第三章圆锥曲线的方程同步过关练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第三章圆锥曲线的方程同步过关练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-19 14:44:07 | ||
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文档简介
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第三章圆锥曲线的方程同步过关练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．若双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．已知短轴长为2的椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C． D．4
6．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”，则下列说法正确的是（ ）
A．正中，分别是的中点，则以为焦点，且过的椭圆是“黄金椭圆”
B．已知为正六边形，则以为焦点，且过的双曲线是“黄金双曲线”
C．“黄金椭圆”上存在一点，该点与两焦点的连线互相垂直
D．“黄金双曲线”的实半轴长，一个焦点到一条渐近线的距离，半焦距能构成等比数列
7．如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知椭圆的左 右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．已知双曲线，则C的一个焦点坐标（ ）
A． B． C． D．
10．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ）
A．， B．为直角三角形
C．的面积为6 D．的面积为12
11．已知抛物线上存在两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标为 B．
C． D．
三、填空题
12．已知抛物线上一点，则点到该抛物线的焦点的距离为 ．
13．已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 .
14．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则 ．
四、解答题
15．已知直线与抛物线相交于A，B两点．
(1)求弦长及线段的中点坐标；
(2)试判断以为直径的圆是否经过坐标原点O？并说明理由．
16．已知双曲线的两个焦点的坐标分别是，且双曲线经过圆的圆心.
(1)求的值；
(2)设圆与双曲线的渐近线交于两点，求.
17．已知椭圆的左 右焦点分别为，左 右顶点分别为，过右焦点的直线与椭圆相交于（异于）两点.
(1)若直线的斜率为1，求；
(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.
18．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.
(1)若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；
(2)探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.
19．已知抛物线的焦点为， 过的直线交于两点， 过与垂直的直线交于两点，其中在轴左侧，分别为的中点，且直线过定点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为直线与直线的交点;
（i）证明在定直线上；
（ii）求面积的最小值.
参考答案：
1．A
【分析】根据长轴以及离心率即可求解.
【详解】由长轴长为4，可得，又离心率为，即，
解得，故，
所以椭圆方程为，
故选：A
2．B
【分析】分过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立抛物线，得到两根之积，根据向量比例关系得到方程，求出，，从而得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，
当过的直线斜率不存在时，，不合要求，舍去，
当过的直线斜率存在时，设为，联立得，
，
设，则，
因为，所以，
又，故，解得，
故，解得，
故，解得.
故选：B
3．C
【分析】根据双曲线的几何性质即可求解.
【详解】由题可得渐近线方程为，即，
则焦点到渐近线的距离为，
又，
所以，
所以的标准方程为.
则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为，C正确；
故选：C.
4．B
【分析】先设椭圆方程，再由椭圆和正方形的对称性得出顶点坐标，代入椭圆方程即可求解.
【详解】设椭圆方程为，
由正方形和椭圆的对称性可得：正方形的四个顶点坐标分别为，，，
，将点坐标代入椭圆方程得：，
所以，所以圆心率为.
故选：B.
5．B
【分析】联立直线与抛物线得M，N纵坐标进而求得，再用焦半径求.
【详解】联立，得，
，则，解得，.
故选:B．
6．D
【分析】对于A，由椭圆的定义及离心率公式即可判断A选项；对于B，由双曲线的定义及离心率公式即可判断B选项；对于C，设椭圆上一点，焦点，只需判断是否能为0，即可判断；对于D，由双曲线的离心率及等比数列的定义即可判断.
【详解】对于A，以BC的中点为原点，建立直角坐标系如图所示，设的边长为2，
以为焦点，且过的椭圆方程设为，所以，椭圆的离心率为,故A错误；
对于B，以AD的中点为原点，建立直角坐标系如图所示，设正六边形的边长为2，以为焦点，且过的双曲线方程设为，离心率为,故B错误；
对于C，设“黄金椭圆”的方程为，椭圆上的点，焦点，由可得
又因为“黄金椭圆”的离心率，
所以，
所以“黄金椭圆”上不存在一点，与两焦点的连线互相垂直.故C错误.
对于D，“黄金双曲线”的方程设为，实半轴长为，一个焦点到一条渐近线的距离，半焦距，因为离心率
所以，成等比数列.故D正确.
故选：D.
7．B
【分析】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解.
【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，
又由双曲线的离心率为，有，
可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.
故选：B.
8．D
【分析】根据等面积法，由此可求出所求的值.
【详解】由题意知的内切圆的半径为，
又，
所以的面积，
因为，
所以.
故选：D.
9．BC
【分析】根据双曲线方程直接写出焦点坐标即可.
【详解】因为双曲线，所以该双曲线为焦点在轴双曲线，
所以，所以，
所以焦点坐标为或，
故选：BC.
10．ABC
【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可.
【详解】由，得，则
，
因为P是椭圆上一点，所以，
因为，所以，，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确，
对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误.
故选：ABC.
11．ABD
【分析】对于A：直接化为抛物线的标准式，进而可得焦点；对于B：利用点在抛物线上，的中点在直线上以及综合计算可得；对于C：设的中点为，根据点在抛物线内部列不等式求解；对于D：写出直线的方程，求出，利用选项C中的范围来求解.
【详解】对于A：抛物线，即，其焦点坐标为，A正确；
对于B：，即①，
又②，且③，④，
将③④代入②可得
代入①得，B正确；
对于C：设的中点为，则，
由，得，其在抛物线内部，
即，可得，C错误；
对于D：直线的方程为，
令得，因为，所以，D正确；
故选：ABD
.
12．
【分析】由点在抛物线上代入得，再由定义转化为到准线距离可求.
【详解】由在抛物线上，得，所以．
又焦点的坐标为，准线为，
所以．
故答案为：.
13．
【分析】根据椭圆方程以及点坐标，利用椭圆定义并结合三角形边长即可求得其最小值.
【详解】易知为椭圆的下焦点，点在椭圆内部；
设为椭圆的上焦点，连接，
由椭圆定义可得，则，
所以，
当且仅当三点共线时，取得最小值，如下图所示：
因此则的最小值为.
故答案为：
14．/
【分析】由椭圆的光学性质得到直线平分，可得，然后算出答案即可.
【详解】因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得，
由椭圆C的方程为，所以,,
由椭圆的定义可知：，
由椭圆的光学性质得到直线平分，可得.
故答案为：.
15．(1)，中点坐标为
(2)以为直径的圆不经过坐标原点O，理由见解析
【分析】（1）设出坐标，联立直线与抛物线方程得到横坐标的韦达定理形式，根据弦长公式结合韦达定理可求，根据的值可求线段的中点坐标；
（2）根据韦达定理计算出的值，然后可判断出结果.
【详解】（1）设，
联立，消去y整理得，且，
所以，
所以，
又因为，
所以线段的中点坐标为．
（2）以为直径的圆不经过坐标原点O．
因为，
所以与不垂直，
故以为直径的圆不经过坐标原点O．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，，结合即可得解.
（2）由题意得双曲线渐近线方程为或，分类讨论结合圆的弦长公式即可得解.
【详解】（1）由题意双曲线的两个焦点的坐标分别是，
所以，
而圆即圆的圆心坐标为，
所以，
又注意到，
所以解得或（舍去），，
所以.
（2）
由（1）得双曲线方程为，其渐近线方程为或，
圆的半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可知直线的方程为，代入椭圆方程化简得，利用弦长公式，结合韦达定理可求；
（2）可设直线的方程为：，由方程组，消去整理得，结合韦达定理、斜率公式化简可得，从而可证三点共线.
【详解】（1）∵，直线的斜率为1，
∴直线的方程为：，
代入椭圆方程得：化简得：，
设，则有，
，
所以为；
（2）由题意知，直线不与轴重合，
故可设直线的方程为：，设，
由方程组，消去整理得，
，
直线：，令得：，
，
即，
又直线与直线有公共点，
所以，，三点共线．
18．(1)证明见解析
(2)是，最大值为．
【分析】（1）分别将直线与与圆方程联立，可得是方程的两个不相等的实数根，结合韦达定理得，并结合在椭圆上可得解．
（2）当直线不落在坐标轴上时，利用可得，利用在椭圆上可求得及，从而得，当直线落在坐标轴上求出，从而得定值，再由基本不等式得最大值．
【详解】（1）因为直线，与圆M相切，
将直线与圆联立，
可得，
由解得，，
同理，
所以是方程的两个不相等的实数根，
∴，因为点在椭圆C上，所以，
所以.
（2）（i）当直线不落在坐标轴上时，设，
因为，所以，
因为在椭圆C上，所以，
整理得，所以，所以.
（ii）当直线落在坐标轴上时，圆方程为，易求得，
综上：，所以|，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为．
【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题.对第一问斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程，利用直线与圆相切得出关于的二次方程，由韦达定理得出结论；第二问设，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点在椭圆上求得的值，注意分类讨论．
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）设出直线，和的方程，联立直线与抛物线方程，得出，，从而求出直线为，再利用条件，即可求出结果；
（2）（i）根据条件得出和，联立方程，结合（1）中的韦达定理，即可求出结果；（ii）过点作轴，交直线于点，得出的面积为，再利用几何关系及基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）易知直线，直线斜率均存在，且不为，设，，，
由，消得到，由韦达定理得到，
所以，得到，
同理可得，，
所以，
故直线为，又直线过定点，
所以，得到，故，
所以抛物线的方程为.
（2）（i）因为，
则，又，
所以，
同理可得，
由，消得到，
又由（1）知，所以，
故点在定直线上，
（ii）过点作轴，交直线于点，
则的面积为，由，，
知，当且仅当时，取等号，
下证，
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，，则点在轴左侧，点也在轴左侧，有，
又直线过定点，此时，
同理，当时，，则点在轴右侧，点也在轴右侧，有，则，
当且仅当时，，，故恒成立
所以，当且仅当时，取等号.
【点睛】关键点点晴：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点的纵坐标恒为，再根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.
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第三章圆锥曲线的方程同步过关练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．若双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．已知短轴长为2的椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C． D．4
6．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”，则下列说法正确的是（ ）
A．正中，分别是的中点，则以为焦点，且过的椭圆是“黄金椭圆”
B．已知为正六边形，则以为焦点，且过的双曲线是“黄金双曲线”
C．“黄金椭圆”上存在一点，该点与两焦点的连线互相垂直
D．“黄金双曲线”的实半轴长，一个焦点到一条渐近线的距离，半焦距能构成等比数列
7．如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知椭圆的左 右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．已知双曲线，则C的一个焦点坐标（ ）
A． B． C． D．
10．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ）
A．， B．为直角三角形
C．的面积为6 D．的面积为12
11．已知抛物线上存在两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标为 B．
C． D．
三、填空题
12．已知抛物线上一点，则点到该抛物线的焦点的距离为 ．
13．已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 .
14．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则 ．
四、解答题
15．已知直线与抛物线相交于A，B两点．
(1)求弦长及线段的中点坐标；
(2)试判断以为直径的圆是否经过坐标原点O？并说明理由．
16．已知双曲线的两个焦点的坐标分别是，且双曲线经过圆的圆心.
(1)求的值；
(2)设圆与双曲线的渐近线交于两点，求.
17．已知椭圆的左 右焦点分别为，左 右顶点分别为，过右焦点的直线与椭圆相交于（异于）两点.
(1)若直线的斜率为1，求；
(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.
18．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.
(1)若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；
(2)探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.
19．已知抛物线的焦点为， 过的直线交于两点， 过与垂直的直线交于两点，其中在轴左侧，分别为的中点，且直线过定点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为直线与直线的交点;
（i）证明在定直线上；
（ii）求面积的最小值.
参考答案：
1．A
【分析】根据长轴以及离心率即可求解.
【详解】由长轴长为4，可得，又离心率为，即，
解得，故，
所以椭圆方程为，
故选：A
2．B
【分析】分过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立抛物线，得到两根之积，根据向量比例关系得到方程，求出，，从而得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，
当过的直线斜率不存在时，，不合要求，舍去，
当过的直线斜率存在时，设为，联立得，
，
设，则，
因为，所以，
又，故，解得，
故，解得，
故，解得.
故选：B
3．C
【分析】根据双曲线的几何性质即可求解.
【详解】由题可得渐近线方程为，即，
则焦点到渐近线的距离为，
又，
所以，
所以的标准方程为.
则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为，C正确；
故选：C.
4．B
【分析】先设椭圆方程，再由椭圆和正方形的对称性得出顶点坐标，代入椭圆方程即可求解.
【详解】设椭圆方程为，
由正方形和椭圆的对称性可得：正方形的四个顶点坐标分别为，，，
，将点坐标代入椭圆方程得：，
所以，所以圆心率为.
故选：B.
5．B
【分析】联立直线与抛物线得M，N纵坐标进而求得，再用焦半径求.
【详解】联立，得，
，则，解得，.
故选:B．
6．D
【分析】对于A，由椭圆的定义及离心率公式即可判断A选项；对于B，由双曲线的定义及离心率公式即可判断B选项；对于C，设椭圆上一点，焦点，只需判断是否能为0，即可判断；对于D，由双曲线的离心率及等比数列的定义即可判断.
【详解】对于A，以BC的中点为原点，建立直角坐标系如图所示，设的边长为2，
以为焦点，且过的椭圆方程设为，所以，椭圆的离心率为,故A错误；
对于B，以AD的中点为原点，建立直角坐标系如图所示，设正六边形的边长为2，以为焦点，且过的双曲线方程设为，离心率为,故B错误；
对于C，设“黄金椭圆”的方程为，椭圆上的点，焦点，由可得
又因为“黄金椭圆”的离心率，
所以，
所以“黄金椭圆”上不存在一点，与两焦点的连线互相垂直.故C错误.
对于D，“黄金双曲线”的方程设为，实半轴长为，一个焦点到一条渐近线的距离，半焦距，因为离心率
所以，成等比数列.故D正确.
故选：D.
7．B
【分析】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解.
【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，
又由双曲线的离心率为，有，
可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.
故选：B.
8．D
【分析】根据等面积法，由此可求出所求的值.
【详解】由题意知的内切圆的半径为，
又，
所以的面积，
因为，
所以.
故选：D.
9．BC
【分析】根据双曲线方程直接写出焦点坐标即可.
【详解】因为双曲线，所以该双曲线为焦点在轴双曲线，
所以，所以，
所以焦点坐标为或，
故选：BC.
10．ABC
【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可.
【详解】由，得，则
，
因为P是椭圆上一点，所以，
因为，所以，，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确，
对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误.
故选：ABC.
11．ABD
【分析】对于A：直接化为抛物线的标准式，进而可得焦点；对于B：利用点在抛物线上，的中点在直线上以及综合计算可得；对于C：设的中点为，根据点在抛物线内部列不等式求解；对于D：写出直线的方程，求出，利用选项C中的范围来求解.
【详解】对于A：抛物线，即，其焦点坐标为，A正确；
对于B：，即①，
又②，且③，④，
将③④代入②可得
代入①得，B正确；
对于C：设的中点为，则，
由，得，其在抛物线内部，
即，可得，C错误；
对于D：直线的方程为，
令得，因为，所以，D正确；
故选：ABD
.
12．
【分析】由点在抛物线上代入得，再由定义转化为到准线距离可求.
【详解】由在抛物线上，得，所以．
又焦点的坐标为，准线为，
所以．
故答案为：.
13．
【分析】根据椭圆方程以及点坐标，利用椭圆定义并结合三角形边长即可求得其最小值.
【详解】易知为椭圆的下焦点，点在椭圆内部；
设为椭圆的上焦点，连接，
由椭圆定义可得，则，
所以，
当且仅当三点共线时，取得最小值，如下图所示：
因此则的最小值为.
故答案为：
14．/
【分析】由椭圆的光学性质得到直线平分，可得，然后算出答案即可.
【详解】因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得，
由椭圆C的方程为，所以,,
由椭圆的定义可知：，
由椭圆的光学性质得到直线平分，可得.
故答案为：.
15．(1)，中点坐标为
(2)以为直径的圆不经过坐标原点O，理由见解析
【分析】（1）设出坐标，联立直线与抛物线方程得到横坐标的韦达定理形式，根据弦长公式结合韦达定理可求，根据的值可求线段的中点坐标；
（2）根据韦达定理计算出的值，然后可判断出结果.
【详解】（1）设，
联立，消去y整理得，且，
所以，
所以，
又因为，
所以线段的中点坐标为．
（2）以为直径的圆不经过坐标原点O．
因为，
所以与不垂直，
故以为直径的圆不经过坐标原点O．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，，结合即可得解.
（2）由题意得双曲线渐近线方程为或，分类讨论结合圆的弦长公式即可得解.
【详解】（1）由题意双曲线的两个焦点的坐标分别是，
所以，
而圆即圆的圆心坐标为，
所以，
又注意到，
所以解得或（舍去），，
所以.
（2）
由（1）得双曲线方程为，其渐近线方程为或，
圆的半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可知直线的方程为，代入椭圆方程化简得，利用弦长公式，结合韦达定理可求；
（2）可设直线的方程为：，由方程组，消去整理得，结合韦达定理、斜率公式化简可得，从而可证三点共线.
【详解】（1）∵，直线的斜率为1，
∴直线的方程为：，
代入椭圆方程得：化简得：，
设，则有，
，
所以为；
（2）由题意知，直线不与轴重合，
故可设直线的方程为：，设，
由方程组，消去整理得，
，
直线：，令得：，
，
即，
又直线与直线有公共点，
所以，，三点共线．
18．(1)证明见解析
(2)是，最大值为．
【分析】（1）分别将直线与与圆方程联立，可得是方程的两个不相等的实数根，结合韦达定理得，并结合在椭圆上可得解．
（2）当直线不落在坐标轴上时，利用可得，利用在椭圆上可求得及，从而得，当直线落在坐标轴上求出，从而得定值，再由基本不等式得最大值．
【详解】（1）因为直线，与圆M相切，
将直线与圆联立，
可得，
由解得，，
同理，
所以是方程的两个不相等的实数根，
∴，因为点在椭圆C上，所以，
所以.
（2）（i）当直线不落在坐标轴上时，设，
因为，所以，
因为在椭圆C上，所以，
整理得，所以，所以.
（ii）当直线落在坐标轴上时，圆方程为，易求得，
综上：，所以|，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为．
【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题.对第一问斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程，利用直线与圆相切得出关于的二次方程，由韦达定理得出结论；第二问设，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点在椭圆上求得的值，注意分类讨论．
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）设出直线，和的方程，联立直线与抛物线方程，得出，，从而求出直线为，再利用条件，即可求出结果；
（2）（i）根据条件得出和，联立方程，结合（1）中的韦达定理，即可求出结果；（ii）过点作轴，交直线于点，得出的面积为，再利用几何关系及基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）易知直线，直线斜率均存在，且不为，设，，，
由，消得到，由韦达定理得到，
所以，得到，
同理可得，，
所以，
故直线为，又直线过定点，
所以，得到，故，
所以抛物线的方程为.
（2）（i）因为，
则，又，
所以，
同理可得，
由，消得到，
又由（1）知，所以，
故点在定直线上，
（ii）过点作轴，交直线于点，
则的面积为，由，，
知，当且仅当时，取等号，
下证，
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，，则点在轴左侧，点也在轴左侧，有，
又直线过定点，此时，
同理，当时，，则点在轴右侧，点也在轴右侧，有，则，
当且仅当时，，，故恒成立
所以，当且仅当时，取等号.
【点睛】关键点点晴：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点的纵坐标恒为，再根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.
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