第2课时 均值不等式的应用
学习 任务 1．进一步熟练掌握均值不等式，能够通过配凑、变形等方法利用均值不等式求最值．(数学运算) 2．会用均值不等式解决实际应用题．(数学建模)
(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？
问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？
知识点 重要结论
已知x，y都是正数．
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值． ( )
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4． ( )
(3)当x>－1时，函数y＝x＋≥4，所以函数y的最小值是4． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)由a＋b≥2可知正确．
(2)由ab≤＝4可知正确．
(3)不是常数，故错误．
类型1 利用均值不等式求最值
直接利用均值不等式求最值
【例1】 (1)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
(2)当x＞1时，的最小值为________．
(1)C (2)8 [(1)因为x＞0，y＞0，所以，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81．
(2)令t＝＝＝(x－1)＋＋2，因为x－1＞0，
所以t≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，t的最小值为8．]
利用均值不等式求最值时的注意点
(1)x，y一定要都是正数．
(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号是否能够成立．
简记为“一正二定三相等”，三个条件缺一不可．
[跟进训练]
1．规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊙k＝3，则k的值为________，此时函数y＝的最小值为________．
1 3 [由题意得1⊙k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
所以＝1或＝－2(舍去)，
所以k＝1．y＝＝＝1＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时，等号成立．]
间接利用均值不等式求最值
【例2】 (1)已知x<，求4x－2＋的最大值．
(2)当0
[解] (1)因为4x－5<0，所以首先要“调整”符号，
又(4x－2)·不是常数，
所以对4x－2要进行拆、凑项，
因为x<，
所以5－4x>0，
所以4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，
即x＝1时，等号成立，
故当x＝1时，4x－2＋取得最大值1．
(2)由00，y＝x(8－2x)＝
[2x·(8－2x)]≤＝8，
当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立，
故当x＝2时，y＝x(8－2x)取得最大值为8．
通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑时，以整式为基础，注意利用系数的变化以及对等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式求最值的三个条件．
[跟进训练]
2．(1)已知x<，则3x＋的最大值为________．
(2)已知0(1)2－2 (2) [(1)由题设，3x－2<0，则2－3x>0，
所以3x＋＝2－≤2－2＝2－2，
当且仅当x＝时等号成立．
所以3x＋的最大值为2－2．
(2)因为00，
所以y＝x＝·2x·(1－2x)≤＝．
当且仅当2x＝1－2x即x＝时等号成立，
所以y＝x的最大值为．]
类型2 利用均值不等式求条件最值
【例3】 (1)已知a>0，b>0，＝1，则2a＋3b的最小值为( )
A．25 B．26 C．27 D．28
(2)已知正数x，y满足x＋2y－2xy＝0，那么2x＋y的最小值是________．
(3)已知x＞0，y＞0，且＝2，则2x＋y的最小值为________．
(1)A (2) (3)7 [(1)因为a>0，b>0，＝1，
所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋≥13＋2＝25，
当且仅当＝，即a＝b＝5时等号成立．
(2)由x＋2y－2xy＝0得＝2，
所以2x＋y＝(2x＋y)＝＋2＝，
当且仅当x＝y时等号成立．
(3)由＝2，可得2x＋y＝2＋y－2
＝··－2
＝－2
≥－2＝7，
当且仅当＝，即x＝，y＝6时，取得最小值7．]
用常数代换法求最值的方法步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．
(2)把确定的定值(常数)变形为1．
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用均值不等式求最值．
[跟进训练]
3．(1)已知正实数a，b满足4a＋b＝18，使得取最小值时，实数a，b的值为( )
A．a＝，b＝9 B．a＝2，b＝10
C．a＝3，b＝6 D．a＝，b＝
(2)负实数x，y满足x＋y＝－2，则x－的最小值为( )
A．1 B．0 C．－1 D．－4
(3)已知x，y均为正实数，且＝4，若2x＋y>m2－m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m<－2或m>1 B．－2C．m<－1或m>2 D．－1(1)C (2)B (3)D [(1)因为4a＋b＝18，
所以＝1，
所以＝＝＋2＝，
当且仅当＝，即即 时等号成立，
故当a＝3，b＝6时，取最小值．
(2)根据题意有x＝－y－2，故x－＝－y－－2＝－y＋－2≥2－2＝0，
当且仅当y＝－1，x＝－1时取等号．
故选B．
(3)由题设，2x＋y＝(2x＋y)＝＝2，当且仅当y＝2x＝1时等号成立，
要使2x＋y>m2－m恒成立，则m2－m<2，可得－1类型3 利用均值不等式解决实际问题
【例4】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[解] 设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18．
设每间虎笼面积为S，则S＝xy．
(法一)由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，
即Smax＝，
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
(法二)由2x＋3y＝18，得x＝9－y．
∵x>0，
∴0∵0∴6－y>0．
∴S≤＝．
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5．
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
用均值不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设好变量．
(2)建立相应的关系式，把实际问题转化、抽象为最大值或最小值问题．
(3)在自变量范围内，求出最大值或最小值．
(4)结合实际意义求出正确的答案，回答实际问题．
[跟进训练]
4．为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城”计划，某市在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围(斜线部分)均种满宽度相同的鲜花．已知两块绿草坪的面积均为200平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
[解] 设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米得y＝．
(1)因为矩形草坪的长比宽至少多10米，
所以≥x＋10，
所以x2＋10x－200≤0，解得－20≤x≤10，
又x>0，所以0所以宽的最大值为10米．
(2)记整个绿化面积为S平方米，
由题意得S＝(2x＋6)(y＋4)＝(2x＋6)
＝424＋8≥424＋80，
当且仅当x＝，即x＝5米时等号成立，所以整个绿化面积的最小值为(424＋80)平方米．
1．已知0A． B． C． D．
A [∵00，
则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．]
2．已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则的最小值为( )
A．8 B．17
C．20 D．25
D [∵a>0，b>0，
∴＝(a＋2b)＝1＋16＋≥17＋2＝25，
当且仅当＝，
即a＝，b＝时等号成立．
故选D．]
3．已知a＞1，当a＝________时，代数式a＋有最小值．
1＋ [∵a＞1，∴a－1＞0，＞0，
∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当a－1＝时，等号成立．
即a＝1＋时，代数式a＋有最小值．
∴a＝1＋．]
4．某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q(q∈N*)的函数关系式为C＝100＋4q，销售单价p与产量q的函数关系式为p＝25－q．要使每件产品的平均利润最大，则产量q等于________．
40 [销售收入R＝p×q＝25q－q2，利润L＝R－C＝－q2＋21q－100(0＜q<400，q∈N*)，每件产品的平均利润＝21－．因为≥5，当且仅当q＝40时等号成立，所以每件产品的平均利润最大时，q＝40．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
利用均值不等式求最值有哪些技巧？
[提示] 利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．
(1)拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定积创造条件．
(2)并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用均值不等式；或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值．
(3)配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
均值不等式的常见变形与拓展
1．均值不等式的变形
由公式a2＋b2≥2ab和可得出以下变形不等式：
(1)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时等号成立，≤－2(a，b异号)，当且仅当a＝－b时等号成立．
特别地，a＋≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时等号成立；a＋≤－2(a＜0)，当且仅当a＝－1时等号成立．
(2)(a＋b)≥4(ab＞0)，当且仅当a＝b时等号成立．
(3)(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时等号成立．其中＝为a，b的调和平均值，为a，b的平方平均值．此不等式链又常以ab≤(a，b∈R)的形式出现．
灵活运用上述变形不等式解决问题的关键在于要有这种“变形”的思想和意识，而不是死记这些变形不等式．事实上，均值不等式的变形不等式还不止上述这几种情况，上面的变形不等式只不过给我们提供了变形的思路、方法和技巧，例如，还可以变形为(a＋b)2≥4ab，＋b≥2a(b＞0)等．
上述(3)的几何意义如图所示．
其中，对CF＝，DE＝的证明如下：
在Rt△OCF中，OC＝－b，OF＝，∴CF2＝OC2＋OF2＝＋＝，∴CF＝．
∵△CDE∽△ODC，∴DC2＝DE·OD，
即DE＝＝＝．
2．均值不等式的拓展
(1)三元均值不等式
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
证明：设d为正数，由二元基本不等式，
得＝，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．
令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，
由此推出d3≥abc，因此，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
(2)n元均值不等式
(a1，a2，…，an＞0)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
课时分层作业(十七) 均值不等式的应用
一、选择题
1．设x＞0，则y＝的最大值是( )
A．3 B．－3
C．3－2 D．－1
C [∵x＞0，
∴y＝3－≤3－2＝3－2，
当且仅当3x＝，且x＞0，
即x＝时，等号成立．故选C．]
2．已知a>0，且a2－b＋4＝0，则有( )
A．最大值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最小值为
A [因为a2－b＋4＝0，
所以b＝a2＋4，
所以＝＝，
因为a>0，
所以a＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当a＝，即a＝2时等号成立，
所以＝，当且仅当a＝2时等号成立．故选A．]
3．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
B [(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，
当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，
(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B．]
4．若实数a，b满足＝，则ab的最小值为( )
A． B．2
C．2 D．4
C [因为＝，
所以a>0，b>0，
因为＝≥2＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2．]
5．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(0A．aC．A [设甲地到乙地的路程为s，
则v＝＝．
∵0∴a＋b>2>0，
∴<＝．
∵v－a＝－a＝＝>0，
∴v>a．
综上可得，a二、填空题
6．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为(图中阴影部分)，上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2．
56 [设阴影部分的竖边长为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2．
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，
即x＝12 dm时等号成立．]
7．若m＞0，n＞0，m＋n＝1且(t＞0)的最小值为9，则t＝________．
4 [因为＝(m＋n)＝t＋1＋≥t＋1＋2＝(＋1)2，所以最小值为(＋1)2＝9，取等号时tn2＝m2，所以＝2，即t＝4．]
8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．
[6，＋∞) [∵a＋b＋3＝ab≤，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)，当且仅当a＝b＝3时取等号．]
三、解答题
9．当x<时，求函数y＝x＋的最大值．
[解] y＝(2x－3)＋＝－，
∵当x<时，3－2x>0，
∴≥2＝4，
当且仅当＝，
即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－．
10．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
D [y＝＝，
又∵－4∴x－1<0．
∴－(x－1)>0．
故y＝－≤－1．
当且仅当x－1＝，
即x＝0时等号成立．
故选D．]
11．(多选)已知正数a，b满足2a＋b＝1，则( )
A．ab的最大值为
B．4a2＋b2的最小值为
C．的最小值为8
D．a＋的最小值为2
ABC [因为2a＋b＝1≥2，所以ab≤，当且仅当2a＝b＝时等号成立，A正确．
4a2＋b2≥＝，当且仅当2a＝b＝时等号成立，B正确．
由题意，得＝(2a＋b)＝4＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即2a＝b＝时等号成立，C正确．
a＋≥2＝2，当且仅当a＝1时等号成立．又因为2a＋b＝1，且a，b均为正数，
所以等号取不到，所以a＋>2，无最小值，D错误．故选ABC．]
12．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝，则这两个数分别为________．
4，12 [设＝1，a，b∈N*，
∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)
＝1＋9＋≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．
又＝1，
∴＝1，
∴a＝4，b＝12．
这两个数分别是4，12．]
13．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
[x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，
∴(x＋y)2＝xy＋1≤＋1，
∴(x＋y)2≤1．
∴－≤x＋y≤，
故x＋y的最大值为，
当且仅当x＝y＝时等号成立．]
14．某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接，已知这块绿化景观地带的内圈周长为400 m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？
[解] 设平行线段长为x m，半圆形直径为d m，中间的矩形区域面积为S m2，
由题意可知
S＝xd，且2x＋πd＝400，
所以S＝xd＝·πd·2x≤＝．
当且仅当πd＝2x＝200，
即d＝，x＝100时，等号成立．
所以，当平行线段的长设计为100 m时，中间矩形区域的面积S最大，最大值为m2．
15．我们学习了二元均值不等式：设a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立．
利用均值不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．
(1)对于三元均值不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)．
(2)利用(1)猜想的三元均值不等式证明．
设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求证：
(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)利用(1)猜想的三元均值不等式求最值：
设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值．
[解] (1)a>0，b>0，c>0，
，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
故答案为．
(2)证明：a>0，b>0，c>0，
因为a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥3>0，
所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc，
即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)a>0，b>0，c>0，，
所以abc≤，
又因为a＋b＋c＝1，0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1，所以(1－a)(1－b)(1－c)≤＝，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为．
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第2课时 均值不等式的应用
第二章 等式与不等式
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
学习
任务 1．进一步熟练掌握均值不等式，能够通过配凑、变形等方法利用均值不等式求最值．(数学运算)
2．会用均值不等式解决实际应用题．(数学建模)
必备知识·情境导学探新知
(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？
问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？
知识点 重要结论
已知x，y都是正数．
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值___．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值____．
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
学习效果·课堂评估夯基础
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值． ( )
√
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4． ( )
√
×
关键能力·合作探究释疑难
√
8
发现规律 利用均值不等式求最值时的注意点
(1)x，y一定要都是____．
(2)求积xy最大值时，应看_______是否为定值；求和x＋y最小值时，应看____是否为定值．
(3)____是否能够成立．
简记为“一正二定三相等”，三个条件缺一不可．
正数
和x＋y
积xy
等号
1
3
反思领悟 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑时，以整式为基础，注意利用系数的变化以及对等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式求最值的三个条件．
√
7
反思领悟 用常数代换法求最值的方法步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．
(2)把确定的定值(常数)变形为1．
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用均值不等式求最值．
√
√
√
类型3 利用均值不等式解决实际问题
【例4】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
反思领悟 用均值不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设好变量．
(2)建立相应的关系式，把实际问题转化、抽象为最大值或最小值问题．
(3)在自变量范围内，求出最大值或最小值．
(4)结合实际意义求出正确的答案，回答实际问题．
[跟进训练]
4．为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城”计划，某市在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围(斜线部分)均种满宽度相同的鲜花．已知两块绿草坪的面积均为200平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
2
3
题号
4
1
40
[提示] 利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．
(1)拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定积创造条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
利用均值不等式求最值有哪些技巧？
(2)并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用均值不等式；或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值．
(3)配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
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上述(3)的几何意义如图所示．
