第2课时 函数奇偶性的应用
学习任务 1．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．(逻辑推理) 2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．(数学运算、逻辑推理)
(1)图①和图②分别是偶函数和奇函数的一部分图象，你能结合奇、偶函数图象的特征画出相应图象的另一部分吗？
图① 图②
(2)就图①而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？就图②而言，函数在区间与上的单调性是否相同？
知识点1 函数的单调性与奇偶性
(1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f (x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同．
(2)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f (x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反．
知识点2 函数f (x)，g(x)在公共定义域上有下列结论
f (x) g(x) f (x)＋g(x) f (x)－g(x) f (x)g(x) f (g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意：f (g(x))中，t＝g(x)与y＝f (t)的定义域可以不同．
1．定义在R上的偶函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，则f (－4)，f (－π)，f (3)的大小关系为________．(用“<”表示)
f (3)＜f (－π)＜f (－4) [∵f (x)是定义在R上的偶函数，
∴f (－π)＝f (π)，f (－4)＝f (4)，
又f (x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π＜4，
∴f (3)＜f (π)＜f (4)，
即f (3)＜f (－π)＜f (－4)．]
2．已知偶函数f (x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f (x)·g(x)<0的解集是________．
(－4，－2)∪(0，2) [设h(x)＝f (x)g(x)，
则h(－x)＝f (－x)g(－x)＝－f (x)g(x)＝－h(x)，
所以h(x)是奇函数，
由图象可知：当－4
0，g(x)<0，即h(x)<0，
当00，即h(x)<0，
所以h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2)．]
类型1 利用函数奇偶性求解析式
【例1】 (1)函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式．
(2)设f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝，求函数f (x)，g(x)的解析式．
[解] (1)设x<0，则－x>0，
∴f (－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f (x)是定义域为R的奇函数，
∴f (－x)＝－f (x)＝x＋1，
∴当x<0时，f (x)＝－x－1．
又x＝0时，f (0)＝0，
∴f (x)＝
(2)∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)．
由f (x)＋g(x)＝，①
得f (－x)＋g(－x)＝，
∴f (x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f (x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝．
利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．
(3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)．
提醒：若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0．
[跟进训练]
1．已知函数f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f (x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝________．
－x－x4 [当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
∴f (－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4，
又∵f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，
∴f (x)＝f (－x)＝－x－x4．]
类型2 利用单调性与奇偶性比较大小
【例2】 已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0，2]上单调递增，则( )
A．f (－1)B．f (4)C．f (3)D．f (－1)D [因为f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，
所以f (－4)＝－f (0)．
又f (x)在R上是奇函数，所以f (0)＝0，
故f (－4)＝－f (0)＝0，所以f (4)＝－f (－4)＝0．
由f (x)＝－f (－x)且f (x－4)＝－f (x)，得f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)．又f (x)在区间[0，2]上单调递增，所以f (1)>f (0)，即f (1)>0，所以f (3)＝f (1)>0，f (－1)＝－f (1)<0，于是f (－1) 比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上：
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
[跟进训练]
2．定义在R上的偶函数f (x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·[f (x2)－f (x1)]>0，则当n∈N+时，有( )
A．f (－n)B．f (n＋1)C．f (n－1)D．f (n＋1)B [∵对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f (x2)－f (x1)]>0，
∴若x2－x1>0，则f (x2)－f (x1)>0，即若x2>x1，则f (x2)>f (x1)，
若x2－x1<0，则f (x2)－f (x1)<0，
即若x2∴函数在(－∞，0]上单调递增．
∵f (x)在R上是偶函数，
∴函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，
f (－n)＝f (n)．
∵n∈N+，∴n＋1>n>n－1≥0，
∴f (n＋1)即f (n＋1)类型3 利用单调性与奇偶性求参数范围
【例3】 已知定义在[－2，2]上的奇函数f (x)在区间[0，2]上是减函数，若f (1－m)[解] 因为f (x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上是减函数，所以f (x)在[－2，2]上为减函数．
又f (1－m)即解得－1≤m<．
故实数m的取值范围是．
解有关奇函数f (x)的不等式f (a)＋f (b)<0，先将f (a)＋f (b)<0变形为f (a)<－f (b)＝f (－b)，再利用f (x)的单调性去掉“f ”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．(易漏点)
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f (x)＝f (|x|)＝f (－|x|)将f (g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f ，使不等式得解．
[跟进训练]
3．函数f (x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f (3)A．a>1 B．a<－2
C．a>1或a<－2 D．－1C [因为函数f (x)在实数集上是偶函数，且f (3)1或a<－2．故选C．]
类型4 抽象函数的奇偶性与对称性
【例4】 对于定义在R上的函数f (x)，有下述结论：
①若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称；
②若f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称；
③若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)为偶函数；
④函数f (1＋x)与函数f (1－x)的图象关于直线x＝1对称；
⑤若f (x)＋f (x＋2)＝0，且f (4－x)＝f (x)，则f (x)的图象关于坐标原点对称．
其中正确结论的序号为________．
①③ [∵f (x)为奇函数，
∴f (x)的图象关于原点对称，而f (x－1)的图象是将f (x)的图象向右平移1个单位长度得到的，
∴f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称，故①正确．
令t＝x－1，则由f (x＋1)＝f (x－1)可知，
f (t)＝f (t＋2)，
即f (x)＝f (x＋2)，其图象不一定关于直线x＝1对称．
例如，函数f (x)＝(其中[x]表示不超过x的最大整数)，其图象如图所示，满足f (x＋1)＝f (x－1)，但其图象不关于直线x＝1对称，故②不正确．
若g(x)＝f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f (x)＝f (－x)，∴③正确．
易知函数y＝f (x＋1)的图象与函数y＝f (1－x)的图象关于y轴对称，∴④不正确．
⑤∵f (x)＝－f (x＋2)，
∴－f (x＋2)＝f (x＋4)，
∴f (x)＝f (x＋4)．
又f (4－x)＝f (x)，
∴f (4＋x)＝f (－x)，
∴f (x)＝f (4＋x)＝f (－x)，从而f (x)为偶函数，可知f (x)的图象关于y轴对称，故⑤不正确．]
1．函数f (x)的图象关于直线对称
若函数f (x)对定义域内任一x，都有
(1)f (a－x)＝f (a＋x) y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f (x)＝f (a－x) y＝f (x)的图象关于直线x＝对称．
(3)f (a＋x)＝f (b－x) y＝f (x)的图象关于直线x＝对称．
2．函数f (x)的图象关于点对称
若函数f (x)对定义域内任一x，都有
(1)f (a－x)＝－f (a＋x) y＝f (x)的图象关于点(a，0)对称．
(2)f (x)＝－f (a－x) y＝f (x)的图象关于点对称．
(3)f (a＋x)＝－f (b－x) y＝f (x)的图象关于点对称．
(4)f (a＋x)＋f (a－x)＝2b f (x)的图象关于点(a，b)对称．
[跟进训练]
4．已知定义在R上的函数f (x)满足f (2－x)为奇函数，函数f (x＋3)关于直线x＝1对称，则下列式子一定成立的是( )
A．f (x－2)＝f (x) B．f (x－2)＝f (x＋6)
C．f (x－2)·f (x＋2)＝1 D．f (－x)＋f (x＋1)＝0
B [令F(x)＝f (2－x)，
∵f (2－x)为奇函数，
∴F(－x)＝－F(x)，即f (2＋x)＝－f (2－x)，
∴即f (x)的图象关于点(2，0)对称，
令G(x)＝f (x＋3)，G(x)图象关于直线x＝1对称，
即G(1＋x)＝G(1－x)，即f [(1＋x)＋3]＝f [(1－x)＋3]，f (4＋x)＝f (4－x)，
即f (x)的图象关于直线x＝4对称，
f (x)＝f [4＋(x－4)] ＝f [4－(x－4)]＝f (8－x)，
用x＋6换表达式中的x，可得f (2－x)＝f (x＋6)，
又－f (2＋x)＝f (2－x)，
即－f (2＋x)＝f (x＋6)，
∴－f (x)＝f (x＋4)，用x＋4换表达式中的x，
则－f (x＋4)＝f (x＋8)＝－[－f (x)]＝f (x)，
即f (x)＝f (x＋8)，
∴f (x－2)＝f (x＋6)，故选B．]
1．若奇函数f (x)在[1，3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上( )
A．是减函数，有最小值0
B．是增函数，有最小值0
C．是减函数，有最大值0
D．是增函数，有最大值0
D [因为奇函数f (x)在[1，3]上为增函数，且有最小值0，所以f (x)在[－3，－1]上是增函数，且有最大值0．]
2．f (x)是定义域为R的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f (1－x)>f (1)的x的取值范围是( )
A．(0，2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，2)
A [因为f (x)是定义域为R的偶函数，
所以f (－x)＝f (x)，
又f (x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以f (x)在(－∞，0)上单调递增，
若f (1－x)>f (1)，则|1－x|<1，即－1<1－x<1，故03．已知f (x)是R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x(1＋x)，当x<0时，f (x)＝________．
x(x－1) [当x<0时，－x>0，则f (－x)＝x(1－x)．
又f (x)是R上的奇函数，
所以当x<0时，f (x)＝－f (－x)＝－x(1－x)＝x(x－1)．]
4．函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________．
[1，3] [∵函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1，
由－1≤f (x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．怎样利用函数奇偶性求函数解析式？
[提示] 已知函数f (x)的奇偶性及函数f (x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：①求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上；②把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；③利用f (x)的奇偶性将f (－x)用－f (x)或f (x)表示，从而求出f (x)．
2．具有奇偶性的函数的单调性有怎样的特点？
[提示] (1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
(3)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x1)>f (x2)或f (x1)课时分层作业(二十三) 函数奇偶性的应用
一、选择题
1．已知f (x)为奇函数，其局部图象如图所示，那么( )
A．f (2)＝－2
B．f (2)＝2
C．f (2)<－2
D．f (2)>－2
D [由题图可知f (－2)<2，
因为函数是奇函数，
所以f (－2)＝－f (2)，即－f (2)<2，
所以f (2)>－2．故选D．]
2．已知函数y＝f (x)为奇函数，且当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f (x)的解析式是( )
A．f (x)＝－x2＋2x－3 B．f (x)＝－x2－2x－3
C．f (x)＝x2－2x＋3 D．f (x)＝－x2－2x＋3
B [若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，所以f (－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f (x)是奇函数，所以f (－x)＝x2＋2x＋3＝－f (x)，所以f (x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f (x)＝－x2－2x－3．故选B．]
3．若函数f (x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f (x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
A [因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f (x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．故选A．]
4．(多选)设函数f (x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论不成立的是( )
A．|f (x)|－g(x)是奇函数
B．|f (x)|＋g(x)是偶函数
C．f (x)－|g(x)|是奇函数
D．f (x)＋|g(x)|是偶函数
ABC [根据题意有f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)，所以f (－x)＋|g(－x)|＝f (x)＋|－g(x)|＝f (x)＋|g(x)|，所以f (x)＋|g(x)|是偶函数．同理，易知选项A，B中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C中的函数是偶函数．故选ABC．]
5．已知偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x－1)A． B．
C． D．
A [由题意得|2x－1|< －<2x－1< <2x< 二、填空题
6．函数f (x)在R上为偶函数，且x＞0时，f (x)＝＋1，则当x＜0时，f (x)＝________．
＋1 [∵f (x)为偶函数，x＞0时，f (x)＝＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，f (x)＝f (－x)＝＋1，
即x＜0时，f (x)＝＋1．]
7．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f (－3)＝0，则<0的解集为________．
{x|－33} [∵f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，
∴f (x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴f (3)＝f (－3)＝0．
当x>0时，令f (x)<0，解得x>3；
当x<0时，令f (x)>0，解得－38．已知奇函数g(x)是R上的减函数，且f (x)＝g(x)＋2．若f (m)＋f (m－2)＞4，则实数m的取值范围是________．
(－∞，1) [由题知f (x)＝g(x)＋2，
若f (m)＋f (m－2)＞4，
即g(m)＋2＋g(m－2)＋2＞4，
则有g(m)＞－g(m－2)．
又g(x)为奇函数，且在R上为减函数，则g(m)＞g(2－m)，则m＜2－m，解得m＜1，即m的取值范围为(－∞，1)．]
三、解答题
9．已知函数f (x)＝x2＋2ax－1．
(1)若f (1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f (x)的最小值；
(2)若f (x)为偶函数，求实数a的值；
(3)若f (x)在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
[解] (1)由题意可知，f (1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1，
此时函数f (x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，
故当x＝－1时，函数f (x)min＝－2．
(2)若f (x)为偶函数，则对任意x∈R，
f (－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f (x)＝x2＋2ax－1，化简得，4ax＝0，故a＝0．
(3)函数f (x)＝x2＋2ax－1的单调递减区间是(－∞，－a]，而f (x)在(－∞，4]上单调递减，
所以4≤－a，即a≤－4，
故实数a的取值范围为(－∞，－4]．
10．已知函数y＝f (x)的定义域为R，f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，f (3)＝0，且对任意的x1，x2∈(－∞，0)，x1≠x2，满足<0，则不等式(x－1)f (x＋1)≥0的解集是( )
A．(－∞，1]∪[2，＋∞)
B．[－4，－1]∪[0，1]
C．[－4，－1]∪[1，2]
D．[－4，－1]∪[2，＋∞)
C [由f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，可知f (x)图象关于点(0，0)对称，
即函数f (x)是定义在R上的奇函数，
由<0可知f (x)在(－∞，0)上单调递减，f (3)＝0，所以f (x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f (－3)＝0，f (0)＝0，
所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f (x)>0；
当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f (x)<0，
所以由(x－1)f (x＋1)≥0，可得或或x－1＝0，
解得 －4≤x≤－1或者1≤x≤2，即不等式的解集为[－4，－1]∪[1，2]．故选C．]
11．(多选)已知函数f (x)＝＋|x－2a|，其中a>0，则( )
A．f (x)≥2
B．f (x)图象的对称轴是直线x＝a＋
C．f (x)图象在直线y＝x的上方
D．当f (3)<5时，AC [当x≤－时，f (x)＝－2x－＋2a；
当－当x≥2a时，f (x)＝2x＋－2a，函数图象如图，
当－即f (x)min＝2a＋≥2，当且仅当a＝时取等号，
故f (x)≥2，A正确．
函数对称轴为x＝＝a－，B错误．
当x＝2a时，y＝x＝2a，且a>0，
所以2a＋>2a，
所以f (x)图象在直线y＝x的上方，C正确．
当3<2a时，即a>时，
f (3)＝＋2a<5，解得当3≥2a时，即0解得a>1或a<－，故1综上，112．如果函数g(x)＝是奇函数，则f (x)＝________．
2x＋3 [当x<0时，－x>0，
故g(x)＝－g(－x)＝－(－2x－3)＝2x＋3，
所以f (x)＝2x＋3．]
13．若函数f (x)满足在定义域内存在非零实数x，使得f (－x)＝f (x)，则称函数f (x)为“有偶函数”．若函数f (x)＝是在R上的“有偶函数”，则实数a的取值范围是________．
[因为f (x)为R上的“有偶函数”，故存在非零实数x，使得f (－x)＝f (x)．若x<0，则－x>0，故方程－x－1＝ax2－x有解，即a＝－在(－∞，0)上有解．而y＝－＝－＋，又<0，故y＝－的值域为，即a≤．若x>0，则－x<0，故方程x－1＝ax2＋x有解，即a＝在(0，＋∞)上有解．而y＝＝－＋，又>0，故y＝的值域为，即a≤．综上，实数a的取值范围是．]
14．设函数y＝f (x)(x∈R且x≠0)，对任意实数x1，x2满足f (x1)＋f (x2)＝f (x1x2)．
(1)求f (1)和f (－1)的值；
(2)求证：y＝f (x)为偶函数；
(3)若y＝f (x)在(0，＋∞)上为减函数，试求满足不等式f (2x－1)>f (1)的x的取值范围．
[解] (1)当x1＝x2＝1时，f (1)＋f (1)＝f (1)，
得f (1)＝0，当x1＝x2＝－1时，
f (－1)＋f (－1)＝f (－1×(－1))＝f (1)＝0，
所以2f (－1)＝0，所以f (－1)＝0．
(2)证明：当x2＝－1时，
f (x1)＋f (－1)＝f (－x1)，
又f (－1)＝0，
所以f (x1)＝f (－x1)，
又x∈R且x≠0，f (x)的定义域关于原点对称，
所以f (x)是偶函数．
(3)因为f (x)在(0，＋∞)上为减函数，且f (x)是偶函数，
所以f (x)在(－∞，0)上为增函数，
又f (2x－1)>f (1)，
即0<|2x－1|<1，
解得x∈．
15．给出关于函数f (x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上是减函数；②在(－∞，0)上是增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f (0)＝0．在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面的问题中：
定义在R上的函数f (x)，若满足________(填写你选定条件的序号)，且f (－1)＝0，求不等式f (x－1)>0的解集．
(1)若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；
(2)若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号(不必说明理由)；
(3)求解问题(2)中选定条件下不等式的解集．
[解] (1)若不等式f (x－1)>0的解集为空集，即f (x－1)≤0恒成立．因为f (－1)＝0，所以函数f (x)不可能单调递增或单调递减，所以①，②都不能选．选③④时，f (x)的表达式为f (x)＝0，不等式f (x－1)>0的解集为空集．所以选③④．
(2)若不等式f (x－1)>0的解集是非空集合，可选择条件：①③；①④⑤；②③；②④⑤．
(3)若选择①③．由f (x)是奇函数，所以f (0)＝0，又f (－1)＝0，则f (1)＝0．
又f (x)在(0，＋∞)上是减函数，则f (x)在(－∞，0)上是减函数，因为f (x－1)>0，则x－1<－1或00的解集为(－∞，0)∪(1，2)．
若选择①④⑤．由f (x)是偶函数，及f (－1)＝0，得f (1)＝0．
又f (x)在(0，＋∞)上是减函数，则f (x)在(－∞，0)上是增函数．
由f (x－1)>0，得－10的解集为(0，1)∪(1，2)．
若选择②③．因为f (x)是奇函数，所以f (0)＝0，又f (－1)＝0，则f (1)＝0．又f (x)在(－∞，0)上是增函数，则f (x)在(0，＋∞)上是增函数．由f (x－1)>0，得－11，解得02，所以不等式f (x－1)>0的解集为(0，1)∪(2，＋∞)．
若选择②④⑤．因为f (x)是偶函数，f (－1)＝0，则f (1)＝0．
又f (x)在(－∞，0)上是增函数，则f (x)在(0，＋∞)上是减函数．由f (x－1)>0，得－1解得0所以不等式f (x－1)>0的解集为(0，1)∪(1，2)．
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第2课时 函数奇偶性的应用
第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.3 函数的奇偶性
学习任务 1．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．(逻辑推理)
2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．(数学运算、逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
图①
图②
知识点1 函数的单调性与奇偶性
(1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f (x)在[－b，－a]上为______(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性____．
(2)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f (x)在[－b，－a]上为______(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性____．
增函数
相同
减函数
相反
知识点2 函数f (x)，g(x)在公共定义域上有下列结论
f (x) g(x) f (x)＋g(x) f (x)－g(x) f (x)g(x) f (g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意：f (g(x))中，t＝g(x)与y＝f (t)的定义域可以不同．
1．定义在R上的偶函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，则f (－4)，f (－π)，
f (3)的大小关系为________________________．(用“<”表示)
f (3)＜f (－π)＜f (－4) [∵f (x)是定义在R上的偶函数，
∴f (－π)＝f (π)，f (－4)＝f (4)，
又f (x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π＜4，
∴f (3)＜f (π)＜f (4)，
即f (3)＜f (－π)＜f (－4)．]
f (3)＜f (－π)＜f (－4)
2．已知偶函数f (x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f (x)·g(x)<0的解集是________________________．
(－4，－2)∪(0，2)
(－4，－2)∪(0，2) [设h(x)＝f (x)g(x)，
则h(－x)＝f (－x)g(－x)＝－f (x)g(x)＝－h(x)，
所以h(x)是奇函数，
由图象可知：当－40，g(x)<0，即h(x)<0，
当00，即h(x)<0，
所以h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2)．]
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．
(3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)．
提醒：若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0．
[跟进训练]
1．已知函数f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f (x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝________．
－x－x4 [当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
∴f (－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4，
又∵f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，
∴f (x)＝f (－x)＝－x－x4．]
－x－x4
类型2 利用单调性与奇偶性比较大小
【例2】 已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0，2]上单调递增，则( )
A．f (－1)B．f (4)C．f (3)D．f (－1)√
D [因为f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，
所以f (－4)＝－f (0)．
又f (x)在R上是奇函数，所以f (0)＝0，
故f (－4)＝－f (0)＝0，所以f (4)＝－f (－4)＝0．
由f (x)＝－f (－x)且f (x－4)＝－f (x)，得f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝
f (1)．又f (x)在区间[0，2]上单调递增，所以f (1)>f (0)，即f (1)>0，所以f (3)＝f (1)>0，f (－1)＝－f (1)<0，于是f (－1)反思领悟 比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上：
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
[跟进训练]
2．定义在R上的偶函数f (x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·[f (x2)－f (x1)]>0，则当n∈N+时，有( )
A．f (－n)B．f (n＋1)C．f (n－1)D．f (n＋1)√
B [∵对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f (x2)－f (x1)]
>0，
∴若x2－x1>0，则f (x2)－f (x1)>0，即若x2>x1，则f (x2)>f (x1)，
若x2－x1<0，则f (x2)－f (x1)<0，
即若x2∴函数在(－∞，0]上单调递增．
∵f (x)在R上是偶函数，
∴函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f (－n)＝f (n)．
∵n∈N+，∴n＋1>n>n－1≥0，∴f (n＋1)即f (n＋1)类型3 利用单调性与奇偶性求参数范围
【例3】 已知定义在[－2，2]上的奇函数f (x)在区间[0，2]上是减函数，若f (1－m)反思领悟 解有关奇函数f (x)的不等式f (a)＋f (b)<0，先将f (a)＋
f (b)<0变形为f (a)<－f (b)＝f (－b)，再利用f (x)的单调性去掉“f ”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．(易漏点)
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f (x)＝f (|x|)＝f (－|x|)将f (g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f ，使不等式得解．
C [因为函数f (x)在实数集上是偶函数，且f (3)f (3)1或a<－2．故选C．]
[跟进训练]
3．函数f (x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f (3)A．a>1 B．a<－2
C．a>1或a<－2 D．－1√
类型4 抽象函数的奇偶性与对称性
【例4】 对于定义在R上的函数f (x)，有下述结论：
①若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称；
②若f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称；
③若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)为偶函数；
④函数f (1＋x)与函数f (1－x)的图象关于直线x＝1对称；
⑤若f (x)＋f (x＋2)＝0，且f (4－x)＝f (x)，则f (x)的图象关于坐标原点对称．
其中正确结论的序号为________．
①③
若g(x)＝f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f (x)＝f (－x)，∴③正确．
易知函数y＝f (x＋1)的图象与函数y＝f (1－x)的图象关于y轴对称，∴④不正确．
⑤∵f (x)＝－f (x＋2)，
∴－f (x＋2)＝f (x＋4)，∴f (x)＝f (x＋4)．
又f (4－x)＝f (x)，∴f (4＋x)＝f (－x)，
∴f (x)＝f (4＋x)＝f (－x)，从而f (x)为偶函数，可知f (x)的图象关于y轴对称，故⑤不正确．]
[跟进训练]
4．已知定义在R上的函数f (x)满足f (2－x)为奇函数，函数f (x＋3)关于直线x＝1对称，则下列式子一定成立的是( )
A．f (x－2)＝f (x) B．f (x－2)＝f (x＋6)
C．f (x－2)·f (x＋2)＝1 D．f (－x)＋f (x＋1)＝0
√
B [令F(x)＝f (2－x)，
∵f (2－x)为奇函数，
∴F(－x)＝－F(x)，即f (2＋x)＝－f (2－x)，
∴即f (x)的图象关于点(2，0)对称，
令G(x)＝f (x＋3)，G(x)图象关于直线x＝1对称，
即G(1＋x)＝G(1－x)，即f [(1＋x)＋3]＝f [(1－x)＋3]，f (4＋x)＝f (4－x)，
即f (x)的图象关于直线x＝4对称，
f (x)＝f [4＋(x－4)] ＝f [4－(x－4)]＝f (8－x)，
用x＋6换表达式中的x，可得f (2－x)＝f (x＋6)，
又－f (2＋x)＝f (2－x)，
即－f (2＋x)＝f (x＋6)，
∴－f (x)＝f (x＋4)，用x＋4换表达式中的x，
则－f (x＋4)＝f (x＋8)＝－[－f (x)]＝f (x)，
即f (x)＝f (x＋8)，
∴f (x－2)＝f (x＋6)，故选B．]
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
1．若奇函数f (x)在[1，3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上( )
A．是减函数，有最小值0 B．是增函数，有最小值0
C．是减函数，有最大值0 D．是增函数，有最大值0
√
D [因为奇函数f (x)在[1，3]上为增函数，且有最小值0，所以f (x)在[－3，－1]上是增函数，且有最大值0．]
2
3
题号
4
1
√
A [因为f (x)是定义域为R的偶函数，
所以f (－x)＝f (x)，又f (x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以f (x)在(－∞，0)上单调递增，
若f (1－x)>f (1)，则|1－x|<1，即－1<1－x<1，故02．f (x)是定义域为R的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f (1－x)>f (1)的x的取值范围是( )
A．(0，2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，2)
2
3
题号
4
1
x(x－1) [当x<0时，－x>0，则f (－x)＝x(1－x)．
又f (x)是R上的奇函数，
所以当x<0时，f (x)＝－f (－x)＝－x(1－x)＝x(x－1)．]
3．已知f (x)是R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x(1＋x)，当x<0时，f (x)＝________．
x(x－1)
2
3
题号
4
1
[1，3] [∵函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，
f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1，
由－1≤f (x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3．]
4．函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝
－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________．
[1，3]
[提示] 已知函数f (x)的奇偶性及函数f (x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：①求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上；②把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；③利用f (x)的奇偶性将f (－x)用－f (x)或f (x)表示，从而求出f (x)．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．怎样利用函数奇偶性求函数解析式？
[提示] (1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
(3)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x1)>f (x2)或f (x1)2．具有奇偶性的函数的单调性有怎样的特点？