第二章直线和圆的方程综合自检卷（含解析）--高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第二章直线和圆的方程综合自检卷（含解析）--高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-19 14:39:53 | ||
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文档简介
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第二章直线和圆的方程综合自检卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（ ）
A． B． C．4 D．2
3．已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2
7．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
8．设，已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．
二、多选题
9．已知直线，则（ ）
A．是直线的法向量
B．直线的倾斜角为
C．直线与直线平行的充要条件是
D．直线在两坐标轴上的截距相等
10．已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知：，则（ ）
A．直线与相切
B．过点的直线被截得的最大弦长为4
C．与圆交点所在的直线方程为
D．与圆外切
三、填空题
12．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 .
13．已知某的直角三角板斜边长,动点P到直角顶点距离始终为,记P到三角板斜边两个端点距离分别为,则范围为 （单位平方厘米）．
14．已知圆，过直线在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为 .
四、解答题
15．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程．
16．已知直线.
(1)若直线过点，且，求直线的方程；
(2)若圆经过点，且与直线相切，求圆的方程.
17．已知的三个顶点，，．
(1)求边上中线所在直线的方程；
(2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标．
18．已知圆过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)经过点的直线与垂直，且与圆相交于两点，求.
19．为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．
(1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
(2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可得出结果.
【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，
又因为，故.
故选：A.
2．A
【分析】根据题意可得已知圆的圆心和半径，利用直线与圆相交形成的弦心距，半径和半弦长的关系式即可求得.
【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为：，半径为，
由点到直线的距离为，
则该圆截直线所得弦长为.
故选：A.
3．B
【分析】根据直线垂直确定轨迹为圆，再由圆上存在三点到直线距离相等转化为圆心到直线距离为1求解.
【详解】由可得，
即过定点，
由可得，
即过定点，
又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点），
其中圆心为，半径为，
所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1，
只需圆心到直线的距离等于1，即，解得，
此时 到直线的距离不为1，故符合.
故选：B
4．D
【分析】根据题意不妨取，进而求点的轨迹方程，结合方程分析求解.
【详解】对于曲线，令，即，
可得，不妨取，可知，
设，因为，则，
整理得，
可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以面积的最大值是.
故选：D.
5．D
【分析】将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可．
【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为，
所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，
则圆与圆相交，
所以，即，
解得：且，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
6．B
【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点与圆的圆心之间的距离加半径求解
【详解】由，得，
所以直线过定点，
由，知圆心坐标，半径为2，
所以到圆心的距离为，则在圆内，
则的最大值为，
故选：B
7．C
【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解.
【详解】，
表示平面上点与点，的距离和，
连接，与轴交于，此时直线方程为，
令，则
的最小值为，此时
故选：C．
8．C
【分析】设，可得出，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出，利用圆的几何性质求得的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最小值.
【详解】设，则，
由切线长定理可得，，，
，
圆心的坐标为，则，
由图可得，即，则，
由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，
所以，当时，取得最小值.
故选：.
【点睛】方法点睛：应用角的三角函数转化数量积，再双勾函数单调性得出平面向量数量积的最值.
9．BD
【分析】根据直线的法向量以及向量共线知识即可判断A，根据斜率与倾斜角的关系即可求解B，根据直线平行以及截距即可求解CD.
【详解】A：直线的一个法向量为，但与向量不共线，A错误；
B：直线的斜率为，故倾斜角为，B正确；
C：把直线的方程改写为，则直线，平行的充要条件是，即，C错误；
D：分别令，得，，则直线在轴上的截距分别是，D正确．
故选：BD．
10．BC
【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程.
【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得，
因为为直角三角形，则为直角三角形，则，
即，解得，则圆的半径为，
圆心为，因此，圆的方程为或，
故选：BC.
11．BCD
【分析】A选项，求出圆心到直线的距离与半径相比，得到答案；B选项，由题意得到最大弦长为直径；C选项，两圆相减得到交点弦方程；D选项，求出圆心距与半径之和相等，D正确.
【详解】的圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离为，
故直线与相交，A错误；
B选项，当过点的直线过圆心时，被截得的弦长最大，
最大弦长为直径4，B正确；
C选项，与相减得到，
故与圆交点所在的直线方程为，C正确；
D选项，圆的圆心为，半径为1，
由于，故与圆外切，D正确.
故选：BCD
12．或
【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可.
【详解】当时，直线方程为，不符合题意，
当时，令时，令时，
依题意有：，解得：或，
综上：或，
故答案为：或.
13．
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，，用表示后利用三角变换公式及正弦函数的性质可求其取值范围.
【详解】
如图，在中，
，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，
故，设，，
则
，
因为，故，故，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：与圆有关的最值问题，可根据圆的方程为得到其参数方程为，从而把最值问题转化为三角函数的最值问题来处理.
14．1
【分析】设，则，，，首先得出切线方程为，同理，从而直线AB的方程为，由此可得，，结合三角形面积公式、基本不等式推论即可求解.
【详解】
设，则，
设，，
当时， ，
所以切线方程为：，而，化简为：，
显然当或时也适合，所以切线方程为，
同理，
将P的坐标代入上述直线方程，则有，
于是直线AB的方程为，
因此，，
的面积为，
当且仅当，即时取等号.
所以面积的最小值为1.
故答案为：1.
【点睛】关键点点睛：关键是表示出直线的方程（含参即用点坐标表示直线方程），由此即可顺利得解.
15．(1)；
(2)或.
【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，求得圆心和半径，即可求得结果；
（2）设直线方程为，利用弦长公式，求解即可.
【详解】（1）设圆C的标准方程为
圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，
，解方程组得；
所以圆C的标准方程为.
（2）设直线的方程为：，
圆心到直线l的距离，
所以，解得或，
所以直线l的方程为或
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直得出斜率再根据点斜式得出直线方程；
（2）根据点到直线距离得出圆心及半径，再根据圆的标准方程即可求出圆的方程.
【详解】（1）直线的斜率为
又直线的斜率为1
又直线过点直线的方程为
即
（2）设，
圆经过点，化简得①
又圆与直线相切，，化简得②
联立①②得
圆的半径
故圆的方程为
17．(1)
(2)或
【分析】（1）首先得中点坐标，进一步求得所在直线的斜率，结合点斜式化简即可求解；
（2）首先得，直线的方程为，结合以及点到直线的距离公式得点所在直线方程为或，进一步求得线段的中垂线方程，联立即可得解.
【详解】（1）由题意中点，
所以所在直线的斜率，
所以所在直线的方程为，
即边中线所在直线的方程；
（2）因为，，所以，
，所以直线的方程为，即，
设点到直线的距离，则由题意，
所以点到直线的距离，
则点所在直线方程为或，
因为，，
所以，线段中点坐标为，
所以线段的中垂线为，即，
所以联立或，
所以点的坐标为：或.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）由题意得，，由此即可得解.
（2）首先得经过点且与垂直的直线为，由弦长公式即可得解.
【详解】（1）由题意设圆心，又圆过点和，
所以，解得，
所以圆心，半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）由题意经过点且与垂直的直线为，即，
又圆心到直线的距离为，，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1），有，化简并整理即可求解.
（2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可.
【详解】（1）根据已知条件设且，，
由，有，
，
，
，
整理有，它是以为圆心，8为半径的圆．
所以曲线的方程为：．
（2）
，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，
所以直线截距式方程为，
化为一般式方程为，
根据题意，且，解得，
所以综上可知的取值范围为．
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第二章直线和圆的方程综合自检卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（ ）
A． B． C．4 D．2
3．已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2
7．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
8．设，已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．
二、多选题
9．已知直线，则（ ）
A．是直线的法向量
B．直线的倾斜角为
C．直线与直线平行的充要条件是
D．直线在两坐标轴上的截距相等
10．已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知：，则（ ）
A．直线与相切
B．过点的直线被截得的最大弦长为4
C．与圆交点所在的直线方程为
D．与圆外切
三、填空题
12．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 .
13．已知某的直角三角板斜边长,动点P到直角顶点距离始终为,记P到三角板斜边两个端点距离分别为,则范围为 （单位平方厘米）．
14．已知圆，过直线在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为 .
四、解答题
15．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程．
16．已知直线.
(1)若直线过点，且，求直线的方程；
(2)若圆经过点，且与直线相切，求圆的方程.
17．已知的三个顶点，，．
(1)求边上中线所在直线的方程；
(2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标．
18．已知圆过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)经过点的直线与垂直，且与圆相交于两点，求.
19．为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．
(1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
(2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可得出结果.
【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，
又因为，故.
故选：A.
2．A
【分析】根据题意可得已知圆的圆心和半径，利用直线与圆相交形成的弦心距，半径和半弦长的关系式即可求得.
【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为：，半径为，
由点到直线的距离为，
则该圆截直线所得弦长为.
故选：A.
3．B
【分析】根据直线垂直确定轨迹为圆，再由圆上存在三点到直线距离相等转化为圆心到直线距离为1求解.
【详解】由可得，
即过定点，
由可得，
即过定点，
又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点），
其中圆心为，半径为，
所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1，
只需圆心到直线的距离等于1，即，解得，
此时 到直线的距离不为1，故符合.
故选：B
4．D
【分析】根据题意不妨取，进而求点的轨迹方程，结合方程分析求解.
【详解】对于曲线，令，即，
可得，不妨取，可知，
设，因为，则，
整理得，
可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以面积的最大值是.
故选：D.
5．D
【分析】将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可．
【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为，
所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，
则圆与圆相交，
所以，即，
解得：且，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
6．B
【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点与圆的圆心之间的距离加半径求解
【详解】由，得，
所以直线过定点，
由，知圆心坐标，半径为2，
所以到圆心的距离为，则在圆内，
则的最大值为，
故选：B
7．C
【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解.
【详解】，
表示平面上点与点，的距离和，
连接，与轴交于，此时直线方程为，
令，则
的最小值为，此时
故选：C．
8．C
【分析】设，可得出，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出，利用圆的几何性质求得的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最小值.
【详解】设，则，
由切线长定理可得，，，
，
圆心的坐标为，则，
由图可得，即，则，
由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，
所以，当时，取得最小值.
故选：.
【点睛】方法点睛：应用角的三角函数转化数量积，再双勾函数单调性得出平面向量数量积的最值.
9．BD
【分析】根据直线的法向量以及向量共线知识即可判断A，根据斜率与倾斜角的关系即可求解B，根据直线平行以及截距即可求解CD.
【详解】A：直线的一个法向量为，但与向量不共线，A错误；
B：直线的斜率为，故倾斜角为，B正确；
C：把直线的方程改写为，则直线，平行的充要条件是，即，C错误；
D：分别令，得，，则直线在轴上的截距分别是，D正确．
故选：BD．
10．BC
【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程.
【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得，
因为为直角三角形，则为直角三角形，则，
即，解得，则圆的半径为，
圆心为，因此，圆的方程为或，
故选：BC.
11．BCD
【分析】A选项，求出圆心到直线的距离与半径相比，得到答案；B选项，由题意得到最大弦长为直径；C选项，两圆相减得到交点弦方程；D选项，求出圆心距与半径之和相等，D正确.
【详解】的圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离为，
故直线与相交，A错误；
B选项，当过点的直线过圆心时，被截得的弦长最大，
最大弦长为直径4，B正确；
C选项，与相减得到，
故与圆交点所在的直线方程为，C正确；
D选项，圆的圆心为，半径为1，
由于，故与圆外切，D正确.
故选：BCD
12．或
【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可.
【详解】当时，直线方程为，不符合题意，
当时，令时，令时，
依题意有：，解得：或，
综上：或，
故答案为：或.
13．
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，，用表示后利用三角变换公式及正弦函数的性质可求其取值范围.
【详解】
如图，在中，
，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，
故，设，，
则
，
因为，故，故，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：与圆有关的最值问题，可根据圆的方程为得到其参数方程为，从而把最值问题转化为三角函数的最值问题来处理.
14．1
【分析】设，则，，，首先得出切线方程为，同理，从而直线AB的方程为，由此可得，，结合三角形面积公式、基本不等式推论即可求解.
【详解】
设，则，
设，，
当时， ，
所以切线方程为：，而，化简为：，
显然当或时也适合，所以切线方程为，
同理，
将P的坐标代入上述直线方程，则有，
于是直线AB的方程为，
因此，，
的面积为，
当且仅当，即时取等号.
所以面积的最小值为1.
故答案为：1.
【点睛】关键点点睛：关键是表示出直线的方程（含参即用点坐标表示直线方程），由此即可顺利得解.
15．(1)；
(2)或.
【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，求得圆心和半径，即可求得结果；
（2）设直线方程为，利用弦长公式，求解即可.
【详解】（1）设圆C的标准方程为
圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，
，解方程组得；
所以圆C的标准方程为.
（2）设直线的方程为：，
圆心到直线l的距离，
所以，解得或，
所以直线l的方程为或
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直得出斜率再根据点斜式得出直线方程；
（2）根据点到直线距离得出圆心及半径，再根据圆的标准方程即可求出圆的方程.
【详解】（1）直线的斜率为
又直线的斜率为1
又直线过点直线的方程为
即
（2）设，
圆经过点，化简得①
又圆与直线相切，，化简得②
联立①②得
圆的半径
故圆的方程为
17．(1)
(2)或
【分析】（1）首先得中点坐标，进一步求得所在直线的斜率，结合点斜式化简即可求解；
（2）首先得，直线的方程为，结合以及点到直线的距离公式得点所在直线方程为或，进一步求得线段的中垂线方程，联立即可得解.
【详解】（1）由题意中点，
所以所在直线的斜率，
所以所在直线的方程为，
即边中线所在直线的方程；
（2）因为，，所以，
，所以直线的方程为，即，
设点到直线的距离，则由题意，
所以点到直线的距离，
则点所在直线方程为或，
因为，，
所以，线段中点坐标为，
所以线段的中垂线为，即，
所以联立或，
所以点的坐标为：或.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）由题意得，，由此即可得解.
（2）首先得经过点且与垂直的直线为，由弦长公式即可得解.
【详解】（1）由题意设圆心，又圆过点和，
所以，解得，
所以圆心，半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）由题意经过点且与垂直的直线为，即，
又圆心到直线的距离为，，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1），有，化简并整理即可求解.
（2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可.
【详解】（1）根据已知条件设且，，
由，有，
，
，
，
整理有，它是以为圆心，8为半径的圆．
所以曲线的方程为：．
（2）
，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，
所以直线截距式方程为，
化为一般式方程为，
根据题意，且，解得，
所以综上可知的取值范围为．
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