3.1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明
学习 任务 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(直观想象) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．(逻辑推理) 3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(数学运算)
德国心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．经过测试，他得到了以下一些数据：
时间 间隔t 刚记忆 完毕 20分 钟后 60分 钟后 8～9小 时后 1天后 2天后 6天后 一个 月后
记忆量y (百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．
问题 (1)当时间间隔t逐渐增大时你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
知识点1 函数单调性的概念
条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，且区间I D： 如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时
都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2)
结论 y＝f (x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增) y＝f (x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减)
图示
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间上可以有不同的单调性．
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质．
(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即f (x)是增(减)函数且f (x1)
x2)．
(4)若f (x)在区间I上为增(减)函数，则函数f (x)的图象在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降)．
1．增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
[提示] 定义中的x1，x2有以下3个特征：
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般．
(2)有大小，通常规定x1＜x2．
(3)属于同一个单调区间．
知识点2 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有单调性．
如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数．
1．函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，如函数y＝x2＋2x－1的单调递减区间(－∞，－1] (－∞，＋∞)，故在讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．由于函数在单独的一个x值处不存在单调性，因此写单调区间时可以包括区间端点，也可以不包括，但单调区间一定不包括使函数无意义的x的值．
3．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．
2．函数y＝在定义域上是减函数吗？
[提示] 不是．y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上也单调递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
知识点3 函数的最值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数f (x)的定义域为D，且x0∈D；如果对任意x∈D
都有f (x)≤f (x0) 都有f (x)≥f (x0)
结论 则称f (x)的最大值为f (x0)，而x0称为f (x)的最大值点 则称f (x)的最小值为f (x0)，而x0称为f (x)的最小值点
统称 最大值和最小值统称为最值
最大值点和最小值点统称为最值点
1．如果(a，b)，(c，d)都是函数f (x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f (x1)f (x2)
C．f (x1)＝f (x2) D．不能确定
D [根据函数单调性的定义可知，所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小，故选D．]
2．函数y＝x2－6x的单调递减区间是________．
(－∞，3] [y＝x2－6x＝(x－3)2－9，
故单调递减区间是(－∞，3]．]
3．函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是________，最大值是________．
－1 2 [由题图可知，f (x)的最大值为f (1)＝2，f (x)的最小值为f (－2)＝－1．]
类型1 定义法证明(判断)函数的单调性
【例1】 用定义法证明函数f (x)＝在区间(0，1)上是减函数．
[证明] 任取x1，x2∈(0，1)且x1f (x1)－f (x2)＝＝＝，
因为x1所以x2－x1>0，
因为x1，x2∈(0，1)，
所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)，
所以函数f (x)＝在区间(0，1)上是减函数．
利用定义证明函数单调性的4个步骤
[跟进训练]
1．(源自北师大版教材)判断函数f (x)＝的单调性，并给出证明．
[解] 画出函数f (x)＝的图象如图．由图象可以看出，函数f (x)＝在定义域[0，＋∞)上可能是增函数．
任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1所以f (x1)－f (x2)＝＝．
由>0，可知f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)由函数单调性的定义可知，函数f (x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．
类型2 求函数的单调区间
【例2】 (1)函数y＝f (x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4，4]
B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1]
D．[－3，4]
(2)已知函数y＝－x2＋2|x|＋1，求函数的单调区间．
(3)求函数f (x)＝x＋(x>0)的单调区间．
(1)C [根据函数单调性定义及函数图象知f (x)在[－3，1]上单调递增．故选C．]
(2)[解] y＝
即y＝
函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．
(3)[解] 设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f (x1)－f (x2)＝
＝(x1－x2)－＝．
因为00．
由于x1x2－9的符号不能确定，因此需要对x1，x2的取值进行讨论．
当x1，x2∈(0，3)时，x1x2－9<0，
则f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
所以f (x)在区间(0，3)上是减函数；
当x1，x2∈(3，＋∞)时，x1x2－9>0，
则f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)所以f (x)在区间(3，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数f (x)＝x＋(x>0)的单调递减区间是(0，3)，单调递增区间是(3，＋∞)．
1．图象法求函数单调区间的步骤
作图 作出函数的图象
结论 上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间
2．常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数y＝ax＋b(a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减
反比例函数y＝(a≠0) a>0时，单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)； a<0时，单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0) a>0时，单调递减区间是(－∞，m]，单调递增区间是[m，＋∞)； a<0时，单调递减区间是[m，＋∞)，单调递增区间是(－∞，m]
y＝x＋(a≠0) a>0时，单调递增区间是(－∞，－]，[，＋∞)； 单调递减区间是[－，0)，(0，]； a<0时，单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)
提醒：(1)若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．
(2)理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系．
[跟进训练]
2．函数y＝－(x－3)|x|的单调递增区间为________．
[y＝－(x－3)|x|＝
作出其图象如图，观察图象知单调递增区间为．]
类型3 单调性的应用
【例3】 (1)若函数f (x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数y＝f (x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x－3)>f (5x－6)，则实数x的取值范围为________．
(3)已知函数f (x)＝对任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，x1≠x2，都有<0，则实数a的取值范围是________．
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) (3)[2，4]
[(1)∵f (x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的图象开口向下，
∴要使f (x)在(－∞，3]上是增函数，
只需－(a＋1)≥3，即a≤－4．
∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f (2x－3)>f (5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1．
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
(3)由题意，对任意x1，
x2∈(－∞，＋∞)，x1≠x2，
都有＜0，
故函数f (x)在R上单调递减．
设g(x)＝x2－ax＋5，x＜1，h(x)＝1＋，x≥1，
由反比例函数的性质可得h(x)在[1，＋∞)上单调递减，满足条件．
因此保证二次函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，
且g(1)≥h(1)即可．
所以解得2≤a≤4．]
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性：首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数，则界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则界点左侧值大于等于右侧值．
[跟进训练]
3．(1)已知函数y＝f (x)是R上的减函数，若f (a＋2)>f (2a－3)，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a>5} B．{a|a<5}
C．{a|a<4} D．{a|a>4}
(2)已知函数f (x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(1)A (2)A [(1)由于函数y＝f (x)是R上的减函数，且f (a＋2)>f (2a－3)，
所以a＋2＜2a－3，解得a>5，
所以实数a的取值范围是{a|a>5}．
(2)当x＜0时，函数f (x)＝x2－ax＋1是减函数，
解得a≥0，当x≥0时，
函数f (x)＝－x＋3a是减函数，
所以分段点0处的值应满足1≥3a，
解得a≤，
所以0≤a≤．]
类型4 求函数的最值(值域)
【例4】 已知函数f (x)＝．
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
[解] (1)f (x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1则f (x1)－f (x2)＝＝，
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f (x1)－f (x2)<0 f (x1)所以f (x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知f (x)在[2，4]上单调递增，
所以f (x)的最小值为f (2)＝＝，
最大值为f (4)＝＝．
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f (x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b)．
(2)若函数f (x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)求闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
[跟进训练]
4．已知函数f (x)＝max{x2，5x－6}，则下列说法正确的是( )
A．f (x)的单调递增区间是(2，＋∞)
B．f (x)的最小值是0, 没有最大值
C．f (x)的图象关于y轴对称
D．f (4)＝14
B [令x2≥5x－6，解得x≥3或x≤2，
所以f (x)＝画出函数的图象(图略)，
函数的单调递增区间是[0，＋∞)，最小值f (0)＝0，无最大值，
函数f (x)不关于y轴对称，f (4)＝42＝16．故选B．]
1．函数y＝在区间上的最大值是( )
A． B．－1
C．4 D．－4
C [∵y＝在上是减函数，
∴当x＝时，ymax＝4．
故选C．]
2．(多选)下列函数中，在(0，2)上是增函数的是( )
A．y＝－ B．y＝2x－1
C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2
AB [对于A，y＝－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；
对于B，y＝2x－1在R上单调递增；
对于C，y＝1－2x在R上单调递减；
对于D，y＝(2x－1)2在上单调递减，在上单调递增．故选AB．]
3．函数f (x)＝x2－3|x|＋2的单调递减区间是________．
[去绝对值，得函数f (x)＝作出其图象(图略)，可得函数的单调递减区间为．]
4．定义在(－2，2)上的函数f (x)是增函数，且满足f (1－a) [由题设知实数a应满足：
解得回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对函数的单调性的定义，你是怎样理解的？
[提示] 单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此对x1，x2有下列要求：(1)属于同一个区间I；(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间I上的任意两个值，不能用特殊值代替；(3)区分大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x12．利用定义证明函数的单调性时，常用哪些变形技巧？
[提示] (1)因式分解．当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f (x)＝x2－2x－3．
(2)通分．当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解．
(3)配方．当所得的差式含有x1，x2的二次三项式时，可以考虑配方，便于判断符号．
(4)分子有理化．当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化．
3．函数的最值和值域有什么联系与区别？
[提示] (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)区别：
①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；
②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素，例如，函数f (x)＝x2对任意的x∈R，都有f (x)≥－1，但是f (x)的最小值不是－1，因为－1不在f (x)的值域内．
(3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
课时分层作业(二十) 单调性的定义与证明
一、选择题
1．已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则f (x)的单调递减区间是( )
A．(0，1) B．(－∞，1)
C． D．(－∞，3)
A [由图象知f (x)的单调递减区间为(0，1)．]
2．如果函数f (x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是( )
A．>0
B．(x1－x2)＝0
C．f (a)≤f (x1)D．f (x1)>f (x2)
A [对于A项，因为f (x)在[a，b]上是增函数，所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，
当x1>x2时，f (x1)>f (x2)，
所以x1－x2>0，f (x1)－f (x2)>0，
所以>0，
当x1所以x1－x2<0，f (x1)－f (x2)<0，
所以>0，
综上所述，>0，故A项正确；
对于B项，因为f (x)在[a，b]上是增函数，
所以对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，
当x1>x2时，f (x1)>f (x2)，
所以x1－x2>0，f (x1)－f (x2)>0，
所以(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，
当x1所以x1－x2<0，f (x1)－f (x2)<0，
所以(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，
综上所述，(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，故B项不成立；
对于C项、D项，由于x1，x2的大小关系不确定，
所以f (x1)与f (x2)的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立．
故选A．]
3．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]
B [∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象是开口向上，直线x＝为函数的对称轴，
又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤，解得a≤－．]
4．(多选)若函数f (x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )
A．f (a2＋1)B．f (a2＋a)C．f (a2)D．f (a2＋1)≤f (2a)
AD [∵a2＋1－a＝＋>0，
∴a2＋1>a．又函数f (x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴f (a2＋1)∵a2≥0，
∴a2＋a≥a，
∴f (a2＋a)≤f (a)，故B选项不正确．当0≤a≤1时，a2≤a，此时f (a2)≥f (a)，故C选项不正确．
∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，
∴a2＋1≥2a，
∴f (a2＋1)≤f (2a)，故D选项正确．故选AD．]
5．已知f (x)＝，则( )
A．f (x)max＝，f (x)无最小值
B．f (x)min＝1，f (x)无最大值
C．f (x)max＝1，f (x)min＝－1
D．f (x)max＝1，f (x)min＝0
C [f (x)＝的定义域为[0，1]，因为f (x)在[0，1]上单调递增，所以f (x)max＝1，f (x)min＝－1．]
二、填空题
6．若函数f (x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
[－1，＋∞) [函数f (x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)，又f (x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1．]
7．已知f (x)在定义域内是减函数，且f (x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．
①y＝a＋f (x)(a为常数)；
②y＝a－f (x)(a为常数)；
③y＝；
④y＝[f (x)]2．
②③ [f (x)在定义域内是减函数，且f (x)>0时，－f (x)，均为增函数，故选②③．]
8．函数y＝f (x)在(－2，2)上为减函数，且f (2m)>f (－m＋1)，则实数m的取值范围是________．
[由题意知解得－1三、解答题
9．已知函数f (x)＝，x∈(0，＋∞)．
(1)判断函数f (x)的单调性，并利用定义证明；
(2)若f (2m－1)>f (1－m)，求实数m的取值范围．
[解] (1)证明：f (x)＝＝2－，x∈(0，＋∞)，
任取0可知f (x1)－f (x2)＝＝，
因为0所以x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
所以f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)故f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (2m－1)>f (1－m)，
可得
解得故实数m的取值范围是．
10．已知条件p：函数f (x)＝x2＋mx＋1在区间上单调递增，条件q：m≥－，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [函数f (x)＝x2＋mx＋1的单调递增区间是，依题意， ，
因此－，解得m≥－1，显然[－1，＋∞)?，所以p是q的充分不必要条件．]
11．已知函数f (x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
D [由题意知实数a满足
解得0＜a≤2，
故实数a的取值范围为(0，2]．]
12．设f (x)是定义域为R的单调函数，且f (f (x)－3x)＝4，则f (2)＝________．
7 [令t＝f (x)－3x，则f (t)＝4，因为f (x)是定义域为R的单调函数，所以t为常数．
即f (x)＝3x＋t，
所以f (t)＝4t＝4，
解得t＝1，
所以f (x)＝3x＋1，故f (2)＝7．]
13．已知函数f (x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，则k的取值范围是________．
(－1，2) [函数f (x)＝2x2－4kx－5的图象的对称轴为直线x＝k，若函数f (x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，则k的取值范围是(－1，2)．]
14．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f (x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，求f (x)的最大值．
[解] 在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象，如图．
根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，
f (x)的图象应为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，
此时y＝6，故两图象的交点为(4，6)．
所以f (x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f (x)的最大值为6．
15．已知一次函数f (x)是R上的增函数，g(x)＝f (x)(x＋m)，且f (f (x))＝16x＋5．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．
[解] (1)由题意设f (x)＝ax＋b(a>0)．
从而f (f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，
所以解得或(不合题意，舍去)．
所以f (x)的解析式为f (x)＝4x＋1．
(2)g(x)＝f (x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图象的开口向上，对称轴为直线x＝－．
若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，
所以实数m的取值范围为．
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第1课时 单调性的定义与证明
第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.2 函数的单调性
学习
任务 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(直观想象)
2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．(逻辑推理)
3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
德国心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．经过测试，他得到了以下一些数据：
时间
间隔t 刚记忆
完毕 20分
钟后 60分
钟后 8～9小
时后 1天后 2天后 6天后 一个
月后
记忆量y
(百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的
函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著
名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．
问题 (1)当时间间隔t逐渐增大时你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
知识点1 函数单调性的概念
条件 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，且区间I D：
如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时
都有___________ 都有___________
结论 y＝f (x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增) y＝f (x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减)
f (x1)＜f (x2)
f (x1)＞f (x2)
图示
提醒 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间上可以有不同的单调性．
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质．
(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即f (x)是增(减)函数且f (x1)x2)．
(4)若f (x)在区间I上为增(减)函数，则函数f (x)的图象在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降)．
思考 1．增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
[提示] 定义中的x1，x2有以下3个特征：
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般．
(2)有大小，通常规定x1＜x2．
(3)属于同一个单调区间．
知识点2 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝
f (x)在这一区间具有______．
如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数．
单调性
提醒 1．函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，如函数y＝x2＋2x－1的单调递减区间(－∞，－1] (－∞，＋∞)，故在讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．由于函数在单独的一个x值处不存在单调性，因此写单调区间时可以包括区间端点，也可以不包括，但单调区间一定不包括使函数无意义的x的值．
3．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．
知识点3 函数的最值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数f (x)的定义域为D，且x0∈D；如果对任意x∈D
都有f (x)__ f (x0) 都有f (x)__ f (x0)
结论 则称f (x)的最大值为f (x0)，而x0称为f (x)的最大值点 则称f (x)的最小值为f (x0)，而x0称为f (x)的最小值点
统称 最大值和最小值统称为____
最大值点和最小值点统称为______
≤
≥
最值
最值点
1．如果(a，b)，(c，d)都是函数f (x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f (x1)f (x2)
C．f (x1)＝f (x2) D．不能确定
D [根据函数单调性的定义可知，所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小，故选D．]
√
2．函数y＝x2－6x的单调递减区间是____________．
(－∞，3] [y＝x2－6x＝(x－3)2－9，
故单调递减区间是(－∞，3]．]
(－∞，3]
3．函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是________，最大值是________．
－1 2 [由题图可知，f (x)的最大值为f (1)＝2，f (x)的最小值为
f (－2)＝－1．]
－1
2
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 利用定义证明函数单调性的4个步骤
√
反思领悟 1．图象法求函数单调区间的步骤
作图 作出函数的图象
结论 上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间
2．常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数y＝ax＋b(a≠0) a>0时，在R上单调递增；
a<0时，在R上单调递减
a>0时，单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；
a<0时，单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
函数 单调性
二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0) a>0时，单调递减区间是(－∞，m]，单调递增区间是[m，＋∞)；
a<0时，单调递减区间是[m，＋∞)，单调递增区间是(－∞，m]
提醒：(1)若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．
(2)理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系．
[跟进训练]
2．函数y＝－(x－3)|x|的单调递增区间为________．
[2，4]
(－∞，－4]
(－∞，1)
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) (3)[2，4]
[(1)∵f (x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的图象开口向下，
∴要使f (x)在(－∞，3]上是增函数，
只需－(a＋1)≥3，即a≤－4．
∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f (2x－3)>f (5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1．
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
反思领悟 函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性：首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数，则界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则界点左侧值大于等于右侧值．
√
√
反思领悟 1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f (x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b)．
(2)若函数f (x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)求闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
[跟进训练]
4．已知函数f (x)＝max{x2，5x－6}，则下列说法正确的是( )
A．f (x)的单调递增区间是(2，＋∞)
B．f (x)的最小值是0, 没有最大值
C．f (x)的图象关于y轴对称
D．f (4)＝14
√
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
√
√
2
3
题号
4
1
3．函数f (x)＝x2－3|x|＋2的单调递减区间是_________________．
2
3
题号
4
1
4．定义在(－2，2)上的函数f (x)是增函数，且满足f (1－a)
[提示] 单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此对x1，x2有下列要求：(1)属于同一个区间I；(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间I上的任意两个值，不能用特殊值代替；(3)区分大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对函数的单调性的定义，你是怎样理解的？
[提示] (1)因式分解．当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f (x)＝x2－2x－3．
(2)通分．当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解．
(3)配方．当所得的差式含有x1，x2的二次三项式时，可以考虑配方，便于判断符号．
(4)分子有理化．当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化．
2．利用定义证明函数的单调性时，常用哪些变形技巧？
[提示] (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)区别：
①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；
②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素，例如，函数f (x)＝x2对任意的x∈R，都有f (x)≥－1，但是f (x)的最小值不是－1，因为－1不在f (x)的值域内．
(3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
3．函数的最值和值域有什么联系与区别？