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6.1 平面向量的概念——2024-2025学年高中数学人教A版(2019)必修二同步课时作业
一、选择题
1．已知线段上A，B，C三点满足，则这三点在线段上的位置关系是( )
A. B.
C. D.
2．下列结论正确的是( )
①若且，则；
②若，则且；
③若a与b方向相同且，则；
④若，则a与b的方向相反且.
A.①③ B.②③ C.③④ D.②④
3．下列物理量：①速度；②力；③路程；④密度；⑤功.其中不是向量的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．下列命题正确的个数是( )
（1）向量就是有向线段;
（2）零向量是没有方向的向量;
（3）零向量的方向是任意的;
（4）零向量的长度为0.
A.1 B.2 C.3 D.4
5．已知在四边形ABCD中,则四边形ABCD一定是( )
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
6．下列命题中正确的是( )
A.零向量没有方向
B.共线向量一定是相等向量
C.若向量，同向，且，则
D.单位向量的模都相等
二、多项选择题
7．下列叙述错误的是( )
A.若，则 B.若，则a与b的方向相同或相反
C.若，，则 D.对任一向量a，是一个单位向量
8．下列结论正确的是( )
A.向量必须用有向线段来表示 B.表示一个向量的有向线段不是唯一的
C.有向线段和是同一向量 D.有向线段和的长度相等
三、填空题
9．已知向量,,,若,则_____________．
10．已知向量,则与同向的单位向量为______.
11．与向量方向相同的单位向量的坐标是____________.
四、解答题
12．如图所示，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点的两点分别为始点和终点的向量中：
（1）单位向量共有多少个？
（2）试写出模为的所有向量.
（3）试写出与相等的所有向量.
13．已知向量，.
若，求k的值；
若与共线，求与同向的单位向量的坐标.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可知和共线同向，且.故选A.
2．答案：B
解析：①若且，则a与b可能存在方向相反的情况，①错；
②若，则且，②正确；
③若a与b方向相同且，则，③正确；
④若，则a与b的方向不定，且与的大小也不定，④错.故选B.
3．答案：C
解析：因为向量既有大小又有方向，所以此题中速度、力是向量，路程、密度、功不是向量，即不是向量的有3个.故选C.
4．答案：B
解析：（1）向量可以用有向线段表示,但不能把两者等同,故错误;
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的,是任意的,故错误;
（3）根据对零向量的规定,零向量的方向是任意的,故正确;
（4）根据对零向量的规定,零向量的大小为0,所以零向量的长度为0,故正确.
故选：B.
5．答案：A
解析：由,可得,
所以四边形ABCD一定是平行四边形.
故选：A.
6．答案：D
解析：对于A：模为0的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；
对于C：向量不可以比较大小，故C错误；
对于D：单位向量的模为1，都相等，故D正确.
故选：D
7．答案：ABCD
解析：向量不能比较大小，故A错误；由于零向量与任一向量共线，且零向量的方向是不确定的，故B错误；对于C，若b为零向量，则a与c可能不是共线向量，故C错误；对于D，当时，无意义，故D错误.故选ABCD.
8．答案：BD
解析：向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B正确；有向线段和的方向相反，长度相等，不为同一向量，所以选项C错误，D正确.故选BD.
9．答案：
解析：由题意可知,
即,,
将两式平方相加可得,
故,
故答案为：.
10．答案：
11．答案：
解析：因为,故与向量方向相同的单位向量坐标是.
故答案为：.
12．答案：（1）8个
（2），，，，，，，
（3），和
解析：（1）由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量分别为，，，，，，，，
这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.
（2）由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
（3）与相等的向量（除它自身之外）有，和.
13．答案：（1）；
（2）
解析：（1），，
所以，
所以；
（2）若与共线，，.
所以，
，，
所以，
，
因为与同向的单位向量为，
所以与同向的单位向量坐标为.
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6.2 平面向量的运算——2024-2025学年高中数学人教A版(2019)必修二同步课时作业
一、选择题
1．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则( )
A.9 B. C.12 D.
2．已知，是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数k的值为( )
A.1 B. C.4 D.
3．已知,,且,则向量,夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．已知的对角线和相交于点O,且,,E为线段中点,则( )
A. B. C. D.
5．已知向量,不共线,,,,则( )
A.-6 B. C.6 D.
6．已知向量,不共线,,,,则( )
A. B. C.6 D.
二、多项选择题
7．如图,设,且,当时,定义平面坐标系为的斜坐标系,在的斜坐标系中:设,是分别与x轴,y轴正方向相同的单位向量,若,记,则在的斜坐标系中下列说法正确的是( )
A.设,,若,则,
B.设,则
C.设,,则
D.设,,则与的夹角为
8．已知点P在所在的平面内，则下列命题正确的是( )
A.若P为的垂心，，则
B.若为边长为2的正三角形，则的最小值为
C.若为锐角三角形且外心为，且，则
D.若，则动点P的轨迹经过的外心
三、填空题
9．如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,DC边上,且,,若,,,则______.
10．已知向量,,如果与的夹角为锐角,则实数的取值范围是__________.
11．已知向量,满足,,,的夹角为150°,则______.
四、解答题
12．已知，，.
（1）求与夹角；
（2）求.
13．已知向量,满足,,.
(1)求;
(2)若向量与相互垂直,求实数k的值.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可知，，，
设，由勾股定理可得，解得，
所以，所以，
故选：B.
2．答案：D
解析：由，是两个不共线的向量，得是非零向量，又与共线，
则，即，于是，所以.
故选：D
3．答案：B
解析：设向量,的夹角为,因为,所以.
故选:B.
4．答案：B
解析：,
故选：B.
5．答案：A
解析：因为,所以,,则解得.
6．答案：A
解析：因为,所以,
,则,
解得.
故选:A.
7．答案：AC
解析：,.
对于A,即,则,,A正确;
对于B,,即,B错误;
对于C,由,,得,C正确;
对于D,若,,则,,,.
由,可得,即,D不正确.
故选:AC.
8．答案：AD
解析：P为的垂心，令直线交于H，则有，如下图所示.，.，因此，A正确.
如下图所示，正三角形的边长为2，取中点D，连接，取中点E，连接，，则，
，
当且仅当，即点P，E重合时取等号，B错误
P为锐角三角形的外心，取中点F，连接，则，如下图所示，由，，得，而，于是，即，亦即，则点C，P，F共线，因此垂直平分，则有，但是不一定有成立，C错误.
取中点M，连接，，，则，如下图所示.
由，得
即，因此，于是，则点P在边的垂直平分线上，所以动点P的轨迹经过的外心，D正确.
故选：AD
9．答案：-24
解析：因为,,
所以,,,
因为,,,
所以.
故答案为：-24.
10．答案：
解析：
11．答案：1
解析：因为,与的夹角为,所以,
所以,
得.
12．答案：（1）；
（2）12
解析：（1）设a与b的夹角为，则，因为，所以.
（2）
13．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为向量,满足,,,
所以
;
(2)因为向量与相互垂直,
所以,
所以,
所以,解得.
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6.3 平面向量基本定理及坐标表示——2024-2025学年高中数学人教A版(2019)必修二同步课时作业
一、选择题
1．如图所示,的面积为,其中,,AD为BC边上的高,M为AD的中点,若,则的值为( )
A. B. C. D.
2．下列说法正确的是( )
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底中基向量与基底基向量对应相等
3．在中,,,设,,则( )
A. B. C. D.
4．已知向量,,若,则( )
A. B. C. D.
5．已知向量,,且,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6．已知向量,,且,则( )
A. B.2 C. D.
二、多项选择题
7．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，.则第四个顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
8．如图,在梯形中,,,,,M,N分别为边,上的动点,且,则( )
A.的最小值为 B.的最小值为9
C.的最大值为12 D.的最大值为18
三、填空题
9．已知,,则向量,的夹角的余弦值为__________.
10．如图,正方形ABCD的边长为,E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点M,则______.
11．已知向量，，且，则实数________.
四、解答题
12．在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左,右顶点分别为A 、B, 点F是椭圆的右焦点,,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点,记直线l、AM、AN的斜率分别为k,,.若,证明直线l过定点, 并求出定点的坐标.
13．对于向量集,记向量.如果存在向量,使得,那么称是向量集的“长向量”.
（1）设向量,.若是向量集的“长向量”,求实数x的取值范围;
（2）设向量,,则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由;
（3）已知均是向量集的“长向量”,其中,.设在平面直角坐标系xOy中的点集,其中,,且与关于点对称,与关于点对称,求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：,
所以,
因为AD为BC边上的高,
所以,
因为M为AD的中点,
所以
,
又因为,
所以,,
所以.
故选:C.
2．答案：C
解析：A.任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底,不正确;
B.空间向量的基底有无数个,不正确;
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底,正确;
D.基底中基向量与基底中基向量不一定相等,不正确.故选:C.
3．答案：B
解析：由,可知D,E分别为,的中点,
所以,
故选：B.
4．答案：B
解析：向量,,由,得,
所以.
故选：B.
5．答案：B
解析：由题意得,解得.
故选：B.
6．答案：C
解析：因为,所以,即,解得.
7．答案：ABC
解析：当平行四边形为时,,设点D的坐标为.
所以,
所以,解得,所以点；
当平行四边形为时,同理可得;当平行四边形为时,同理可得.综上可知点D可能为,或.故选:ABC.
8．答案：AC
解析：以B为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,
建立平面直角坐标系,则.设,,
其中,,且,,
得.
因为,所以,
解得,当且仅当时,等号成立.,
当且仅当点M或点N与点B重合时,等号成立,则.
所以的最大值为12,最小值为.
故选：AC.
9．答案：
解析：.
10．答案：
解析：如图所示,建立以点A为原点的平面直角坐标系.
则,,,,
,.
由于就是,的夹角.
.
故答案为:
11．答案：
解析：，由得，解得.
故答案为：.
12．答案：(1);
(2)证明见解析,.
解析：(1)由题意, 知,,
,,
解得从而
椭圆C的方程;
(2)设直线l的方程为，，.
直线l不过点A,因此.
由得.
时,，,
.
由, 可得, 即,
故l的方程为,恒过定点.
13．答案：（1）
（2）存在“长向量”,且“长向量”为,
（3）4044
解析：（1）由题意可得：,,,
则,解得：;
（2）存在“长向量”,且“长向量”为,,理由如下：
由题意可得,若存在“长向量”,只需使,
因为,,,,,,
所以,
故只需使,
即,即,
当或6时,符合要求,故存在“长向量”,且“长向量”为,;
（3）由题意,得,,即,
即,同理,
三式相加并化简,得：,
即,,所以,
设,由,解得,
即
设,则依题意得：,
得,
故,
,
所以,
因为
所以,
当且仅当时等号成立,
所以
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6.4 平面向量的应用——2024-2025学年高中数学人教A版(2019)必修二同步课时作业
一、选择题
1．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则角( )
A. B. C. D.
2．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且若,则的形状是( )
A.等腰且非等边三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
3．在中，已知，且满足，则的面积为( )
A.1 B.2 C. D.
4．下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑,简称“解放碑”,位于重庆市渝中区,是抗战胜利的精神象征,是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为、点B处测得其顶点P的仰角为,若米,且,则解放碑的高度为( )
A.米 B.55米 C.米 D.米
5．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
6．在中，已知，，，则边c的值是( )
A.8 B. C. D.
二、多项选择题
7．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，， ，则b＝( )
A.2 B.3 C.4 D.
8．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数，且，则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点M满足，则下列说法正确的是( )
A.面积的最大值为12
B.的最大值为72
C.若，则的最小值为10
D.当点M不在x轴上时，MO始终平分
三、填空题
9．在中，，D是上一点，是的平分线，且，，则的面积为________.
10．已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角为__________.
11．设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线；已知且，.则______.
四、解答题
12．在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,O为其外接圆的圆心,,.
（1）求A的大小;
（2）若,求边长b的最值.
13．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.
（1）求的值；
（2）若，，求的周长.
参考答案
1．答案：A
解析：由余弦定理可得,
,．
故选：A．
2．答案：C
解析： ,所以,又, ,
, ,
,, ,从而,为等边三角形,
故选：C．
3．答案：D
解析：在中，已知，由正弦定理得，即，，即.，的面积为.故选D.
4．答案：A
解析：设,由已知,,,,
则,,又,,
在中：,则
解得或（舍去）,所以解放碑的高度为米.
故选：A.
5．答案：C
解析：因为,,
所以,即
故.
因为,所以,故,即,
由余弦定理得,得（当且仅当时等号成立）,
所以的面积,即面积的最大值为.
故选：C.
6．答案：D
解析：在中，已知，，，则由余弦定理可得
，
故选：D.
7．答案：AC
解析：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，
由余弦定理，得，，即，或.
故选：AC.
8．答案：ABD
解析：对于A，设点，由，得，化为，所以点M的轨迹是以点为圆心、4为半径的圆，所以面积的最大值为，故A正确；
对于B，设线段AB的中点为N，则，，当点M的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确；
对于C，显然点在圆外，点在圆内，，当B，M，Q三点共线且点M在线段BQ之间时，，故C错误；
对于D，由，，有，当点M不在x轴上时，由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分线，故D正确.故选ABD.
9．答案：3
解析：过D分别作，于F，E，设A到的距离为h，
因为是的平分线，所以，
易知①，②，又，
由①②得到，又，，
又，
所以，设，，
所以，解得，即，
所以，得到的面积为，
故答案为：3.
10．答案：
解析：由，得，即，因为，，所以，所以.又，所以向量与的夹角为.故答案为.
11．答案：或
解析：因为，且，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得，
又因为D为中点，所以，设，的夹角为θ，
则
，
即，
且，
因为，则为锐角，可知，，
可得，解得或（舍去）
所以，
整理得，解得或，
且，即，所以，
所以.
故答案为：.
12．答案：（1）
（2）最大值:;最小值:4
解析:（1）延长AO交外接圆于点D,如下图所示
则
所以:,
由,
得:,
解之得:,因为:,所以:.
故答案为:
（2）在中,由正弦定理得,
所以:,
因为:,所以:,
所以:,
所以:边长的最大值为,最小值为4.
13、
（1）答案：
解析：由为在方向上的投影向量，则，
又，即，
根据正弦定理，，
在锐角中，，则，即，
由，则，整理可得，解得（负值舍去）.
（2）答案：
解析：由，根据正弦定理，可得，
在中，，则，
所以，所以，
由（1）可知，，则，
由，则，解得（负值舍去），
根据正弦定理，可得，则，，
故的周长.
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