(共17张PPT)
章末综合提升
第二章 等式与不等式
巩固层·知识整合
类型1 解含参数的一元二次方程
方程是否为一元一次方程，一元二次方程，必须看未知数的系数和其他参数所满足的条件，方程是否有解，同样需要对参数的取值进行分类讨论．对于一元二次方程根的讨论常从以下几个方面考虑：
(1)二次项的系数a：a＝0，方程不是一元二次方程．
(2)判别式Δ＝b2－4ac：Δ>0 方程有两个不相等的实数根；Δ＝0 方程有两个相等的实数根；Δ<0 方程没有实数根．
提升层·题型探究
类型2 解含参数的一元二次不等式
含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论主要从以下三个方面来考虑：
(1)二次项系数含有参数a，则需要对a分类讨论，即a>0，a＝0，a<0．
(2)可因式分解的一元二次不等式的讨论，要对方程对应的两根大小进行讨论，即x1>x2，x1＝x2，x1
(3)不可因式分解的含参数的一元二次不等式，要根据相应的一元二次方程根的判别式讨论，即Δ>0，Δ＝0，Δ<0．
【例2】 解关于x的不等式ax2－3x＋2>5－ax(a∈R)．
类型3 均值不等式的变形技巧
运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分运用“一正、二定、三相等”这三个条件，观察结果，合理变形，凑“定和”和“定积”．其中，合理变形是关键．
9
2
√
√
技巧五：分离变量法
【例7】 若对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，则实数a的取值范围是__________．
(－∞，9]
√类型1 解含参数的一元二次方程
方程是否为一元一次方程，一元二次方程，必须看未知数的系数和其他参数所满足的条件，方程是否有解，同样需要对参数的取值进行分类讨论．对于一元二次方程根的讨论常从以下几个方面考虑：
(1)二次项的系数a：a＝0，方程不是一元二次方程．
(2)判别式Δ＝b2－4ac：Δ>0 方程有两个不相等的实数根；Δ＝0 方程有两个相等的实数根；Δ<0 方程没有实数根．
【例1】 关于x的方程，kx2＋(k＋1)x＋k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使方程的两实数根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题意，得Δ＝(k＋1)2－4k·k＝k2＋2k＋1－k2＝2k＋1>0，
∴k>－．又k≠0，
∴k的取值范围为∪(0，＋∞)．
(2)不存在．理由：设方程的两根分别是x1和x2，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴＝＝－＝0，
∴k＋1＝0，即k＝－1．
∵k>－且k≠0，∴k＝－1不满足题意．
故实数k不存在．
类型2 解含参数的一元二次不等式
含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论主要从以下三个方面来考虑：
(1)二次项系数含有参数a，则需要对a分类讨论，即a>0，a＝0，a<0．
(2)可因式分解的一元二次不等式的讨论，要对方程对应的两根大小进行讨论，即x1>x2，x1＝x2，x1(3)不可因式分解的含参数的一元二次不等式，要根据相应的一元二次方程根的判别式讨论，即Δ>0，Δ＝0，Δ<0．
【例2】 解关于x的不等式ax2－3x＋2>5－ax(a∈R)．
[解] 原不等式等价于ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0．
①当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}．
②当a≠0时，方程(x＋1)(ax－3)＝0的两根分别为x1＝－1，x2＝．
当a>0时，原不等式的解集为．
当a<0时，若>－1，即a<－3，则原不等式的解集为；
若<－1，即－3若＝－1，即a＝－3，则原不等式的解集为 ．
综上所得，
当a<－3时，原不等式的解集为；
当a＝－3时，原不等式的解集为 ；
当－3当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}；
当a>0时，原不等式的解集为．
类型3 均值不等式的变形技巧
运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分运用“一正、二定、三相等”这三个条件，观察结果，合理变形，凑“定和”和“定积”．其中，合理变形是关键．
技巧一：裂项
【例3】 设x>－1，则函数y＝的最小值为________．
9 [由x>－1知，x＋1>0，
所以y＝＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．
所以y的最小值为9．]
技巧二：添项
【例4】 函数y＝x2＋的最小值为________．
2 [因为2＋x2>0，
所以y＝x2＋＝2＋x2＋－2≥2－2＝2，
当且仅当2＋x2＝，
即x＝0时，等号成立．所以y的最小值为2．]
技巧三：放入根号内或平方
【例5】 若0A．1 B．
C． D．
C [因为00，所以x＝×2x＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C．]
技巧四：“1”的代换
【例6】 已知x>0，y>0，且满足x＋2y－xy＝0，则的最大值为( )
A．9 B．6
C．4 D．1
D [因为x＋2y－xy＝0，x>0，y>0，所以＝1，
所以2x＋y＝(2x＋y)＝＋5≥2＋5＝9，
当且仅当＝，即x＝y＝3时等号成立，
所以≤1，即的最大值为1．
故选D．]
技巧五：分离变量法
【例7】 若对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，则实数a的取值范围是________．
(－∞，9] [因为对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，所以只需满足a≤，因为x>0，所以＝x＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，故实数a的取值范围是(－∞，9]．]
类型4 利用均值不等式解决恒成立问题
【例8】 已知a>0，b>0，且ab＝1，不等式≥4恒成立，则正实数m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)
C．[6，＋∞) D．[8，＋∞)
B [由题设知，m≥4(a＋b)－(a＋b)＝4(a＋b)－(a＋b)2恒成立，
而4(a＋b)－(a＋b)2＝4－(a＋b－2)2，又a＋b≥2＝2当且仅当a＝b＝1时等号成立，
所以4(a＋b)－(a＋b)2≤4，且等号成立条件同上，故m≥4．故选B．]
章末综合测评(二) 等式与不等式
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式组的解集是( )
A．{x|x＞－3} B．{x|－3≤x＜2}
C．{x|－3＜x≤2} D．{x|x≤2}
C [
解不等式①得，x≤2，解不等式②得，x＞－3，
∴不等式组的解集为{x|－3＜x≤2}，
故选C．]
2．设方程x2＋x－2＝0的两个根为α，β，那么(α－1)(β－1)的值等于( )
A．－4 B．－2
C．0 D．2
C [(法一)依题意得α＋β＝－1，α·β＝－2，
∴(α－1)(β－1)＝α·β－(α＋β)＋1＝－2＋1＋1＝0．
(法二)解方程可得方程的两根为－2，1，不妨设α＝－2，β＝1，∴(α－1)(β－1)＝0．]
3．设A＝(m，n为互不相等的正实数)，B＝＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A．A>B B．A≥B
C．AA [因为m，n为互不相等的正实数，则≠，
所以A＝>2＝2．B＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2≤2，当x＝2时，Bmax＝2，
所以A>B．]
4．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b＝( )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
A [由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．
A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：
a＝－1，b＝－2，
∴a＋b＝－3．]
5．若不等式4x2＋(m－1)x＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m＞5或m＜－3
B．m≥5或m≤－3
C．－3≤m≤5
D．－3＜m＜5
D [依题意有Δ＝(m－1)2－16＜0，
所以m2－2m－15＜0，
解得－3＜m＜5．]
6．某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是( )
A．200台 B．150台
C．100台 D．50台
B [要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低产量是150台．]
7．在R上定义运算 ：M N＝(1＋M)(1－N)，若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(0，2)
C． D．
B [因为(x－a) (x＋a)<1对任意实数x均成立，所以(1＋x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立．即(1－a)2－x2<1恒成立，
所以(1－a)2<1＋x2恒成立，
所以只需(1－a)2<(1＋x2)min，
又因为(1＋x2)min＝1，
所以(1－a)2<1，
解得08．若两个正实数x，y满足4x＋y＝xy，且存在这样的x，y使不等式x＋A．(－1，4)
B．(－4，1)
C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
C [因为x>0，y>0且4x＋y＝xy，
所以＝1．
所以x＋＝·＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，
即y＝4x＝8时，等号成立．
所以m2＋3m>4，
即(m＋4)(m－1)>0，解得m<－4或m>1．
所以实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若a>b，c<0，则下列不等式成立的是( )
A．ac2>bc2 B．a＋cC．a>b＋c D．>
AC [对A：∵a>b，c<0，则c2>0，
∴ac2>bc2，A正确；
对B：∵a>b，故a＋c>b＋c，B错误；
对C：∵c<0，故a>a＋c>b＋c，即a>b＋c，C正确；
对D：做差可得，＝，
∵a>b，c<0，则a－b>0，
∴<0，即<，D错误．故选AC．]
10．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，则下列结论错误的是( )
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值＋1
D．ab有最小值2(＋1)
BCD [因为ab－(a＋b)＝1，ab≤，
所以－(a＋b)≥1，
它是关于a＋b的一元二次不等式，
解得a＋b≥2(＋1)或a＋b≤2(1－)(舍去)．
所以a＋b有最小值2(＋1)．
又ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2，
所以ab－2≥1，它是关于的一元二次不等式，
解得＋1或≤1－(舍去)，
所以ab≥3＋2，即ab有最小值3＋2．故选BCD．]
11．已知关于x的一元二次不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x<－2或x>3}，下列说法正确的是( )
A．a＋5b＋c＝0
B．c<0
C．bx2－ax＋c>0的解集是(－2，3)
D．对于任意的x∈R，cx2＋ax－b<0恒成立
AC [因为关于x的一元二次不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x<－2或x>3}，
所以a<0，且方程ax2－bx＋c＝0的解为x＝－2或x＝3，则＝1，＝－6，即b＝a，c＝－6a，
所以a＋5b＋c＝a＋5a－6a＝0，故A正确；
c＝－6a>0，故B错误；由bx2－ax＋c>0，即ax2－ax－6a>0，
即x2－x－6<0，解得－2即bx2－ax＋c>0的解集是(－2，3)，故C正确；
由cx2＋ax－b<0，得－6ax2＋ax－a<0，
即6x2－x＋1<0，不等式无解，故D错误．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－的上确界为________．
－ [因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＝×(a＋b)＝＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立，因此有－≤－，即－的上确界为－．]
13．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则＝________，关于x的不等式>0的解集是________．(本小题第一空2分，第二空3分)
－1 {x|x<－1或x>2} [依题意，a>0且－＝1，所以＝－1；不等式>0可变形为(ax－b)(x－2)>0，即(x－2)>0，
所以(x＋1)(x－2)>0，
故x>2或x<－1．]
14．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若ab>0，bc－ad>0，则>0；②若ab>0，>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，>0，则ab>0．其中正确的命题是________．(填序号)
①②③ [对于①，若ab>0，bc－ad>0，
不等式两边同时除以ab得>0，所以①正确；
对于②，若ab>0，>0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以②正确；
对于③，若>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以③正确．
综上，正确的命题是①②③．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)求下列不等式的解集．
(1)－4＜－x2－x－；
(2)(x＋3)2≥(1－2x)2．
[解] (1)原不等式可化为x2＋x＋＜4，
化简，得x2＋2x－5＜0．
因为x2＋2x－5＝x2＋2x＋1－1－5＝(x＋1)2－6，所以原不等式等价于(x＋1)2＜6，
开平方，得|x＋1|＜，解得－－1＜x＜－1．
所以原不等式的解集为{x|－－1＜x＜－1}．
(2)移项，得(x＋3)2－(1－2x)2≥0，
因式分解，得(3x＋2)(x－4)≤0，
解得－≤x≤4，
所以原不等式的解集为．
16．(15分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0．
[解] (1)因为ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为0≤a≤1．
(2)由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0．
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；
③当1－a综上所述，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1－a}；当a＝时，原不等式的解集为 ；
当17．(15分)已知x>0，y>0，2xy＝x＋4y＋a．
(1)当a＝16时，求xy的最小值；
(2)当a＝0时，求x＋y＋的最小值．
[解] (1)当a＝16时，2xy＝x＋4y＋16≥2＋16＝4＋16，
即2xy≥4＋16，即(＋2)(－4)≥0，所以≥4，
即xy≥16，当且仅当x＝4y＝8时等号成立，所以xy的最小值为16．
(2)当a＝0时，2xy＝x＋4y，即＝1，
所以x＋y＋＝x＋y＋1＝(x＋y)＋1＝＋2＝，
当且仅当＝，即x＝3，y＝时等号成立，
所以x＋y＋的最小值为．
18．(17分)在①x2－(2a－1)x＋a2－a＜0，②x2－2ax＋a2－1＜0，③x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数a的取值范围．
已知p：＜0，q：________，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] 由命题p：＜0，得－3＜x＜4，规定集合A＝{x|－3＜x＜4}．设q对应的x的范围即为集合B，因为p是q的必要不充分条件，所以B?A．
选条件①：x2－(2a－1)x＋a2－a＜0．
由x2－(2a－1)x＋a2－a＜0可解得a－1＜x＜a．
因为B?A，只需且等号不能同时取得，解得－2≤a≤4，
即实数a的取值范围为[－2，4]．
选条件②：x2－2ax＋a2－1＜0，
由x2－2ax＋a2－1＜0可解得a－1＜x＜a＋1．
因为B?A，只需且等号不能同时取得，解得－2≤a≤3，
即实数a的取值范围为[－2，3]．
选条件③：x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)．
由x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)可解得1＜x＜a．
因为B?A，只需解得1＜a≤4，
即实数a的取值范围为(1，4]．
19．(17分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
[解] (1)y＝＝≤＝≈11.08．
当且仅当v＝，即v＝40千米/时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/时．
(2)据题意有≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64．
所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内．
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