第2课时 函数的平均变化率
学习任务 1．理解直线的斜率的含义及函数的平均变化率的概念．(数学抽象) 2．掌握判断函数单调性的充要条件．(逻辑推理、数学运算)
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题：
问题 (1)在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝一定大于零吗？
(2)如果在区间[2，10]对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，＝一定大于零吗？
知识点1 直线的斜率
(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．
(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于 x轴的倾斜程度．
知识点2 平均变化率与函数单调性
若区间I是函数y＝f (x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f (x1)，y2＝f (x2)，＝，则：
(1)y＝f (x)在区间I上是增函数的充要条件是＞0在区间I上恒成立．
(2)y＝f (x)在区间I上是减函数的充要条件是＜0在区间I上恒成立．
当x1≠x2时，称＝为函数y＝f (x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．
(1)Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
(2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f (x2)－f (x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f (x1)－f (x2)．
(3)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f (x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f (x)＝x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a． ( )
(2)函数y＝f (x)的平均变化率＝的几何意义是函数y＝f (x)图象上两点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))所在直线的斜率． ( )
(3)直线不一定有斜率，过函数图象上任意两点的直线也不一定有斜率． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为＝＝＝a．
(2)由平均变化率的几何意义可知＝表示过函数y＝f (x)图象上两点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))所在直线的斜率．
(3)过函数图象上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x1≠x2．
2．(1)过函数图象上两点A(－1，3)，B(2，3)的斜率＝________．
(2)过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．
(1)0 (2)1 [(1)＝＝0．
(2)由直线的斜率公式得＝1，即＝1，解得m＝1．]
3．一次函数y＝－2x＋3在R上是________(选填“增”或“减”)函数．
减 [任取x1，x2∈R且x1≠x2，
∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3，
∴＝＝－2＜0，
故y＝－2x＋3在R上是减函数．]
类型1 平均变化率的计算
【例1】 一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．
[思路导引] 由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．
[解] 设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，
所以平均膨胀率＝200(a＋a2t)＋100a2Δt．
求平均变化率的3个步骤
(1)求出或者设出自变量的改变量．
(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量．
(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．
[跟进训练]
1．如图是函数y＝f (x)的图象．
(1)函数f (x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________．
(2)函数f (x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
(1) (2) [(1)函数f (x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝．
(2)由函数f (x)的图象知，
f (x)＝
所以函数f (x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝．]
类型2 利用平均变化率判断或证明函数的单调性
【例2】 若函数y＝f (x)是其定义域的子集I上的增函数且f (x)＞0，求证：g＝在I上为减函数．
[思路导引] 由y＝f (x)在I上为增函数的充要条件可得＞0，再证＜0即可．
[证明] 任取x1，x2∈I且x2＞x1，
则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f (x2)－f (x1)，
∵函数y＝f (x)是其定义域的子集I上的增函数，
∴Δy＞0，＞0，
∴Δg＝＝．
又∵f (x)＞0，
∴f (x1)f (x2)＞0且f (x1)－f (x2)＜0，
∴Δg＜0，
∴＜0，故g＝在I上为减函数．
利用函数的平均变化率判断或证明单调性的4个步骤
(1)取值：任取x1，x2∈D，且x1≠x2．
(2)计算：求Δf (x)＝f (x2)－f (x1)，Δx＝x2－x1，．
(3)判符号：根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性．
(4)下结论：若>0，则f (x)在区间I上是增函数；若<0，则f (x)在区间I上是减函数．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)＝1－，x∈[3，5]，判断函数f (x)的单调性，并证明．
[解] 由于y＝x＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此，由复合函数单调性的判定方法知f (x)＝1－在[3，5]上为增函数．证明过程如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，
则Δy＝f (x2)－f (x1)＝1－＝＝．
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，
∴Δy＞0，∴＞0，故函数f (x)在[3，5]上是增函数．
类型3 二次函数的单调性、最值问题
【例3】 已知函数f (x)＝x2－ax＋1，求f (x)在[0，1]上的最大值．
[解] 因为函数f (x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，当，即a≤1时，f (x)的最大值为f (1)＝2－a；当>，即a>1时，f (x)的最大值为f (0)＝1．
[母题探究]
1．(变结论)在题设条件不变的情况下，求f (x)在[0，1]上的最小值．
[解] ①当≤0，即a≤0时，f (x)在[0，1]上单调递增，∴f (x)的最小值为f (0)＝1．
②当≥1，即a≥2时，f (x)在[0，1]上单调递减，
∴f (x)的最小值为f (1)＝2－a．
③当0<<1，即0
2．(变结论)在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f (x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
[解] 当a＝1时，f (x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝．
①当t≥时，f (x)在[t，t＋1]上是增函数，∴f (x)的最小值为f (t)＝t2－t＋1．
②当t＋1≤，即t≤－时，f (x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴f (x)的最小值为f (t＋1)＝(t＋1)2－(t＋1)＋1＝t2＋t＋1．
③当t<∴f (x)的最小值为f ＝．
一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值：配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值．
(2)含参数的一元二次函数的最值：以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m，区间[a，b]为例，
①最小值：f (x)min＝
②最大值：f (x)max＝
当开口向下、区间不是闭区间时，也可用类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．
1．已知f (x)＝3x2＋5，则自变量x从0.1到0.2的平均变化率为( )
A．0.3 B．0.9 C．0.6 D．1.2
B [Δy＝f (0.2)－f (0.1)＝0.12＋5－0.03－5＝0.09，
可得平均变化率＝＝0.9．]
2．函数f (x)在区间[－2，－1]上满足＞0，且图象关于y轴对称，则函数f (x)在区间[1，2]上( )
A．单调递增，且有最小值f (1)
B．单调递增，且有最大值f (1)
C．单调递减，且有最小值f (2)
D．单调递减，且有最大值f (2)
C [∵函数f (x)在区间[－2，－1]上满足＞0，
∴函数f (x)在区间[－2，－1]上是增函数．
∵其图象关于y轴对称，
∴函数f (x)在区间[1，2]上是减函数，
∴f (x)min＝f (2)，f (x)max＝f (1)．故选C．]
3．若函数f (x)＝x2－x＋的定义域和值域都是[1，b]，则b＝( )
A．1 B．3
C．2 D．1或3
B [∵函数f (x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的定义域和值域都是[1，b]，且函数f (x)在[1，b]上为增函数，
∴f (b)＝(b－1)2＋1＝b，即(b－1)2＝b－1．
又∵b＞1，∴(b－1)＝1，解得b＝3，故选B．]
4．汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是，则三者的大小关系为________．(用“<”表示)
<< [∵＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，由题图得kOA∴<<．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对平均变化率中的Δx，Δy，，你是怎样理解的？
[提示] (1)函数f (x)应在x1，x2处有定义．
(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负．
(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f (x2)－f (x1)，而不是Δy＝f (x1)－f (x2)．
(4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．
2．判断函数y＝f (x)在区间I上单调性的充要条件是什么？
[提示] (1)y＝f (x)在区间I上单调递增的充要条件是＞0恒成立．
(2)y＝f (x)在区间I上单调递减的充要条件是＜0恒成立．
课时分层作业(二十一) 函数的平均变化率
一、选择题
1．已知A(1，2)，B(－3，－4)，C(2，m)，若A，B，C三点在同一条直线上，则m＝( )
A． B．3 C． D．4
C [∵A，B，C三点共线，
∴kAB＝kAC，
∴＝，解得m＝．故选C．]
2．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，1＋d]上的平均速度的大小为( )
A．2d＋4 B．－2d＋4
C．2d－4 D．－2d－4
D [平均速度的大小为＝－4－2d．故选D．]
3．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．－2
C [根据平均变化率的定义，可知
＝＝a＝3，故选C．]
4．已知对任意的00，设a＝f (π)，b＝f (2)，则( )
A．a>b
B．a＝b
C．aD．a，b的大小关系不能确定
C [由条件知<0，即f (x)在(0，＋∞)上单调递减，∵π>2，∴f (π)5．函数f (x)＝x2－mx＋4(m>0)在(－∞，0]上的最小值是( )
A．4 B．－4
C．与m的取值有关 D．无最小值
A [f (x)＝x2－mx＋4的图象的对称轴为直线x＝，∵m>0，∴f (x)在(－∞，0]上单调递减，
∴f (x)min＝f (0)＝4．]
二、填空题
6．过曲线y＝x2上两点A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为________．
4．1 [因为割线AB的斜率kAB＝＝＝＝Δx＋4，
所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1．]
7．已知函数f (x)＝f (x)的最大值为m，f (x)的最小值为n，则m＋n＝________．
－ [当0≤x≤2时，f (x)＝－x2＋x＝＋，此时f (x)max＝f ＝＝f ＝－2．
当－1≤x<0时，f (x)＝－x2－x＝－＋，此时f (x)max＝f ＝，f (x)min＝f (－1)＝0．
综上所述，f (x)max＝，f (x)min＝－2，即m＝，n＝－2，所以m＋n＝－．]
8．设f (x)＝x2－2ax＋a2，x∈[0，2]．当a＝－1时，f (x)的最小值是________．若f (0)是f (x)的最小值，则a的取值范围为________．
1 (－∞，0] [当a＝－1时，f (x)＝x2＋2x＋1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，
所以函数f (x)＝x2＋2x＋1在[0，2]上单调递增，所以函数f (x)在[0，2]上的最小值为f (0)＝1．
若f (0)是f (x)的最小值，说明f (x)图象的对称轴，即直线x＝a在y轴左侧或与y轴重合，则a≤0，所以a的取值范围为(－∞，0]．]
三、解答题
9．已知函数f (x)＝2x2＋3x－5．
(1)当x1＝4，且Δx＝1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率；
(2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率；
(3)分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义．
[解] ∵f (x)＝2x2＋3x－5，
∴Δy＝f (x1＋Δx)－f (x1)＝＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx．
(1)当x1＝4，且Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，则＝＝21．
(2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，
则＝＝19.2．
(3)在(1)中，＝，它表示抛物线上的点A(4，39)与点B(5，60)连线所在直线的斜率；
在(2)中，＝，它表示抛物线上的点A(4，39)与点C(4.1，40.92)连线所在直线的斜率．
10．(多选)下列各选项正确的有( )
A．若x1，x2∈I，当x1≠x2时，＝>0在区间I上成立，则y＝f (x)在区间I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝－在定义域上不是增函数
D．函数y＝x2的单调递减区间为(－∞，0]
CD [A中，没强调x1，x2是区间I上的任意两个数，故不正确；B中，y＝x2在x≥0时是增函数，在x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故不正确；C中，y＝－在整个定义域内不具有单调性，故正确；D正确．]
11．设函数f (x)＝ax2＋bx－c(a≠0)对任意实数t都有f (2＋t)＝f (2－t)成立，在数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中最小的一个不可能是( )
A．f (－1) B．f (1)
C．f (2) D．f (5)
B [因为f (2＋t)＝f (2－t)，所以该二次函数的对称轴为x＝2，该二次函数的图象是抛物线，当a>0时，抛物线的开口向上，当x>2时，该函数单调递增，当x<2时，该函数单调递减，所以f (2)是最小值；当a<0时，抛物线的开口向下，当x>2时，该函数单调递减，当x<2时，该函数单调递增，所以有f (2)>f (1)>f (－1)＝f (5)，此时f (－1)，f (5)最小．故选B．]
12．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
－ [∵Δy＝
＝＝＝，
∴＝＝，
即k＝＝－．
∴当Δx＝1时，k＝－＝－．]
13．已知函数f (x)＝mx2－mx－1．若对于x∈[1，3]，f (x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
[要使f (x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．
当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，
所以0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，
所以m<0．
综上所述，m的取值范围是．]
14．已知函数f (x)＝，x∈[3，5]．
(1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
[解] (1)函数f (x)在[3，5]上是增函数．
证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则
f (x1)－f (x2)＝＝＝，
所以＝＝．
因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，
所以＝＞0，
所以f (x)＝在[3，5]上是增函数．
(2)由(1)得f (x)min＝f (3)＝＝，
f (x)max＝f (5)＝＝．
15．已知函数y＝x2＋ax＋3在[－1，1]上的最小值为－3，求实数a的值．
[解] 函数y＝x2＋ax＋3可变形为
y＝＋，
其对称轴为x＝－．
由函数的图象(图略)可知：
(1)当－≤－1，即a≥2时，
函数y＝x2＋ax＋3在[－1，1]上单调递增，
所以，在x＝－1时，
y取得最小值4－a．
根据题设4－a＝－3，
得a＝7．
(2)当－∈(－1，1)，即－2在上单调递增，所以，在x＝－时，y取得最小值．
根据题设＝－3，则a2＝24，
解得a＝±2．
因为±2 (－2，2)，故舍去．
(3)当－≥1，即a≤－2时，
函数y＝x2＋ax＋3在[－1，1]上单调递减，
所以，当x＝1时，y取得最小值4＋a．
根据题设4＋a＝－3，得a＝－7．
综上可知，符合题意的a的值为±7．
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第2课时 函数的平均变化率
第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.2 函数的单调性
学习任务 1．理解直线的斜率的含义及函数的平均变化率的概念．
(数学抽象)
2．掌握判断函数单调性的充要条件．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题：
不存在
x轴
＞
＜
提醒 (1)Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
(2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f (x2)－f (x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f (x1)－f (x2)．
(3)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f (x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f (x)＝x2在
[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a． ( )
√
[提示] 过函数图象上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x1≠x2．
×
√
(3)直线不一定有斜率，过函数图象上任意两点的直线也不一定有斜率． ( )
0
1
3．一次函数y＝－2x＋3在R上是________(选填“增”或“减”)函数．
减
关键能力·合作探究释疑难
类型1 平均变化率的计算
【例1】 一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．
[思路导引] 由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．
反思领悟 求平均变化率的3个步骤
(1)求出或者设出自变量的改变量．
(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量．
(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．
[跟进训练]
1．如图是函数y＝f (x)的图象．
(1)函数f (x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________．
(2)函数f (x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
类型3 二次函数的单调性、最值问题
【例3】 已知函数f (x)＝x2－ax＋1，求f (x)在[0，1]上的最大值．
[母题探究]
1．(变结论)在题设条件不变的情况下，求f (x)在[0，1]上的最小值．
2．(变结论)在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f (x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
反思领悟 一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值：配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值．
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
1．已知f (x)＝3x2＋5，则自变量x从0.1到0.2的平均变化率为( )
A．0.3 B．0.9 C．0.6 D．1.2
√
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
[提示] (1)函数f (x)应在x1，x2处有定义．
(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负．
(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f (x2)－f (x1)，而不是Δy＝f (x1)－f (x2)．
(4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．
2．判断函数y＝f (x)在区间I上单调性的充要条件是什么？