2.2.2 不等式的解集
学习任务 1．了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集．(数学运算) 2．了解含绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解含有绝对值的不等式．(数学抽象、数学运算) 3．掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式．(直观想象)
如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等)．
问题 (1)你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？
(2)你能判断出x1，x2，x3的大小吗？
知识点1 不等式的解集与不等式组的解集
1．不等式的解集：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
2．不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
1．解不等式的理论依据是什么？
[提示] 不等式的性质．
知识点2 绝对值不等式
1．定义：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2．含绝对值不等式的解法
(1)|x|＝
(2)当m＞0时，|x|＞m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)，|x|≤m的解集为[－m，m]．
2．若m＜0，|x|≤m的解集是什么？
[提示] ．
知识点3 数轴上的坐标与距离
1．两点间的距离公式
一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．
2．中点坐标公式
若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝就是数轴上的中点坐标公式．
1．(1)不等式2x－＞0的解集为________．
(2)不等式组的解集为________．
(1) (2) [(1)由2x－＞0解得x＞，所以不等式2x－＞0的解集为．
(2)由－x＋2＞0解得x＜2，由2x＋1＞0解得x＞－．
不等式组的解集为它们的交集，故－＜x＜2，即解集为．]
2．(1)不等式|x|＞2的解集为________．
(2)不等式|x－1|≤2的解集为________．
(1)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)[－1，3] [(1)由|x|＞2，解得x＜－2或x＞2．
所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
(2)由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3．
所以不等式的解集为[－1，3]．]
3．若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则AB＝__________，线段AB的中点M的坐标为________．
6 －1 [AB＝|2－(－4)|＝6；
线段AB的中点M的坐标为＝－1．]
类型1 不等式组的解法
【例1】 设a为实数，解关于x的一元一次不等式组
[解] 根据不等式的性质，原不等式组等价于整理得
可以在数轴上表示不等式组的解集，如图所示．
因此，当a>0时，解集为；当a≤0时，解集为 ．
解不等式(组)的注意点
(1)移项时要改变项的符号．
(2)不等号的两边同乘负数时，要改变不等号的方向．
(3)不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集．
提醒：求解一元一次不等式组，需要分清“同大取大”还是“同小取小”，是“取中间”还是“取两边”，分不清时可以利用数轴．
[跟进训练]
1．已知关于x的不等式组的解集为(1，3)，则a的值为________．
4 [由2x＋1＞3，得x＞1，由a－x＞1，得x＜a－1．
又∵不等式组的解集为(1，3)，∴a－1＝3，即a＝4．]
类型2 含绝对值的不等式的解法
|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法
【例2】 求下列绝对值不等式的解集：
(1)|3x－1|≤6；
(2)3≤|x－2|<4．
[思路导引] 去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．
[解] (1)因为|3x－1|≤6 －6≤3x－1≤6，
即－5≤3x≤7，从而得－≤x≤，
所以原不等式的解集是．
(2)因为3≤|x－2|＜4，所以3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3，即5≤x＜6或－2＜x≤－1．
所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
解绝对值不等式的等价转化法
(1)形如|x|＜a，|x|＞a(a＞0)型不等式：
①|x|＜a －a＜x＜a．
②|x|＞a x＞a或x＜－a．
(2)形如a＜|x|＜b(b＞a＞0)型不等式：
a＜|x|＜b(0＜a＜b) a＜x＜b或－b＜x＜－a．
[跟进训练]
2．解下列不等式：
(1)|3－2x|＜9；
(2)4＜|3x－2|＜8．
[解] (1)∵|3－2x|＜9，∴|2x－3|＜9．
∴－9＜2x－3＜9．即－6＜2x＜12．∴－3＜x＜6．
∴原不等式的解集为(－3，6)．
(2)由4＜|3x－2|＜8，
得∴
∴
∴原不等式的解集为．
含有两个绝对值的不等式的解法
【例3】 解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3．
[思路导引] 可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，也可以利用分段讨论法去掉绝对值转化为一元一次不等式求解．
[解] (法一)如图，设数轴上与－1，1对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为2，因此区间[－1，1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x．
所以－1－x＋1－x＝3，得x＝－．
同理设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x，
所以x－1＋x－(－1)＝3．所以x＝．从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，
所以原不等式的解集是．
(法二)当x≤－1时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3，解得x≤－．
当－1＜x＜1时，原不等式可以化为x＋1－(x－1)≥3，即2≥3，不成立，无解．
当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3，解得x≥．
综上，原不等式的解集为．
含有两个绝对值不等式的解法
(1)利用绝对值的几何意义解不等式
①|a－b|的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离．
②利用绝对值的几何意义解决含有两个绝对值的不等式|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c比较直观，但只适用于数据较简单的情况．
(2)用分段讨论法解不等式
①令每个绝对值内的代数式为零，并求出相应的根．
②将这些根按从小到大的顺序排列，把实数集分为若干个区间．
③在所分区间内去掉绝对值得若干个不等式，解这些不等式，求出解集．
④各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
[跟进训练]
3．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x．
[解] 把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x，
(1)当x≤1时，原不等式变为－(x－1)－(x－2)＞3＋x，解得x＜0；
(2)当1＜x≤2时，
原不等式变为x－1－(x－2)＞3＋x，解得x∈ ；
(3)当x＞2时，
原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6．
综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪(6，＋∞)．
类型3 数轴上的距离问题
【例4】 已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)．
(1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值；
(2)若PQ中点到线段PR中点的距离大于1，求实数m的取值范围．
[解] (1)若P是线段QR的中点，则－8＝，
∴m＝－18；
若Q是线段PR的中点，则m＝＝－3；
若R是线段PQ的中点，则2＝，∴m＝12．
(2)由题意，知＞1，即＞1，
∴－1＞1或－1＜－1，解得m＞4或m＜0，
∴实数m的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
数轴上基本公式的应用
(1)已知数轴上两点的坐标，可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标．
(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标．
[跟进训练]
4．已知数轴上的三点A，B，P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)．
(1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？
(2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题意知
可以化为或或
或解得x＝1．
∴点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点．
(2)不存在这样的P(x)，理由如下：
∵AB＝|1＋3|＝4<6，
∴在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的．
1．不等式3x＋6≤2x的解集为( )
A．[－6，＋∞) B．(－∞，－6]
C．[6，＋∞) D．(－∞，6]
B [移项得3x－2x≤－6，即x≤－6，故原不等式的解集为(－∞，－6]．]
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A B
C D
B [由不等式组得
即－1≤x＜2，数轴表示正确的为B．]
3．已知数轴上两点A(4)，B(x)，若线段AB的中点到原点的距离不小于2，则x的取值范围是________．
(－∞，－8]∪[0，＋∞) [线段AB的中点为，由条件知≥2，
解得x≤－8或x≥0．]
4．不等式|x－2|－|x－1|＞0中x的取值范围为________．
[原不等式等价于|x－2|＞|x－1|，则|x－2|2＞|x－1|2，解得x＜，
即原不等式的解集为．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．一元一次不等式组解集的求解策略是怎样的？
[提示]
不等式组 数轴表示 解集 一般规律(口诀)
(b，＋∞) 同大取大
(－∞，a) 同小取小
(a，b) 大小小大中间找
大大小小无处找
2．如何解含有绝对值的不等式？
[提示] (1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|－a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＜－a或x＞a} {x|x∈R且x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“分段讨论法”求解，体现了分类讨论的思想．
课时分层作业(十四) 不等式的解集
一、选择题
1．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
C [解不等式2x＋1>0，得x>－．解不等式x－5≤0，得x≤5．所以不等式组的解集为，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个．]
2．若不等式组有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－36) B．(－∞，－36]
C．(－36，＋∞) D．[－36，＋∞)
C [解不等式1＋x
－37，即a>－36．]
3．不等式1≤|2x－1|<2的解集为( )
A．
B．
C．
D．
D [由1≤|2x－1|<2，可得1≤2x－1<2或－2<2x－1≤－1，因此－4．不等式组的解集是(1，＋∞)，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]
D [不等式整理，得由不等式组的解集为(1，＋∞)，得到m＋1≤1，解得m≤0．故选D．]
5．不等式|x＋3|－|x－1|≥－2的解集为( )
A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．[0，＋∞)
C [当x≥1时，原不等式可化为x＋3－x＋1≥－2，即4≥－2，显然成立，所以x≥1；
当－3≤x＜1时，原不等式可化为x＋3＋x－1≥－2，解得x≥－2，所以－2≤x＜1；
当x＜－3时，原不等式可化为－x－3＋x－1≥－2，即－4≥－2，显然不成立，所以x＜－3舍去．
综上，原不等式的解集为[－2，＋∞)．]
二、填空题
6．对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－2] [令y＝|x＋7|，要使任意x∈R，|x＋7|≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin，
因为ymin＝0，所以m＋2≤0，
所以m≤－2，所以m的取值范围是(－∞，－2]．]
7．已知数轴上A(－1)，B(x)，C(6)，若线段AB的中点到C的距离小于5，则x的取值范围是________．
{x|3＜x＜23} [设AB的中点为D，
则D，
因为中点到C的距离小于5，可得＜5，1＜＜11，所以3＜x＜23．]
8．若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________．
－3 [∵关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，
∴－和是|ax－2|＝3的两个根，
∴
∴a＝－3．]
三、解答题
9．解下列不等式：
(1)|2x－1|(2)|2x－3|＋|x－1|≥5．
[解] (1)当x≥时，2x－1当x<时，1－2x，
∴不等式的解集是．
(2)原不等式可化为
或或
解得x≤－或x≥3．
∴原不等式的解集为∪[3，＋∞)．
10．(多选)若不等式|x－a|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则实数a的取值可以是( )
A．－ B．
C． D．0
BCD [由|x－a|＜1可得a－1＜x＜a＋1，它的充分不必要条件是＜x＜，
即是{x|a－1＜x＜a＋1}的真子集，则且等号不同时成立，解得－≤a≤．]
11．若不等式|2x－a|≤x＋3对任意x∈[0，2]恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3) B．[－1，3]
C．(1，3) D．[1，3]
B [不等式|2x－a|≤x＋3去掉绝对值符号得－x－3≤2x－a≤x＋3，即对任意x∈[0，2]恒成立，变量分离得
只需即
所以a的取值范围是[－1，3]，故选B．]
12．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.3]＝2，[－1.8]＝－2，则关于x的方程[1＋|x＋1|]＝3的解集为( )
A．{3，1}
B．{x|－4≤x≤－3或－1≤x≤1}
C．
D．{x|－4D [因为[x]表示不超过x的最大整数，[1＋|x＋1|]＝3，所以3≤1＋|x＋1|<4，即2≤|x＋1|<3，即解得－413．关于x的一元一次不等式组中，两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是________，m的值为________．
(－∞，－1] 2 [解2－x＞1得x＜1，解≤m得x≤2m－5，
由题图知这个不等式组的解集是(－∞，－1]且2m－5＝－1，所以m＝2．]
14．已知关于x的不等式组
(1)当m＝－11时，求不等式组的解集；
(2)当m取何值时，该不等式组的解集是 ？
[解] (1)当m＝－11时，
解该不等式组的解集为．
(2)解不等式m－2x＜x－1，得x＞．
因为不等式组的解集为 ，
所以≥－，所以m≥－．
15．对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b．已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1．
(1)求a，b的值．
(2)若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围．
[解] (1)由T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1，得
即解得
(2)由(1)得，T(x，y)＝，
则不等式组
可化为解得－≤m＜．
因为不等式组 恰好有3个整数解，所以2＜≤3，
解得－2≤p＜－．
故实数p的取值范围是．
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2.2.2 不等式的解集
第二章 等式与不等式
2.2 不等式
学习任务 1．了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集．(数学运算)
2．了解含绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解含有绝对值的不等式．(数学抽象、数学运算)
3．掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式．(直观想象)
必备知识·情境导学探新知
知识点1 不等式的解集与不等式组的解集
1．不等式的解集：不等式的______组成的集合称为不等式的解集．
2．不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的____称为不等式组的解集．
[提示] 不等式的性质．
交集
所有解
思考 1．解不等式的理论依据是什么？
绝对值
(－∞，－m)∪(m，＋∞)
[－m，m]
思考 2．若m＜0，|x|≤m的解集是什么？
[提示] ．
|a－b|
2．(1)不等式|x|＞2的解集为__________________________．
(2)不等式|x－1|≤2的解集为__________．
(1)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)[－1，3] [(1)由|x|＞2，解得x＜－2或x＞2．
所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
(2)由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3．
所以不等式的解集为[－1，3]．]
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[－1，3]
3．若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则AB＝__________，线段AB的中点M的坐标为________．
6
－1
关键能力·合作探究释疑难
发现规律 解不等式(组)的注意点
(1)移项时要改变项的____．
(2)不等号的两边同乘负数时，要____不等号的方向．
(3)不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的____．
提醒：求解一元一次不等式组，需要分清“同大取大”还是“同小取小”，是“取中间”还是“取两边”，分不清时可以利用数轴．
符号
改变
交集
4 [由2x＋1＞3，得x＞1，由a－x＞1，得x＜a－1．
又∵不等式组的解集为(1，3)，∴a－1＝3，即a＝4．]
4
类型2 含绝对值的不等式的解法
考向1 |ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法
【例2】 求下列绝对值不等式的解集：
(1)|3x－1|≤6；
(2)3≤|x－2|<4．
[思路导引] 去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．
反思领悟 解绝对值不等式的等价转化法
(1)形如|x|＜a，|x|＞a(a＞0)型不等式：
①|x|＜a －a＜x＜a．
②|x|＞a x＞a或x＜－a．
(2)形如a＜|x|＜b(b＞a＞0)型不等式：
a＜|x|＜b(0＜a＜b) a＜x＜b或－b＜x＜－a．
[跟进训练]
2．解下列不等式：
(1)|3－2x|＜9；
(2)4＜|3x－2|＜8．
[解] (1)∵|3－2x|＜9，∴|2x－3|＜9．
∴－9＜2x－3＜9．即－6＜2x＜12．∴－3＜x＜6．
∴原不等式的解集为(－3，6)．
考向2 含有两个绝对值的不等式的解法
【例3】 解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3．
[思路导引] 可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，也可以利用分段讨论法去掉绝对值转化为一元一次不等式求解．
反思领悟 含有两个绝对值不等式的解法
(1)利用绝对值的几何意义解不等式
①|a－b|的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离．
②利用绝对值的几何意义解决含有两个绝对值的不等式|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c比较直观，但只适用于数据较简单的情况．
(2)用分段讨论法解不等式
①令每个绝对值内的代数式为零，并求出相应的根．
②将这些根按从小到大的顺序排列，把实数集分为若干个区间．
③在所分区间内去掉绝对值得若干个不等式，解这些不等式，求出解集．
④各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
[跟进训练]
3．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x．
[解] 把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x，
(1)当x≤1时，原不等式变为－(x－1)－(x－2)＞3＋x，解得x＜0；
(2)当1＜x≤2时，
原不等式变为x－1－(x－2)＞3＋x，解得x∈ ；
(3)当x＞2时，
原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6．
综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪(6，＋∞)．
类型3 数轴上的距离问题
【例4】 已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)．
(1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值；
(2)若PQ中点到线段PR中点的距离大于1，求实数m的取值范围．
反思领悟 数轴上基本公式的应用
(1)已知数轴上两点的坐标，可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标．
(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标．
[跟进训练]
4．已知数轴上的三点A，B，P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)．
(1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？
(2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由．
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
1．不等式3x＋6≤2x的解集为( )
A．[－6，＋∞) B．(－∞，－6]
C．[6，＋∞) D．(－∞，6]
√
B [移项得3x－2x≤－6，即x≤－6，故原不等式的解集为(－∞，－6]．]
2
3
题号
4
1
A B
C D
√
2
3
题号
4
1
3．已知数轴上两点A(4)，B(x)，若线段AB的中点到原点的距离不小于2，则x的取值范围是______________________．
(－∞，－8]∪[0，＋∞)
2
3
题号
4
1
4．不等式|x－2|－|x－1|＞0中x的取值范围为________．
[提示]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．一元一次不等式组解集的求解策略是怎样的？
不等式组 数轴表示 解集 一般规律(口诀)
(b，＋∞) 同大取大
(－∞，a) 同小取小
(a，b) 大小小大中间找
大大小小无处找
[提示] (1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
2．如何解含有绝对值的不等式？
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|－a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＜－a或x＞a} {x|x∈R且x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“分段讨论法”求解，体现了分类讨论的思想．