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7.1 复数的概念——2024-2025学年高中数学人教A版(2019)必修二同步课时作业
一、选择题
1．设复数z的共轭复数为，，则复数在复平面内的对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．在复平面内，复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．已知复数,则在复平面内复数z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．复数的虚部是( )
A.5 B. C.5i D.
5．已知，则在复平面内对应的点位于( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
6．复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为( )
A.i B. C. D.1
二、多项选择题
7．已知i是虚数单位，复数，，则( )
A.任意，均有 B.任意，均有
C.存在，使得 D.存在，使得
8．若，，则( )
A. B.
C.在复平面内对应的点在第二象限 D.是实数
三、填空题
9．若复数是纯虚数,则实数m的值为______
10．已知复数,，若，则b的取值范围是________.
11．若,则的最大值为______.
四、解答题
12．已知复数,.（其中i是虚数单位,m,）.
（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上,求实数m的值;
（2）若,求实数的取值范围.
13．已知复数（a，），且．
（1）若z的实部和虚部相等，求z对应的点的坐标；
（2）在复平面内z对应的点的集合是什么图形？并画出此图；
（3）若，求a，b的值．
参考答案
1．答案：D
解析：由题可知复数，则，所以复数在复平面内的对应点的坐标为，位于第四象限，故选D.
2．答案：D
解析：复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D
3．答案：A
解析：因为,
所以复数z在复平面内对应的点是,位于第一象限.
故选：A.
4．答案：B
解析：复数的虚部是-5，综上所述，答案选择：B
5．答案：A
解析：因为，所以，
所以解得
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选A.
6．答案：B
解析：由题设，，则，
所以的虚部为.
故选：B.
7．答案：AD
解析：根据复数的概念可知不能与实数比大小，故B错误；
由复数的模长公式可得，，
易知，且不能同时取得等号，故，即A正确；
即动点E到动点F的距离，显然E在抛物线上，F在单位圆上，如图所示，
当，时，，故D正确；
若存在，使得，则，
由上知，即上述方程组无解，故C错误；
故选：AD
8．答案：ABD
解析：因为，所以A正确；
因为，，所以B正确；
因为，它在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点在第一象限，所以C错误；
因为，所以是实数，所以D正确.
故选：ABD.
9．答案：2
解析：因为复数是纯虚数,所以,解得.
10．答案：
解析：因为，所以为实数，故，
又，即，所以，
则b的取值范围是.
故答案为：.
11．答案：3
解析：
12．答案：（1）-3
（2）
解析：（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上,
则,解得;
（2）若,则由②得③
将①③相加得,
故,
因为,则当时,,当时,,
所以的取值范围为.
13．答案：（1），；
（2）圆，图形见解析；
（3），，或，
解析：（1）因为z的实部和虚部相等，
所以，因为，所以，
当时，；当时，，
因此z对应的点的坐标为，；
（2）因为，
所以有，它表示在复平面内z对应的点到原点的距离为，
即在复平面内z对应的点是以O为圆心，为半径的圆，图形如下图：
（3）因为，
所以，
又因为，
所以，
于是有，，或，.
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7.2 复数的四则运算——2024-2025学年高中数学人教A版(2019)必修二同步课时作业
一、选择题
1．,则( )
A. B. C.3 D.
2．在复平面中，复数对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．( )
A. B. C. D.
4．若复数满足（为虚数单位）,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5．已知复数,其中i为虚数单位,则( )
A. B. C. D.1
6．设,则( )
A.i B. C. D.
二、多项选择题
7．已知i为虚数单位,复数,为方程的两个根,则下列选项中正确的有( )
A.
B.
C.复数在复平面上对应的点在第二象限
D.
8．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. B.复数的虚部为
C.若复数z为纯虚数，则 D.
三、填空题
9．已知，则________.
10．已知复数,则Z的虚部为____________.
11．已知复数，则z的虚部为________.
四、解答题
12．已知i是虚数单位，，设复数，，，且.
（1）若为纯虚数，求；
（2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值.
13．（1）记i是虚数单位，若复数z满足，求z；
（2）若复数.
①若复数z为纯虚数，求实数m的值；
②若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：,
故选：B.
2．答案：C
解析：依题意，
所以在复平面中，复数对应的点在第三象限.
故选：C
3．答案：D
解析：.
4．答案：C
解析：因为复数满足,
所以,
则,
所以在复平面内对应的点位于第三象限,
故选:C
5．答案：C
解析：,
所以,
故选:C
6．答案：A
解析：因为,
所以.
故选：A.
7．答案：ABD
解析：不妨令的两个根为,,因此,故A正确;,故B正确;
复数在复平面上对应的点在第一象限或者第四象限,故C错误;
由于,故D正确.故选ABD.
8．答案：AD
解析：因为，A正确；
复数的虚部为，B不正确；
若，则，，C不正确；
设，，所以，
，D正确.
故选：AD.
9．答案：
解析：，则.
10．答案：1
解析：复数,则z的虚部为1.故答案为:1.
11．答案：1
解析：，故虚部为1.
故答案为：1
12．答案：（1）或
（2）①存在，，；②，最大值为2
解析：（1）因为复数，，，，
所以，
而为纯虚数，因此，即.
又因为，且，所以，
由，解得或，
所以或.
（2）①存在，理由如下：
法一：由题意知：，得，
解得或，
因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以，；
法二：设，是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则，，
所以即，
所以，所以，
且时，满足.
所以，.
②因为复数，对应的向量分别是，(为坐标原点），且O，A，B三点不共线，所以设向量，的夹角为θ，，设复数所对应的向量为，
则，，，且，
因此的面积，
，
设，则，
当且仅当且，即或时等号成立，
所以，其最大值为2.
13．答案：（1）或；
（2）①；②
解析：（1）设且，则，
因为，所以，
即，
解得或，
所以或.
（2）由复数，
①因为复数z为纯虚数，所以，
解得；
②因为复数在复平面内对应的点在第二象限，可得，
解得，即，所以实数m的取值范围为.
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7.3 复数的三角表示——2024-2025学年高中数学人教A版(2019)必修二同步课时作业
一、选择题
1．将复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是( )
A. B. C. D.
2．复数，，则的辐角主值是( )
A. B. C.π D.
3．设复数z的辐角的主值为，虚部为，则( )
A. B. C. D.
4．正的顶点A，B，C对应复数，，，点A，B，C按逆时针顺序排列，那么( )
A.
B.
C.
D.
5．复数的三角形式是( )
A. B.
C. D.
6．已知复数，，则的代数形式是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
7．已知i是虚数单位，下列说法正确的是( )
A.已知，若，，则
B.复数，满足，则
C.复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
D.复数z满足，则
8．任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是( )
A.
B.当，时，
C.当，时，
D.当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
三、填空题
9．在复平面内，点A对应的复数为1，点B对应的复数为，将向量绕A按逆时针旋转，并将模扩大到原来的2倍，得到向量，则点C对应的复数为___________.（用代数形式表示）
10．计算并把结果化为代数形式.
（1）__________；
（2）__________.
11．计算，并把结果化为代数形式.
（1）___________；
（2）___________.
四、解答题
12．已知复数，，，i为虚数单位.
(1)若在复平面内对应向量，将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为，求；
(2)若是关于x的方程的一个根，求实数m与n的值.
13．已知，用复数的三角形式表示它的共轭复数.
参考答案
1．答案：A
解析：复数的三角形式是，向量对应的复数是.故选A.
2．答案：B
解析：，，故辅角主值为.
3．答案：A
解析：由复数z的辐角的主值为，可设复数.因为虚部为，所以，解得，所以，所以.故选A.
4．答案：D
解析：向量绕点A按逆时针方向旋转得到向量，
.故选D.
5．答案：C
解析：.故选C.
6．答案：D
解析：
.故选D.
7．答案：BCD
解析：对A，虚数不能比较大小，可知A错误；
对B，根据共轭复数的定义知，当时，，
则，故B正确；
对C，因为复数z满足，
则复数在复平面上对应的点到，两点间的距离相等，
则复数z在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，
即z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C正确；
因为，
则，
又，
故D正确，
故选：BCD.
8．答案：AC
解析：对于复数，则，，而，所以A正确；
当，时，，所以B错误；
当，时，，则，所以C正确；
当，时，，n为偶数时，设，，，，所以k为奇数时，为纯虚数；k为偶数时，为实数，选项D错误.故选AC.
9．答案：
解析：对应的复数为，绕A逆时针旋转，并将模扩大到原来的2倍，即可得到对应的复数为.设点C对应的复数为z，则，故.
10．答案：（1）-2i
（2）
解析：原式
.
（2）原式
.
11．答案：（1）
（2）
解析：（1）原式
.
（2）原式
.
12．答案：(1)
(2)，或，
解析：(1)依题意可知，
，
.
(2)由条件可知：，整理得：
m，，∴解得：，或，.
13．答案：
解析：，
故.
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