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第1课时 均值不等式
第二章 等式与不等式
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
学习任务 1．能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式．(数学抽象)
2．能够利用求差法推导均值不等式，理解均值不等式的几何意义．(逻辑推理、直观想象)
3．明确均值不等式的形式及等号成立的条件，会用均值不等式证明一些简单的不等式．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
实验室有一架两臂不等长的天平，一位同学先将5 g的砝码放在天平右盘中，取出一些物品放在天平左盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平左盘中，再取出一些物品放在天平右盘中使天平平衡．
问题 两次称得的物品的质量是10 g吗？如果不是，两次称得的物品的质量比10 g大还是比10 g小？为什么？
a＝b
a＝b
正方形
≤
思考 (1)均值不等式中的a，b只能是具体的数吗？
(2)均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？
[提示] (1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
(2)不能．如a＝－3，b＝－4，均值不等式不成立．
×
√
×
2．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是________．
2
关键能力·合作探究释疑难
√
发现规律 均值不等式使用的条件
在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”：
一正，a，b均为____；
二定，不等式一边为____；
三相等，不等式中的____能取到，即a＝b有解．
正数
定值
等号
√
√
反思领悟 在利用均值不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用均值不等式的条件，然后利用均值不等式及其变形形式进行求解．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向．
√
√
反思领悟 1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
√
D [A选项，当a＜0，且b＜0时不成立；B选项，当a＜0时不成立；C选项，当a与b异号时不成立．故选D．]
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
4．若x，y都是正数，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．
2．使用均值不等式应注意哪几点？2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式
学习任务 1．能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式．(数学抽象) 2．能够利用求差法推导均值不等式，理解均值不等式的几何意义．(逻辑推理、直观想象) 3．明确均值不等式的形式及等号成立的条件，会用均值不等式证明一些简单的不等式．(逻辑推理、数学运算)
实验室有一架两臂不等长的天平，一位同学先将5 g的砝码放在天平右盘中，取出一些物品放在天平左盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平左盘中，再取出一些物品放在天平右盘中使天平平衡．
问题 两次称得的物品的质量是10 g吗？如果不是，两次称得的物品的质量比10 g大还是比10 g小？为什么？
知识点1 重要不等式
对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
知识点2 算术平均值与几何平均值
给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值．
知识点3 均值不等式
1．均值不等式：如果a，b都是正数，那么，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
3．均值不等式的常见变形
(1)当a＞0，b＞0，则a＋b≥2，当且仅与a＝b时，等号成立．
(2)若a＞0，b＞0，则ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(1)均值不等式中的a，b只能是具体的数吗？
(2)均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？
[提示] (1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
(2)不能．如a＝－3，b＝－4，均值不等式不成立．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2． ( )
(2)6和8的几何平均数为2． ( )
(3)若a≠0，则a＋≥2＝2． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是________．
2 [xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．]
3．已知x＞0，则y＝x＋＋2的最小值是________．
2＋2 [∵x＞0，＞0，∴y＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．]
类型1 对均值不等式的理解
【例1】 给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＝－≤－2＝－2．
其中正确的推导为( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
B [①∵a，b为正实数，∴为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；
②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的；
③由xy＜0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]
均值不等式使用的条件
在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”：
一正，a，b均为正数；
二定，不等式一边为定值；
三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解．
[跟进训练]
1．(多选)已知a，b均为正实数，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋b＋≥3 B．(a＋b)≥4
C．≥a＋b D．
BC [对于A，a＋b＋≥2≥2<3，当且仅当a＝b＝时等号同时成立；对于B，(a＋b)·＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号；
对于C，＝a＋b，当且仅当a＝b时取等号；
对于D，当a＝，b＝时，＝＝＝>，
所以<．]
类型2 利用均值不等式比较大小
【例2】 已知a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，试比较a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca，的大小．
[解] ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac．①
∴a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．②
①式两边分别加上a2＋b2＋c2，得3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，
∴a2＋b2＋c2≥．
②式两边分别加上2ab＋2ac＋2bc，得
3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1，
∴ab＋bc＋ca≤．
综上，a2＋b2＋c2≥≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
在利用均值不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用均值不等式的条件，然后利用均值不等式及其变形形式进行求解．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向．
[跟进训练]
2．(1)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C．> D．≥2
(2)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
(1)D (2)B [(1)对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab．对于B，当a<0，b<0时，不成立．
对于C，当a<0，b<0时，不成立．
对于D，由ab>0，故>0，>0，
所以≥2．
(2)显然＞，又因为＜，
所以＞＞．故M＞P＞Q．]
类型3 利用均值不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>9．
[思路导引] 看到>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．
[证明] ∵a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1，
∴＝＝3＋
＝3＋≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时取等号，
∵a，b，c互不相等，∴>9．
[母题探究]
(变结论)本例条件不变，求证：>8．
[证明] ∵a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴＝··＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∵a，b，c互不相等，
∴＞8．
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
[跟进训练]
3．已知a，b，c>0，求证：≥a＋b＋c．
[证明] ∵a，b，c>0，
∴利用均值不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
∴＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，
故≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
1．对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是( )
A． B．a＋≥2
C．≥2 D．≥2
D [A选项，当a＜0，且b＜0时不成立；B选项，当a＜0时不成立；C选项，当a与b异号时不成立．故选D．]
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0<<1
C．< D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由均值不等式知<一定成立．]
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5
C [由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5．]
4．若x，y都是正数，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．
[1＝x＋4y≥2＝4，
所以xy≤，当且仅当x＝4y时等号成立．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试比较不等式a2＋b2≥2ab与的区别与联系．
[提示] (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数．当a>0，b>0时，分别用代替a2＋b2≥2ab中的a，b可得a＋b≥2，变形可得．
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．
2．使用均值不等式应注意哪几点？
[提示] (1)均值不等式成立的条件是a＞0，b＞0．
(2)常见的变形：a＋b≥2，ab≤，ab≤．
(3)“当且仅当a＝b，取等号”的含义：
a＝b ＝．
(4)a，b可以是满足条件的实数，也可以是满足条件的代数式，但应保证a＞0，b＞0．
课时分层作业(十六) 均值不等式
一、选择题
1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使≥2成立的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C [当均为正数时，≥2，
故只须a、b同号即可，
∴①③④均可以．]
2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s
A [∵b2＋1≥2b(当且仅当b＝1时等号成立)，
∴a＋2b≤a＋b2＋1．∴t≤s．]
3．已知当x＝3时，代数式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，则a＝( )
A．28 B．32
C．36 D．40
C [4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，所以＝3，即a＝36．]
4．若a>0，b>0，则“ab≤4”是“a＋b≤4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
B [因为a>0，b>0，取a＝4，b＝1，则满足ab≤4，但是a＋b＝5>4，
所以“ab≤4”不能推出“a＋b≤4”；
反过来，因为2≤a＋b，所以当a＋b≤4时，有2≤4，即ab≤4．
综上可知，“ab≤4”是“a＋b≤4”的必要不充分条件．故选B．]
5．(多选)下列说法正确的有( )
A． x∈R，x＋>2
B．若正实数x，y满足2x＋y＝1，则的最大值为
C．若a，b均为正实数，则a＋的最小值为2
D．若正实数x，y满足x2＋y2＝1＋xy，则1BCD [对于A，当x<0时，x＋<0，即 x∈R，x＋>2是错误的，A不正确；
对于B，因为正实数x，y满足2x＋y＝1，则＝＝＝，当且仅当2x＝y＝时取“＝”，即的最大值为，B正确；
对于C，因为a，b均为正实数，则a＋＋2＝≥2＝2，当且仅当＝且＝，即a＝2b＝4时取“＝”，所以当a＝4，b＝2时，a＋取最小值2，C正确；
对于D，x，y为正实数，2xy≤x2＋y2＝1＋xy，当且仅当x＝y＝1时取“＝”，则有0二、填空题
6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
[∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴＝．]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤ [用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，
则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝＝1＋，
∴x≤．当且仅当a＝b时等号成立．]
8．下列不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1．其中正确的个数是________．
2 [由均值不等式知②④正确．]
三、解答题
9．已知a，b，c为正数，求证：≥3．
[证明] 左边＝－1＋－1＋－1
＝－3．
∵a，b，c为正数，
∴≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)，
≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)，
≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
∴－3≥3，
即≥3．
10．数学里有一种证明方法叫做无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．在同一平面内有形状、大小相同的图①和图②，其中四边形ABCD为矩形，三角形BCE为等腰直角三角形，设AB＝，BC＝(a>0，b>0)，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是( )
A．(a>0，b>0)
B．(a>0，b>0)
C．(a>0，b>0)
D．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
A [由四边形ABCD为矩形，三角形BCE为等腰直角三角形，可推出三角形ABF也为等腰直角三角形，
所以题图①的阴影部分面积S1＝S△ABF＋S△BCE＝··＝，
题图②阴影部分的面积S2＝S矩形ABCD＝·＝．由两图阴影部分面积关系直观得出S1≥S2，即，当且仅当a＝b时，等号成立．故选A．]
11．(多选)若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A．> B．≥1
C．≥2 D．
BD [因为a>0，b>0，a＋b＝4，
所以0a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，所以，a＝b＝2时取等号，D正确．]
12．已知x＞0，y＞0，且满足＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．
3 2 [因为x＞0，y＞0且1＝≥2，所以xy≤3．
当且仅当＝＝，
即x＝，y＝2时取等号．]
13．已知正实数a，b，c不全相等，且abc＝1，设p＝，q＝，则p与q的大小关系是________．
p∵2，
∴．
同理得．
又a，b，c不全相等，故以上三个不等式中至少有一个等号不成立．
∴<，即<，即p14．已知a，b，c都是非负实数，试比较与(a＋b＋c)的大小．
[解] 由，得(a＋b)．
同理得(b＋c)，(a＋c)．
所以[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c)．
故(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
15．已知a，b都是正数，运用均值不等式知识比较的大小关系．
[解] 因为≥2，
所以，即．
又因为＝＝，所以．
又由均值不等式得，
故(当且仅当a＝b时，等号成立)．
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