2.1.3 方程组的解集
学习 任务 1．理解方程组的解集的概念及表示方法．(数学抽象) 2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(数学运算) 3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(数据分析、数学运算)
我国古代数学著作《张邱建算经》中记载了百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则
问题 当z＝81时，x＝________，y＝________．
知识点 方程组的解集与其解法
1．方程组的解集
一般地，将多个方程联立， 就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
2．方程组的解法
求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法．
常用的消元法有哪几种？
[提示] 解方程组时常用的消元法有代入消元法和加减消元法．代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程组的解集为{2，1}． ( )
(2)是二元一次方程组． ( )
(3)是方程组的一个解． ( )
(4)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
[提示] (1)因为的解集为{(2，1)}，故错误．
(2)方程2＋＝y不是整式方程，故错误．
(3)代入方程组成立，故正确．
(4)解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法，故错误．
2．二元一次方程组的解集是________．
{(3，－2)} [由解得所以原方程组的解集为{(3，－2)}．]
3．由方程组消去y后得到的方程是( )
A．2x2－2x－3＝0
B．2x2－2x＋5＝0
C．2x2＋2x＋1＝0
D．2x2＋2x＋9＝0
B [由①得y＝x－1， ③
把③代入②，
得(x－1)2＋x2＋4＝0．整理，得2x2－2x＋5＝0．]
类型1 二元一次方程组的解集
【例1】 (1)(多选)对于二元一次方程组的解用集合表示正确的为( )
A． B．
C．(－1，1) D．
(2)我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
(3)方程组的解集为________．
(1)AD (2)B (3){(8，4)} [(1)方程组的解集为有序数对，列举法表示为，描述法表示为或{(x，y)|(－1，1)}．
(2)依题意有
(3)(法一：代入法)由①得：y＝12－x，③
将③代入②得：2x＋12－x＝20，
解这个一元一次方程，得x＝8，
将x＝8代入③，得y＝4，
所以原方程组的解集是{(8，4)}．
(法二：加减法)②－①得x＝8，代入①得y＝4，
所以原方程组的解集是{(8，4)}．]
二元一次方程组的解法
(1)用代入法解二元一次方程组的一般步骤
①当方程组中的未知数系数不是1(或－1)时，常选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示这个未知数．
②代入时要注意加括号．
③为了检查解答是否正确，可把所得解代入未变形的方程进行口算检验，不必写检验过程．
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤
①将其中一个未知数的系数化为相同(或互为相反数)．
②通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，得到未知数的值．
④将求得的未知数的值代入原方程组中任何一个方程，求得另一个未知数的值．
⑤写出方程组的解．
⑥检验，但不必写出检验过程．
(3)选择消元法
根据原题的形式，适当选择消元的方法．如果原题中有一个方程的某一未知数系数为1，可以选择代入消元法；若原题中将方程适当加减后能消元，则选择加减消元法．
[跟进训练]
1．设k∈R，求关于x与y的二元一次方程组的解集．
[解] 两式相减，得(2－k)x＝2．
当k≠2时，将x＝代入方程y＝2x＋1，得y＝．此时，原方程组的解集为．
当k＝2时，方程(2－k)x＝2无解，从而原方程组无解，其解集为 ．
类型2 三元一次方程组的解法
【例2】 求三元一次方程组
[思路导引] 利用加减消元法可求出原方程组的解集．
[解]
①＋②得5x＋2y＝16，④
③＋②得3x＋4y＝18，⑤
④×2－⑤，得7x＝14，解得x＝2，代入④式得5×2＋2y＝16，解得y＝3，
将其代入③得z＝1．
所以原方程组的解集为{(2，3，1)}．
解三元一次方程组的基本步骤
消元 把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，利用代入消元法或加减消元法，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组
求解 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
回代 将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一元一次方程
求解 解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
写解集 把方程组的解用集合表示出来
[跟进训练]
2．求方程组的解集．
[解] ①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝10，
即x＋y＋z＝5．④
④－①，得z＝4；
④－②，得x＝－1；
④－③，得y＝2．
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(－1，2，4)}．
类型3 二元二次方程组的解集
【例3】 求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解] (1)由①得y＝8－x，③
把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0．
解得x1＝2，x2＝6．
把x1＝2代入③，得y1＝6．
把x2＝6代入③，得y2＝2．
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，6)，(6，2)}．
(2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，
解得x－2y＝1或x－2y＝－2，
由得
由得
所以原方程组的解集为．
解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤
[跟进训练]
3．解方程组
[解] 由①得(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0，
即(x＋y)(x－y－5)＝0，
所以x＋y＝0或x－y－5＝0，
所以原方程组可化为两个方程组：
或
用代入法解这两个方程组，解得
或或或
所以原方程组的解集是{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－)}．
类型4 方程组的实际应用
【例4】 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
[思路导引] 题中有三个等量关系：(1)上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km．(2)从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h．(3)从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h．
[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km，y km和z km．
由题意得解得
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km．
列方程组解应用题的一般步骤
提醒：(1)一般来说，设几个未知数就应列出几个方程．
(2)设未知数及写结论时，都要写清单位名称．
[跟进训练]
4．甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
[解] 设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米．
①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，
得解得
②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得解得
故甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米或甲的速度为每小时千米，乙的速度为每小时千米．
1．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1，2}；④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．其中能表示方程组的解集的是( )
A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤
C．②⑤ D．②⑤⑥
C [方程组的解集为{(－1，2)}，
因此可以表示解集的是②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；⑤{(－1，2)}．]
2．以方程组的解为坐标的点(x，y)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [解方程组得
所以点在第一象限．故选A．]
3．《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾六束，减损其中之“实”十八升，与下禾十束之“实”相当；下禾十五束，减损其中之“实”五升，与上禾五束之“实”相当．问上、下禾每束之“实”各为多少升？设上、下禾每束之“实”各为x升和y升，则可列方程组为( )
A． B．
C． D．
B [已知上、下禾每束之“实”分别为x，y升，上禾6束有6x升，减损18升，即(6x－18)升，与下禾10束之“实”相当，即6x－18＝10y，同理有15y－5＝5x，所以方程组为故选B．]
4．方程组的解集是________．
{(－2，－2)，(1，1)} [
②＋①，得x2＋x＝2，解得x1＝－2，x2＝1，
把x1＝－2代入①，得y1＝－2，
把x2＝1代入①，得y2＝1，
所以原方程组的解集为{(－2，－2)，(1，1)}．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．求解二元一次方程组、三元一次方程组的基本方法有哪两种？
[提示] 加减消元法与代入消元法．
2．求解二元二次方程组的基本思想与方法是什么？应注意什么问题？
[提示] 求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次．消元后求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一个未知数的值，不能代入二元二次方程，因为这样可能产生增根．
课时分层作业(十二) 方程组的解集
一、选择题
1．已知x，y满足方程组则2x－4y的值是( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
C [
②－①，得2x－4y＝1，故选C．]
2．(多选)方程组的解有( )
A． B．
C． D．
AB [由x2＝1，得x＝±1，
当x＝1时，y2＝1，得y＝±1，
当x＝－1时，y2＝－1，无解．
故方程组的解为或]
3．已知方程组则x＋y的值为( )
A．－1 B．0
C．2 D．3
D [
②×2，得2x＋6y＝10，③
③－①，得5y＝5，解得y＝1，
把y＝1代入①，得2x＋1＝5，
解得x＝2，所以原方程组的解是
所以x＋y＝2＋1＝3．]
4．若二元一次方程3x－y＝7，2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为( )
A．3 B．－3
C．－4 D．4
D [由得代入y＝kx－9得－1＝2k－9，解得k＝4．故选D．]
5．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元．现购甲、乙、丙各1件，共需( )
A．32元 B．33元
C．34元 D．35元
C [设甲每件x元、乙每件y元、丙每件z元．根据题意列方程组得
①×3－②×2得x＋y＋z＝34．故选C．]
二、填空题
6．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组________．
(答案不唯一) [由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，
故可组成方程组为(答案不唯一)．]
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问：金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相等)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相等)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问：黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为________．
[答案]
8．已知方程组则x∶y∶z＝________．
1∶2∶3 [把z看作已知数，解关于x，y的方程组即可．]
三、解答题
9．(1)阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个二行三列的矩阵，求得的一次方程组的解用矩阵表示为．用矩阵可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
_____，
从而得到该方程组的解集为________；
(2)仿照(1)中矩阵的书写格式写出解方程组的过程．
[解] (1) {(6，10)}
(2)
，所以原方程组的解集为{(0，2)}．
10．小林买了7本数学书和2本语文书共花了100元，小敏买了4本语文书和2本数学书共花了80元，则买2本数学书和1本语文书要花( )
A．25元 B．30元
C．35元 D．45元
C [设1本数学书的价格为x元，1本语文书的价格为y元，
根据题意，得解得
2x＋y＝2×10＋15＝35，即买2本数学书和1本语文书要花35元，故选C．]
11．(多选)方程组的解集为{(x1，y1)，(x2，y2)}，若x1＋x2＝－3，则( )
A．k＝1或k＝
B．y1＋y2＝－3或y1＋y2＝－1
C．y1＋y2＝1或y1＋y2＝3
＝12或＝15
AC [把y＝kx＋2代入x2＋y2＋2x－8＝0，整理得(1＋k2)x2＋(4k＋2)x－4＝0，由条件及根与系数的关系知，x1＋x2＝－＝－3，即3k2－4k＋1＝0，解得k＝1或k＝，故A正确；y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝－3k＋4，所以k＝1或k＝时，y1＋y2＝1或3，故B错误，C正确；因为x1x2＝－，
所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋，
则当k＝1或k＝时＝13或＝，故D错误．]
12．小亮解得方程组的解集为{(x，y)|(5，★)}，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★＝________．
－2 [把x＝5代入2x－y＝12得，2×5－y＝12，
解得y＝－2，所以★为－2．]
13．已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①是方程组的一组解；
②当k＝时，x，y的值互为相反数；
③若方程组的解也是方程x＋y＝4－k的解，则k＝1．
其中正确的序号是________．
①② [解方程组得
①是方程组的一组解，结论正确；
②当k＝时，x＝3k－2＝－2＝－，y＝1－k＝1－＝，x，y的值互为相反数，结论正确；
③∵也是方程x＋y＝4－k的解，
∴x＋y＝3k－2＋1－k＝－1＋2k＝4－k，
∴3k＝5，k＝，结论不正确．]
14．已知x，y满足方程组
(1)甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是________；
(2)求x2＋4y2的值；
(3)若已知＝和(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy，求的值．
[解] (1)乙．
(2)
①＋②×2得，7x2＋28y2＝119，
整理得，x2＋4y2＝17．
(3)②×3－①×2得，7xy＝14，
解得，xy＝2，则(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy＝25，
∴2y＋x＝±5，
∴＝＝±．
15．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法：
将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5，③
将方程①代入③得2×3＋y＝5，∴y＝－1，
将y＝－1代入①得x＝4，
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知x，y满足方程组求整式x2＋4y2＋xy的值．
[解] (1)由题知方程组为
将方程②变形为9x－6y＋2y＝19，
即3(3x－2y)＋2y＝19，③
将方程①代入③得3×5＋2y＝19，解得y＝2，
将y＝2代入①得x＝3，
∴方程组的解为
(2)由题知方程组为
由①得3(x2＋4y2)＝47＋2xy，
即x2＋4y2＝，③
把方程③代入②得2×＋xy＝36，
解得xy＝2，
将xy＝2代入③得x2＋4y2＝17．
∴x2＋4y2＋xy＝17＋2＝19．
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2.1.3 方程组的解集
第二章 等式与不等式
2.1 等式
学习
任务 1．理解方程组的解集的概念及表示方法．(数学抽象)
2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(数学运算)
3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(数据分析、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
知识点 方程组的解集与其解法
1．方程组的解集
一般地，将多个方程联立， 就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的____称为这个方程组的解集．
2．方程组的解法
求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是______．
消元法
交集
思考 常用的消元法有哪几种？
[提示] 解方程组时常用的消元法有代入消元法和加减消元法．代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元．
×
×
[提示] 解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法，故错误．
×
√
(4)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少． ( )
{(3，－2)}
B [由①得y＝x－1， ③
把③代入②，
得(x－1)2＋x2＋4＝0．整理，得2x2－2x＋5＝0．]
√
关键能力·合作探究释疑难
√
√
{(8，4)}
√
(3)(法一：代入法)由①得：y＝12－x，③
将③代入②得：2x＋12－x＝20，
解这个一元一次方程，得x＝8，
将x＝8代入③，得y＝4，
所以原方程组的解集是{(8，4)}．
(法二：加减法)②－①得x＝8，代入①得y＝4，
所以原方程组的解集是{(8，4)}．]
反思领悟 二元一次方程组的解法
(1)用代入法解二元一次方程组的一般步骤
①当方程组中的未知数系数不是1(或－1)时，常选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示这个未知数．
②代入时要注意加括号．
③为了检查解答是否正确，可把所得解代入未变形的方程进行口算检验，不必写检验过程．
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤
①将其中一个未知数的系数化为相同(或互为相反数)．
②通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，得到未知数的值．
④将求得的未知数的值代入原方程组中任何一个方程，求得另一个未知数的值．
⑤写出方程组的解．
⑥检验，但不必写出检验过程．
(3)选择消元法
根据原题的形式，适当选择消元的方法．如果原题中有一个方程的某一未知数系数为1，可以选择代入消元法；若原题中将方程适当加减后能消元，则选择加减消元法．
[思路导引] 利用加减消元法可求出原方程组的解集．
反思领悟 解三元一次方程组的基本步骤
消元 把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，利用代入消元法或加减消元法，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组
求解 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
回代 将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一元一次方程
求解 解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
写解集 把方程组的解用集合表示出来
[解] ①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝10，
即x＋y＋z＝5．④
④－①，得z＝4；④－②，得x＝－1；④－③，得y＝2．
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(－1，2，4)}．
[解] (1)由①得y＝8－x，③
把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0．
解得x1＝2，x2＝6．
把x1＝2代入③，得y1＝6．
把x2＝6代入③，得y2＝2．
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，6)，(6，2)}．
反思领悟 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤
类型4 方程组的实际应用
【例4】 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
[思路导引] 题中有三个等量关系：(1)上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km．(2)从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h．
(3)从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h．
反思领悟 列方程组解应用题的一般步骤
提醒：(1)一般来说，设几个未知数就应列出几个方程．
(2)设未知数及写结论时，都要写清单位名称．
[跟进训练]
4．甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
2
3
题号
4
1
{(－2，－2)，(1，1)}
[提示] 加减消元法与代入消元法．
[提示] 求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次．消元后求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一个未知数的值，不能代入二元二次方程，因为这样可能产生增根．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．求解二元一次方程组、三元一次方程组的基本方法有哪两种？
2．求解二元二次方程组的基本思想与方法是什么？应注意什么问题？
