第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
学习任务 1．掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数． (数学抽象) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法求函数零点近似解的步骤．(数学运算) 3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．(逻辑推理)
某电视台有一个价格竞猜类的节目．节目中主持人给竞猜者展示一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后竞猜者继续猜．怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？
知识点1 函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f (x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即 x0∈(a，b)，f (x0)＝0．
(1)函数零点存在定理必须同时满足：①函数f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)f (b)<0．这两个条件缺一不可．可从函数y＝来理解，易知f (－1)f (1)＝－1×1<0，但显然y＝在[－1，1]内没有零点．
(2)函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，不一定有f (a)f (b)<0．例如：函数f (x)＝|x－1|在区间(0，2)内有1个零点，而f (0)f (2)＝1>0．
(3)注意基本性质中对问题研究不考虑闭区间[a，b]的端点处，而是考虑开区间(a，b)内有无零点问题，若f (a)＝0或f (b)＝0，则a或b也是函数零点，但不是零点性质研究的内容．
利用函数零点存在定理能确定零点个数吗？
[提示] 不能．只能判断零点是否存在，不能确定零点的个数．如图①②，虽然都有f (a)f (b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．
知识点2 求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f (a)f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法．
(1)二分法只能求函数的变号零点(函数图象通过零点时穿过x轴，这样的零点称为变号零点)的近似值．
(2)二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现．
2．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定近似的精确度ε，用二分法求函数f (x)在[a，b]上的零点近似值的步骤是：
第一步 检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．
第二步 计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f ＝0，取x1＝，计算结束；若f ≠0，转到第三步．
第三步 若f (a)f ＜0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有f f (b)＜0，将的值赋给a，回到第一步．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数y＝f (x)在[a，b]上图象连续，且f (a)f (b)＞0，则y＝f (x)在(a，b)内一定没有零点． ( )
(2)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有且只有一个零点，则f (a)f (b)<0． ( )
(3)若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，则f (x)在[a，b]上至多有一个零点． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f (x)＝x3－1
B．f (x)＝2x3＋x－5
C．f (x)＝x2＋2x＋2
D．f (x)＝－x2＋4x－1
C [因为f (x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．]
3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
类型1 判断函数零点个数或所在区间
【例1】 (1)已知函数y＝f (x)的图象是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
则下列说法正确的是( )
A．函数y＝f (x)在区间[1，6]上有3个零点
B．函数y＝f (x)在区间[1，6]上至少有3个零点
C．函数y＝f (x)在区间[1，6]上至多有3个零点
D．函数y＝f (x)在区间[1，2]上无零点
(2)若a
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
(1)B (2)A [(1)由表可知，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0．
由函数零点存在定理知，函数y＝f (x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在一个零点，
所以函数y＝f (x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．虽然f (1)·f (2)>0，但函数y＝f (x)在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点．
(2)因为f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，
所以f (a)＝(a－b)(a－c)，f (b)＝(b－c)(b－a)，f (c)＝(c－a)(c－b)，因为a所以f (a)>0，f (b)<0，f (c)>0，
所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，故 x1∈(a，b)，x2∈(b，c)，f (x1)＝0，f (x2)＝0，
所以f (x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．]
判断函数零点所在区间的3个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数解析式求出相应的函数值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
[跟进训练]
1．(1)函数f (x)＝x3－9的零点所在的一个区间是( )
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
(2)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f (a)f (b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0
B．若f (a)f (b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f (c)＝0
C．若f (a)f (b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0
D．若f (a)f (b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0
(1)D (2)C [(1)因为函数f (x)＝x3－9的图象是连续不断的，
f (2)＝8－9＝－1＜0，f (3)＝27－9＝18＞0，
所以根据函数零点存在定理，
可得函数f (x)＝x3－9的零点所在的一个区间是(2，3)．
(2)对于A选项，可能存在，如y＝x2；
对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．]
类型2 对二分法概念的理解
【例2】 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
A B C D
B [利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]
二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图象是连续的即可．
[跟进训练]
2．(1)(多选)用二分法求如图所示函数f (x)的零点时，能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
(2)用二分法求函数f (x)在区间[0，2]上零点的近似解，若f (0)·f (2)<0，取区间中点x1＝1，计算得f (0)·f (x1)<0，则此时可以判定零点x0∈________(填区间)．
(1)ABD (2)(0，1) [(1)观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．
(2)由二分法的定义，根据f (0)f (2)<0，f (0)·f (x1)<0，x1＝1，故零点所在区间可以为(0，1)．]
类型3 用二分法求函数零点的近似值
【例3】 求函数f (x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确度0.1)．
[解] 由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，
可取区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
a0＝1，b0＝2 f (1)＝－6，f (2)＝4 [1，2]
x0＝＝1.5 f (x0)＝－2.625<0 [1.5，2]
x1＝＝1.75 f (x1)≈0.234 4>0 [1.5，1.75]
x2＝＝1.625 f (x2)≈－1.302 7<0 [1.625，1.75]
x3＝＝1.687 5 f (x3)≈－0.561 8<0 [1.687 5，1.75]
由于|1.75－1.625|＝0.125<0.2，
故可取＝1.687 5作为所求函数的一个正数零点的近似值，故函数f (x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点的近似值为1.687 5．
[母题探究]
(变结论)本例条件不变，请问是否存在负数零点？若存在，请求出一个负数零点．
[解] 由于f (－2)＝(－2)3＋2×(－2)2－3×(－2)－6＝0，
所以函数f (x)＝x3＋2x2－3x－6的一个负数零点是－2．
利用二分法求函数零点的关注点
(1)要选好计算的初始区间，这个区间要包含函数的零点，其长度要尽量小．
(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．
(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．
[跟进训练]
3．求函数f (x)＝x2－5的负零点(精确度为0.1)．
[解] 由于f (－2)＝－1<0，f (－3)＝4>0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(－3，－2) －2.5 1.25
(－2.5，－2) －2.25 0.062 5
(－2.25，－2) －2.125 －0.484 4
(－2.25，－2.125) －2.187 5 －0.214 8
由于|－2.25－(－2.125)|＝0.125<0.2，
所以函数的一个近似负零点可取＝－2.187 5．
类型4 一元二次方程根的分布问题
【例4】 已知关于x的方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为( )
A．(－4，－2) B．(－3，－2)
C．(－4，0) D．(－3，1)
A [设函数f (x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，则由题意可画出函数f (x)的草图如图所示，
由图可得解得－4＜m＜－2．
故实数m的取值范围为(－4，－2)．]
解一元二次方程根的分布问题一般从4个方面考虑
(1)抛物线开口方向．
(2)一元二次方程根的判别式．
(3)对应区间端点函数值的符号．
(4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
[跟进训练]
4．关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有实数解，求实数m的取值范围．
[解] 设f (x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]，
①若f (x)＝0在区间[0，2]上有一个实数解，
∵f (0)＝1＞0，
∴f (2)＜0或
又f (2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m＜－．
②若f (x)＝0在区间[0，2]上有两个实数解，
则即
∴∴－≤m≤－1．
综上，实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上( )
A．没有零点 B．有一个零点
C．有两个零点 D．有无数个零点
B [令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3，5]上有一个零点．故选B．]
2．已知函数f (x)＝3ax－1－2a在区间(－1，1)上存在零点，则( )
A．＜a＜1 B．a＞
C．a＜－或a＞1 D．a＜－
C [∵f (x)＝3ax－1－2a在区间(－1，1)上单调且存在零点，
∴f (－1)·f (1)＝(－3a－1－2a)·(3a－1－2a)
＝(－5a－1)·(a－1)＜0，
∴a＞1或a＜－．故选C．]
3．用二分法求方程的近似解，求得f (x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f (x) －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为( )
A．1.6 B．1.7
C．1.8 D．1.9
C [∵f (1.75)·f (1.812 5)<0，
∴方程x3＋2x－9＝0的近似解为x≈＝1.781 25≈1.8，故选C．]
4．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1，0)内有实数根；
③在(1，2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根．
其中正确的有________．(填序号)
①②③ [(法一)设f (x)＝x3＋x2－2x－1，
则f (－2)＝－1<0，f (－1)＝1＞0，f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7＞0，
所以f (－2)·f (－1)<0，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，
所以 x1∈(－2，－1)，x2∈(－1，0)，x3∈(1，2)，f (x1)＝0，f (x2)＝0，f (x3)＝0．
则f (x)在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点，即①②③正确．
(法二)因为x＝0不是方程x3＋x2－2x－1＝0的根，
所以原方程可化为x2＋x－2－＝0，
即x2＋x－2＝．
令f (x)＝x2＋x－2，g(x)＝，
所以原方程的根即为f (x)与g(x)图象交点的横坐标，其图象如图．
由图象知①②③正确．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断函数是否存在零点有哪些方法？
[提示] (1)方程法：若方程f (x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2)图象法：由f (x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
2．根据函数零点个数求参数值(范围)有哪些方法？
[提示] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
3．用二分法求函数零点的近似值应遵循怎样的原则？
[提示] (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f (c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
4．二分法求函数零点需满足什么条件？
[提示] 并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上的图象连续不断．
(2)f (a)·f (b)<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
课时分层作业(二十五) 零点的存在性及其近似值的求法
一、选择题
1．用二分法求函数f (x)＝－x3－3x＋5的零点取的初始区间可以是( )
A．(－2，0) B．(－2，1)
C．(0，1) D．(1，2)
D [由函数f (x)＝－x3－3x＋5的图象连续不断，
且f (－2)＝19，f (0)＝5，f (1)＝1，f (2)＝－9，故f (1)·f (2)<0，
故函数f (x)＝－x3－3x＋5的零点可以取的初始区间是(1，2)，故选D．]
2．若函数f (x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．0
C．1 D．3
A [f (x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0．故f (x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合．]
3．已知f (x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是( )
A．9 B．8
C．7 D．6
A [f (x)＝x2＋6x＋c有零点，
但不能用二分法求出，
则x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，
则Δ＝36－4c＝0，解得c＝9．]
4．若函数f (x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1，1) D．[0，1)
B [由题意知f (0)·f (1)＜0，
即 (－1)·(2a－2)＜0，
∴a＞1．故选B．]
5．若函数f (x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625
f (1.25)≈－0.984 f (1.375)≈－0.260
f (1.437 5)≈0.162 f (1.406 25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为( )
A．1.5 B．1.25
C．1.375 D．1.406 25
D [由参考数据知，f (1.375)≈－0.260，f (1.437 5)≈0.162，即f (1.375)·f (1.437 5)<0，且|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.08，所以方程的一个近似解可取为＝1.406 25，故选D．]
二、填空题
6．用“二分法”求方程x3＋x－4＝0在区间(1，2)内的实根，首先取区间中点x＝1.5进行判断，那么下一个取的点是x＝ ________．
1.25 [设函数f (x)＝x3＋x－4，易知函数为增函数，
∵f (1)＝－2<0，f (2)＝6>0，
f (1.5)＝1.53＋1.5－4＝0.875>0，
∴下一个有根区间是(1，1.5)，
那么下一个取的点是x＝＝1.25．]
7．已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
3 0 [因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，
所以f (0)＝0．
又因为f (－2)＝0，
所以f (2)＝－f (－2)＝0，
故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0．]
8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
4 [将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．]
三、解答题
9．求证：函数f (x)＝x3＋x2＋1在区间[－2，－1]上存在零点．
[证明] 因为f (－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0，
f (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0，
所以f (－2)·f (－1)＜0．
又函数f (x)的图象在区间[－2，－1]上是连续不间断的，所以函数f (x)在区间[－2，－1]上存在零点．
10．已知函数f (x)＝若方程f (x)－2x＝0恰有三个不同的实根，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，1) B．[－1，2)
C．[－2，2) D．[0，2]
B [令g(x)＝f (x)－2x，则由题意可得函数g(x)＝恰有三个零点．如图，作出函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象，结合函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象可知，当－1≤a<2时，函数g(x)有三个零点，故选B．
]
11．已知函数f (x)＝|x－1|·(x＋1)，若关于x的方程f (x)＝k有两个不同的实数解，则实数k的值为( )
A．－1 B．1
C．0和－1 D．0和1
D [f (x)＝
关于x的方程f (x)＝k有两个不同的实数解，则y＝f (x)，y＝k的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出y＝f (x)，y＝k的图象如图：
且f (0)＝1，f (1)＝0，由图象可知，
当k＝0或k＝1时，
y＝f (x)与y＝k的图象有两个不同的交点，
所以k＝0或k＝1．]
12．设f (x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f (x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f (x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f (x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围是________．
[由题意可得函数y＝f (x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点，函数图象的对称轴为直线x＝，函数的最小值为－－m．
当x＝0时，y＝4－m，
当x＝3时，y＝－2－m<4－m，
所以解得－13．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．
2 [∵a>0，∴a2＋1>1．y＝|x2－2x|和y＝a2＋1的图象如图所示，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1(a>0)的图象总有2个交点．即方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)有两解．]
14．已知函数f (x)＝2x3－x2－3x＋1．
(1)求证：f (x)在区间(1，2)上存在零点；
(2)若f (x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f (x)＝0的一个近似解(精确度为0.1)．
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75
f (x)的 近似值 －1 1 －0.406 25 0.183 59 －0.138 18 0.015 81
[解] (1)证明：因为f (x)＝2x3－x2－3x＋1，
所以f (1)＝－1<0，f (2)＝7＞0，
所以f (1)·f (2)＝－7<0，
且f (x)＝2x3－x2－3x＋1在(1，2)内连续，
因此 x0∈(1，2)，f (x0)＝0，
所以f (x)在区间(1，2)上存在零点．
(2)由(1)知，f (x)＝2x3－x2－3x＋1在(1，2)内存在零点，
由表知，f (1)＝－1，f (1.5)＝1，
所以f (1)·f (1.5)<0，
所以f (x)的零点在(1，1.5)内，
因为f (1.25)＝－0.406 25，
所以f (1.25)·f (1.5)<0，
所以f (x)的零点在(1.25，1.5)内，
因为f (1.375)＝0.183 59，
所以f (1.25)·f (1.375)<0，
所以f (x)的零点在(1.25，1.375)内，
因为1.375－1.25＝0.125<0.2，
故f (x)＝0的一个近似解为＝1.312 5．
15．已知二次函数f (x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内．
[解] (1)f (x)的零点均大于1，则由f (x)图象知，
解得2≤a<，
即a的取值范围为．
(2)f (x)一个零点大于1，一个零点小于1，
则由f (x)图象可知，f (1)<0，即5－2a<0，
解得a>，
即a的取值范围为．
(3)f (x)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)，则由f (x)图象可知，
解得即a的取值范围为．
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第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
第三章 函数
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
学习任务 1．掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数．(数学抽象)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法求函数零点近似解的步骤．(数学运算)
3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．(逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
某电视台有一个价格竞猜类的节目．节目中主持人给竞猜者展示一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后竞猜者继续猜．怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？
知识点1 函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是_______________的，并且
____________(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f (x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即 x0∈(a，b)，f (x0)＝0．
连续不断
f (a)f (b)＜0
思考 利用函数零点存在定理能确定零点个数吗？
[提示] 不能．只能判断零点是否存在，不能确定零点的个数．如图①②，虽然都有f (a)f (b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．
知识点2 求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且___________的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到__________的方法称为二分法．
f (a)f (b)＜0
一分为二
零点近似值
提醒 (1)二分法只能求函数的变号零点(函数图象通过零点时穿过x轴，这样的零点称为变号零点)的近似值．
(2)二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现．
b
a
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数y＝f (x)在[a，b]上图象连续，且f (a)f (b)＞0，则y＝f (x)在(a，b)内一定没有零点． ( )
(2)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有且只有一个零点，则f (a)f (b)<0．
( )
(3)若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，则f (x)在[a，b]上至多有一个零点． ( )
×
√
×
√
3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
√
关键能力·合作探究释疑难
类型1 判断函数零点个数或所在区间
【例1】 (1)已知函数y＝f (x)的图象是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
则下列说法正确的是( )
A．函数y＝f (x)在区间[1，6]上有3个零点
B．函数y＝f (x)在区间[1，6]上至少有3个零点
C．函数y＝f (x)在区间[1，6]上至多有3个零点
D．函数y＝f (x)在区间[1，2]上无零点
√
(2)若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
√
(1)B (2)A [(1)由表可知，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·
f (5)<0．
由函数零点存在定理知，函数y＝f (x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在一个零点，
所以函数y＝f (x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．虽然f (1)·f (2)
>0，但函数y＝f (x)在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点．
(2)因为f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，
所以f (a)＝(a－b)(a－c)，f (b)＝(b－c)(b－a)，f (c)＝(c－a)(c－b)，因为a所以f (a)>0，f (b)<0，f (c)>0，
所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，故 x1∈(a，b)，x2∈(b，c)，f (x1)＝0，f (x2)＝0，
所以f (x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．]
发现规律 判断函数零点所在区间的3个步骤
(1)代入：将__________代入函数解析式求出相应的函数值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行____判断．
(3)结论：若符号为__且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为__且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
区间端点值
符号
正
负
[跟进训练]
1．(1)函数f (x)＝x3－9的零点所在的一个区间是( )
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
(2)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f (a)f (b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0
B．若f (a)f (b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f (c)＝0
C．若f (a)f (b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0
D．若f (a)f (b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0
√
√
(1)D (2)C [(1)因为函数f (x)＝x3－9的图象是连续不断的，
f (2)＝8－9＝－1＜0，f (3)＝27－9＝18＞0，
所以根据函数零点存在定理，
可得函数f (x)＝x3－9的零点所在的一个区间是(2，3)．
(2)对于A选项，可能存在，如y＝x2；
对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．]
B [利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]
类型2 对二分法概念的理解
【例2】 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
A B C D
√
反思领悟 二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图象是连续的即可．
[跟进训练]
2．(1)(多选)用二分法求如图所示函数f (x)的零点时，能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
(2)用二分法求函数f (x)在区间[0，2]上零点的近似解，若f (0)·f (2)<0，取区间中点x1＝1，计算得f (0)·f (x1)<0，则此时可以判定零点x0∈________(填区间)．
√
√
√
(0，1)
(1)ABD (2)(0，1) [(1)观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．
(2)由二分法的定义，根据f (0)f (2)<0，f (0)·f (x1)<0，x1＝1，故零点所在区间可以为(0，1)．]
类型3 用二分法求函数零点的近似值
【例3】 求函数f (x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确度0.1)．
[解] 由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，
可取区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
a0＝1，b0＝2 f (1)＝－6，f (2)＝4 [1，2]
f (x0)＝－2.625<0 [1.5，2]
f (x1)≈0.234 4>0 [1.5，1.75]
f (x2)≈－1.302 7<0 [1.625，1.75]
f (x3)≈－0.561 8<0 [1.687 5，1.75]
[母题探究]
(变结论)本例条件不变，请问是否存在负数零点？若存在，请求出一个负数零点．
[解] 由于f (－2)＝(－2)3＋2×(－2)2－3×(－2)－6＝0，
所以函数f (x)＝x3＋2x2－3x－6的一个负数零点是－2．
反思领悟 利用二分法求函数零点的关注点
(1)要选好计算的初始区间，这个区间要包含函数的零点，其长度要尽量小．
(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．
(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．
[跟进训练]
3．求函数f (x)＝x2－5的负零点(精确度为0.1)．
区间 中点的值 中点函数近似值
(－3，－2) －2.5 1.25
(－2.5，－2) －2.25 0.062 5
(－2.25，－2) －2.125 －0.484 4
(－2.25，－2.125) －2.187 5 －0.214 8
类型4 一元二次方程根的分布问题
【例4】 已知关于x的方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为( )
A．(－4，－2) B．(－3，－2)
C．(－4，0) D．(－3，1)
√
反思领悟 解一元二次方程根的分布问题一般从4个方面考虑
(1)抛物线开口方向．
(2)一元二次方程根的判别式．
(3)对应区间端点函数值的符号．
(4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
[跟进训练]
4．关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有实数解，求实数m的取值范围．
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上( )
A．没有零点 B．有一个零点
C．有两个零点 D．有无数个零点
√
B [令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3，5]上有一个零点．故选B．]
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
3．用二分法求方程的近似解，求得f (x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：
则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为( )
A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f (x) －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3
√
2
3
题号
4
1
4．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1，0)内有实数根；
③在(1，2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根．
其中正确的有________．(填序号)
①②③
2
3
题号
4
1
①②③ [(法一)设f (x)＝x3＋x2－2x－1，
则f (－2)＝－1<0，f (－1)＝1＞0，f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，
f (2)＝7＞0，
所以f (－2)·f (－1)<0，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，
所以 x1∈(－2，－1)，x2∈(－1，0)，x3∈(1，2)，f (x1)＝0，f (x2)＝0，f (x3)＝0．
则f (x)在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点，即①②③正确．
2
3
题号
4
1
[提示] (1)方程法：若方程f (x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2)图象法：由f (x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断函数是否存在零点有哪些方法？
[提示] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
2．根据函数零点个数求参数值(范围)有哪些方法？
[提示] (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f (c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
3．用二分法求函数零点的近似值应遵循怎样的原则？
[提示] 并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上的图象连续不断．
(2)f (a)·f (b)<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
4．二分法求函数零点需满足什么条件？