第3章圆锥曲线与方程同步过关练习卷（含解析）-高二数学上学期苏教版（2019）选择性必修第一册

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第3章圆锥曲线与方程同步过关练习卷-高二数学上学期苏教版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（ ）
A． B．4 C． D．8
3．已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
5．已知分别是双曲线的左，右顶点，是双曲线上的一动点，直线，与交于两点，的外接圆面积分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
6．已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单 方向性强 工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6
8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知过点，倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点．过线段AB中的中点P作平行于y轴的直线，分别与抛物线C和其准线相交于点M，N．则下列说法正确的是（ ）
A．点M是线段PN的中点 B．直线AN与抛物线C相切
C． D．
10．已知点M，N是双曲线上不同的两点，则（ ）
A．当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率
B．当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率
C．线段的中点可能是
D．线段的中点可能是
11．已知椭圆的上、下焦点分别为，，上顶点为A，右顶点为B，原点为O，直线与椭圆C交于D，E两点，点，则（ ）
A．四边形面积的最大值为
B．四边形的周长为12
C．直线BD，BE的斜率之积为
D．若动点Q满足，且点P为椭圆C上的一个动点，则的最大值为
三、填空题
12．抛物线的准线方程是，则实数a的值为 ．
13．已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为 ．
14．过抛物线的焦点F且斜率为的直线l交抛物线于点A、B.若，且，则k的取值范围为 .
四、解答题
15．已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M为椭圆C的上顶点，点是椭圆C上两个不同的动点（不在y轴上），直线MA，MB的斜率分别为，，且，证明：直线AB过定点.
16．已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点．
(1)证明：；
(2)当的内切圆半径时，求的取值范围．
17．已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．

(1)求证：直线的斜率为定值；
(2)设焦点到直线的距离为，求的取值范围．
19．已知椭圆的离心率为．直线经过点和椭圆的上顶点，其斜率为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：当变化时，直线过定点．
参考答案：
1．A
【分析】根据准线方程即可求解抛物线方程.
【详解】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，则其准线方程为，得
故该抛物线的标准方程是，
故选：A.
2．D
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解即得.
【详解】椭圆的长半轴长，由点在椭圆上，分别为的左、右焦点，
得，所以平行四边形的周长为.
故选：D
3．B
【分析】根据题意结合椭圆的定义，求出，，然后勾股定理得出a、c的关系即可.
【详解】A为线段的中垂线与的交点，所以，，
三角形的周长为，
所以，又，
所以，又，
所以，
故选：B.
4．C
【分析】利用椭圆的定义转化结合几何性质求最值即可.
【详解】由椭圆方程可知：，
设右焦点为，则，，且，即，
如图所示，

可得：，
当且仅当在线段上时，等号成立，
所以的最大值为3.
故选：C.
5．A
【分析】容易知道，设直线的方程为：，则直线的方程为：，求出，两点坐标，则，设的外接圆的半径分别为，，由正弦定理得，，可知，再利用基本不等式即可求值.
【详解】由已知得，，，由双曲线的对称性，不妨设在第一象限，
所以，，
所以，
设直线的方程为：，则直线的方程为：，
同时令，则，，
所以，
设的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得，
，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以.

故选：A
【点睛】结论点睛：若、分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上一动点，则直线与直线的斜率之积为定值.
6．D
【分析】利用点差法求得直线斜率的关系式，然后利用二倍角公式列方程来求得正确答案.
【详解】设，，
两式相减并化简得，即，
当时，设直线的倾斜角为，
是以为底边的等腰三角形，所以，
所以，
则.
根据对称性可知，当时，，
综上所述，直线的斜率为.
故选：D
7．B
【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用几何意义求解即可.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的方程为，
则，即，
所以，解得（舍去）或，则到顶点的距离为3.
故选：B
8．D
【分析】设P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义结合勾股定理化简得到，再利用柯西不等式即可得解.
【详解】依题意，不妨设P为第一象限的交点，，则，

因为在中，，所以，即，
则，即，
所以，即，
由柯西不等式得，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
此时满足，所以的最大值为.
故选：D.
9．ABD
【分析】将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，进而求出点、的坐标，可判断A选项；利用斜率关系判断出，可判断D选项；求出点、的坐标，利用直线上两点距离公式即可得的值，可判断C选项；求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合判别式可判断B选项．
【详解】题意可知，直线的方程为，设点, , ,，
联立，可得，
则，由韦达定理可得，
所以，则．
故点，所以直线的方程为，
由，可得，即点，抛物线的准线方程为，
所以点，易知点为线段的中点，故A正确；
所以，，所以．即，所以，故D正确；
解方程，可得，，
所以，即点．
，即点，
所以，故C错误；
又，所以直线的方程为，
即，
联立直线和抛物线的方程得，
可得，，
所以直线与抛物线相切，故B正确．
故选：ABD．
10．AD
【分析】由题意先得渐近线斜率，结合直线与双曲线的位置关系即可判断AB，由点差法求直线的斜率，注意验证此时直线是否与双曲线有交点即可.
【详解】双曲线渐近线为，当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN较渐近线更平缓，故，
当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN较渐近线更陡，故，所以A对B错；
记，中点，由M，N是双曲线C上的点，有，两式相减可得，当时，有，
对于C，与双曲线方程联立可知直线MN与方程无交点，故C错；
对于D，，故此时M，N分别位于双曲线的左右两支，故D正确．
故选：AD.
11．ABD
【分析】根据椭圆的性质可判断A；根据椭圆定义结合椭圆对称性可判断B；设，则，表示出BD，BE的斜率之积，结合点在椭圆上即可化简求值，进而判断C；先求出动点的轨迹方程，进而结合椭圆定义求解即可判断D.
【详解】由椭圆，则，，
所以，即，，，
则,，，，
因为直线过原点，所以四边形为平行四边形，
即面积取最大值时，四边形面积取最大值，
此时，四边形面积的最大值为，故A正确；
四边形的周长为，故B正确；
设，则，而，
所以，
又在椭圆上，则，
整理得，，
所以，故C错误；
若设动点，由，可得，
化简得，即，
所以Q在以为圆心，为半径的圆上，
所以，故D正确.
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于要先求出动点的轨迹方程，进而结合椭圆定义，利用图象进行求解.
12．/-0.125
【分析】对比抛物线准线方程即可列方程求解参数.
【详解】由题意，解得.
故答案为：.
13．25
【分析】根据椭圆的定义结合基本不等式可求得结果.
【详解】由，得，
因为点在C上，所以，
所以，
所以，得，当且仅当时取等号，
所以的最大值为25.
故答案为：25

14．
【分析】设直线的倾斜角为，结合抛物线定义，将其转化为线段的比值问题，由已知条件求出关于的表达式，又，从而即可计算出斜率的取值范围.
【详解】如图，延长交准线于点，分别过点，作于，于，
设直线的倾斜角为，设，，
则，，可得，
所以，
因为上式是关于的减函数，又，
所以，所以，
又，所以的取值范围是，
故答案为：.
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据长轴长和离心率即可求出椭圆方程；
（2）设出点坐标和直线AB的方程，直线AB的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和直线MA，MB的斜率之积即可得出直线AB过的定点.
【详解】（1）由题意，
在椭圆（）中，
，，，
解得，，
∴椭圆C的方程为：.
（2）由题意及（1）证明如下：
在椭圆中，，
设，，，
所以，.
因为，
所以.①
若直线的斜率不存在，则，
可得，可得，
且，解得，即直线为y轴，不合题意，
所以直线的斜率存在，设直线AB的方程为，与椭圆联立，
消去y，得.
由，得，
所以，.②
因为，，
所以由①，得，
即，③
把②代入③，得，
整理，得，解得，（舍），
所以，即直线AB过定点.
【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设直线的方程为，设点、，，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算，即可证得结论成立；
（2）由（1）可知，的内切圆圆心在轴上，设圆心的坐标为，则，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，利用内切圆圆心的几何性质可得出，进而可得出的取值范围，再利用弦长公式结合韦达定理可求得的取值范围.
【详解】（1）解：易知抛物线的焦点为，
若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，，
则，由得，，
由韦达定理可得，，
则
，所以．
（2）解：由（1）可知：的内切圆圆心在轴上，
所以设圆心，则，设直线的方程为，且，
由得，，且，则，
由韦达定理可得，，
所以，
所以直线的方程为，即．
因为点到直线的距离等于点到直线的距离，所以，
所以，，，
则，上述两个等式作差可得，可得，
所以，
因为在上单调减，所以．
所以.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
17．(1)
(2)存在点
【分析】（1）根据离心率、双曲线的渐近线以及点到直线的距离公式，建立方程，可得答案；
（2）根据题意，设出直线方程与交点坐标，联立方程写出韦达定理，进而建立方程，可得答案.
【详解】（1）因为离心率为且双曲线，则①，
上焦点到其中一条渐近线的距离为2，渐近线方程，
②，联立①②，解得，
则双曲线的标准方程为；
（2）
易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
显然，且，
由韦达定理得，，
假设在轴上存在定点，使得恒成立，
不妨设，此时，
即
，
解得，则点的坐标为．
综上，轴上存在点，使恒成立．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设出直线方程，联立后得到点纵坐标，同理得到点纵坐标，从而求出直线AB的斜率，即可证明结果；
（2）根据（1）中结果，得出直线的方程，从而得到，再根据的范围，即可求出结果.
【详解】（1）将点代入抛物线方程得，所以抛物线,
设，，
由，消得，
由韦达定理得，又，得到，
又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：，
因此，又，
所以为定值．
（2）由（1）可知，，，，
因此，整理得，
所以到直线的距离，
因为，得，所以，
故．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由离心率公式、平方关系以及斜率公式列出方程组即可求解.
（2）设，，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理以及同理思想表示出坐标，进一步设直线方程为：，由列出方程，得关系式即可得证.
【详解】（1）由题意得：，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，直线与椭圆联立：
化简整理：，
因为，
从而：，，同理：，，
设所在的直线方程为：，
则：
，
故：，过定点．
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