∴a=6不合题意舍去,
∴a=b=2,
∴△ABC是等腰三角形.
【变式1】△ABC中,三边长a,b,c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定为(B)
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【变式2】如果△ABC是等腰三角形,且=0,则△ABC的周长为(D)
A.13 B.17
C.17或22 D.22
【变式3】已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,则此三角形的形状为 等边三角形 .
利用等腰三角形的性质求角
【典例2】如图,△ABC中,∠A=30°,AB=AC,D,E分别是AC,AB上的两点,且BD=BC=BE,连接DE.求∠BDE的度数.
思路点拨根据AB=AC,利用三角形内角和定理求出∠ABC和∠C的度数,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC的度数,然后可求出∠BDE的度数.
【解析】∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,
∵∠ABC+∠C+∠A=180°,∠A=30°,
∴∠ABC=∠C=75°,∵BD=BC=BE,
∴∠BED=∠BDE,∠BCD=∠BDC=75°,
∴∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=30°,
∴∠DBE=45°,
∴∠BDE=(180°-∠DBE)=67.5°.
【变式1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为(A)
A.39° B.40° C.49° D.51°
【变式2】(2024·遵义质检)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.如图,这个三等分角仪由两根有槽的棒PB,PD组成,两根棒在P点相连,并可绕点P转动,C点固定,CP=OC=OA,点O,A可在槽中滑动.若∠PCO=130°,则∠AOB的度数是(C)
A.50° B.65° C.75° D.80°
等腰三角形性质与判定的综合应用
【典例3】如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接AD.
(1)若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形;
(2)若△ACD为直角三角形,求∠BAD的度数.
思路点拨(1)根据等腰三角形的性质求出∠C的度数,根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数,求出∠CAD=∠ADC,根据等腰三角形的判定得出即可;
(2)有两种情况:①当∠ADC=90°时,②当∠CAD=90°时,分别求出即可.
【解析】(1)∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠B=∠C=30°,
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°,
∵∠BAD=45°,
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°,∠ADC=∠B+∠BAD=75°,
∴∠ADC=∠CAD,
∴CA=CD,即△ACD为等腰三角形;
(2)有两种情况:①当∠ADC=90°时,
∵∠B=30°,
∴∠BAD=∠ADC-∠B=90°-30°=60°;
②当∠CAD=90°时,∠BAD=∠BAC-∠CAD=120°-90°=30°,
即∠BAD的度数是60°或30°.
【变式】如图,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点M,且过点M的直线DE∥BC,分别交AB,AC于D,E两点,若AB=12,AC=10,则△ADE的周长为 22 .
等边三角形性质与判定的综合应用
【典例4】如图,△ABC为等边三角形,DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,垂足分别为E,F,D,求证:△DEF是等边三角形.
思路点拨根据等边三角形的性质和垂直的定义得到∠FED=∠EDF=
∠DFE=60°,进而得到△DEF是等边三角形.
【证明】∵FD⊥AB,EF⊥AC,△ABC为等边三角形,
∴∠A=60°,∠ADF=∠CFE=90°,
∴∠AFD=30°,
∴∠DFE=60°.
同理可证∠FDE=∠DEF=60°,
∴△DEF是等边三角形.
【变式】如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由;
(2)若BC=10,求△ODE的周长.
【解析】(1)△ODE是等边三角形.理由如下:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵OD∥AB,OE∥AC,
∴∠ODE=∠ABC=60°,
∠OED=∠ACB=60°,
∴△ODE为等边三角形.
(2)见全解全析综合运用等腰三角形的性质进行判定和计算
利用等腰三角形的定义进行判定
【典例1】已知,a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|a-4|=2的解,请判断△ABC的形状.
思路点拨利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b,c的值,进而利用三角形三边关系和方程得出a的值,从而判断出其形状.
【变式1】△ABC中,三边长a,b,c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定为( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【变式2】如果△ABC是等腰三角形,且=0,则△ABC的周长为( )
A.13 B.17
C.17或22 D.22
【变式3】已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,则此三角形的形状为 .
利用等腰三角形的性质求角
【典例2】如图,△ABC中,∠A=30°,AB=AC,D,E分别是AC,AB上的两点,且BD=BC=BE,连接DE.求∠BDE的度数.
思路点拨根据AB=AC,利用三角形内角和定理求出∠ABC和∠C的度数,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC的度数,然后可求出∠BDE的度数.
【变式1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为( )
A.39° B.40° C.49° D.51°
【变式2】(2024·遵义质检)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.如图,这个三等分角仪由两根有槽的棒PB,PD组成,两根棒在P点相连,并可绕点P转动,C点固定,CP=OC=OA,点O,A可在槽中滑动.若∠PCO=130°,则∠AOB的度数是( )
A.50° B.65° C.75° D.80°
等腰三角形性质与判定的综合应用
【典例3】如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接AD.
(1)若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形;
(2)若△ACD为直角三角形,求∠BAD的度数.
思路点拨(1)根据等腰三角形的性质求出∠C的度数,根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数,求出∠CAD=∠ADC,根据等腰三角形的判定得出即可;
(2)有两种情况:①当∠ADC=90°时,②当∠CAD=90°时,分别求出即可.
【变式】如图,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点M,且过点M的直线DE∥BC,分别交AB,AC于D,E两点,若AB=12,AC=10,则△ADE的周长为 .
等边三角形性质与判定的综合应用
【典例4】如图,△ABC为等边三角形,DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB,垂足分别为E,F,D,求证:△DEF是等边三角形.
思路点拨根据等边三角形的性质和垂直的定义得到∠FED=∠EDF=
∠DFE=60°,进而得到△DEF是等边三角形.
【变式】如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由;
(2)若BC=10,求△ODE的周长.
