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第2课时 集合的表示方法
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
学习任务 1．能选择列举法或描述法表示不同的集合，感受集合语言的意义和作用．(直观想象、数学运算)
2．掌握区间的概念及表示方法．(数学抽象)
必备知识·情境导学探新知
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐”，英文为“Happy Birthday”……
问题 对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
知识点1 集合的表示方法
1．列举法
把集合中的元素________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．
提醒 (1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何研究对象．
一一列举
思考 1．一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？
[提示] 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．
例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
2．描述法
一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为________．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
{x|p(x)}
思考 2．观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函数y＝x2－1的图象上的所有点．
问题1：这两个集合能用列举法表示吗？
[提示] 不能．
[提示] 利用描述法．(1)中的解集可表示为{x|x－2≥3}，(2)中的集合可表示为{(x，y)|y＝x2－1}．
问题2：如何表示这两个集合？
知识点2 区间及其表示
1．设a，b是两个实数，且a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 __________
{x|a{x|a≤x{x|a[a，b]
(a，b)
[a，b)
2．实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如：
符号 ________ (a，＋∞) (－∞，a] _________
集合 {x|x≥a} _______ {x|x≤a} {x|x[a，+∞)
(－∞，a)
{x|x>a}
提醒 (1)用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示．
(2)“∞”是一个符号，而不是一个数．
(3)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．
( )
[提示] 集合中的元素是互异的．
[提示] 集合{(1，2)}中的元素是(1，2)．
×
×
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2． ( )
2．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________________，用描述法表示为________________．
{0，1，2，3，4} {x∈N|－1{0，1，2，3，4}
{x∈N|－13．用区间表示下列集合：
(1){x|－1≤x≤2}：________；
(2){x|1(3){x|x>2}：_____________；
(4){x|x≤－2}：_____________．
[－1，2]
(1，3]
(2，＋∞)
(－∞，－2]
关键能力·合作探究释疑难
类型1 用列举法表示集合
【例1】 (1)若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)用列举法表示下列集合：
①方程x2－1＝0的解构成的集合；
②由单词“book”的字母构成的集合；
③直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合
√
发现规律 用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的____．
(2)把元素一一列举出来，且____元素只能列举一次．
(3)用______括起来．
大括号
元素
相同
[跟进训练]
1．(1)设集合M＝{(1，2)}，则下列关系式成立的是( )
A．1∈M B．2∈M
C．(1，2)∈M D．(2，1)∈M
(2)已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a为( )
A．±2或4 B．2
C．－2 D．4
√
√
(1)C (2)C [(1)集合M中只有一个元素(1，2)，所以(1，2)∈M．
(2)由题意，A＝{a，|a|，a－2}且2∈A，则集合A中的三个元素都可以是2．
当a＝2时，此时集合A＝{2，2，0}不满足集合中元素的互异性，舍去．
当|a|＝2时，解得a＝±2，当a＝2时，此时集合A＝{2，2，0}不成立，舍去；
当a＝－2时，此时集合A＝{－2，2，－4}满足题意．
当a－2＝2时，即a＝4，此时集合A＝{4，4，2}不成立，舍去．
综上可知a＝－2，故选C．]
类型2 用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有有理数组成的集合A；
(2)所有奇数组成的集合B；
(3)平面α内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C．
[解] (1)设x∈A，则x∈Q，且使x<10成立．因此，用描述法可以表示为A＝{x∈Q|x<10}．
(2)设x∈B，则x是一个奇数．因此，用描述法可以表示为B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}．
(3)设M∈C，则M∈α，M到α内的定点O的距离等于定长r．因此，用描述法可以表示为C＝{M∈α|O为α内的定点，r为定值，且M到O的距离等于r}．
反思领悟 1．描述法表示集合的两个步骤
2．选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
[解] (1)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(2)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
[跟进训练]
2．用描述法表示下列集合：
(1)被3除余2的正整数的集合；
(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
[解] (1){x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：
(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：
(3){x|－1≤x<5}用区间表示为[－1，5)，用数轴表示如下：
类型3 区间及其表示
【例3】 将下列集合用区间及数轴表示出来：
(1){x|x<2}；(2){x|x≥3}；(3){x|－1≤x<5}．
反思领悟 用区间表示数集的原则和方法
(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②区间符号内的两个数字(或字母)左小右大；③区间的开闭不能弄错．
(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，实心点表示包括区间端点，空心点表示不包括区间端点．
[跟进训练]
3．(1)若区间(5，a)的长度是12，则实数a的值是________．
(2)若集合M是一个数集，且可应用区间(a，3a－1)表示，则实数a的取值范围用区间表示为_________．
17
√
[母题探究]
(变条件)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，求a的取值范围．
[解] A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题解析可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0，所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为(－∞，1]．
反思领悟 集合与方程的综合问题的解题思路
(1)弄清方程与集合的关系，当用集合表示方程的解集时，集合中的元素就是方程的解．
(2)当方程中含有参数时，往往要根据方程解的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性．
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
1．使不等式x>2成立的实数x的集合可表示为( )
A．{x>2} B．{x>2|x∈R}
C．{3，4，5，…} D．{x∈R|x>2}
√
D [使不等式x>2成立的实数x的集合表示为{x∈R|x>2}．]
2
3
题号
4
1
√
C [x∈A表示x的取值为1，2，3，4，对应的y值分别是1，4，7，10，故选C．]
2．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则集合B＝( )
A．{3，6，9，12} B．{1，2，3，4}
C．{1，4，7，10} D．{－2，1，4，7}
2
3
题号
4
1
D [由集合描述法的定义可知，该集合表示函数y＝3x＋1的图象上的所有点组成的集合．]
3．集合{(x，y)|y＝3x＋1}表示( )
A．方程y＝3x＋1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中所有的点组成的集合
D．函数y＝3x＋1的图象上的所有点组成的集合
√
2
3
题号
4
1
4．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝___________；
(2){x|2[1，＋∞)
(2，4]
[提示] (1) 是不含任何元素的集合．
(2){0}是含有一个元素的集合．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1． 与{0}有什么区别？
[提示] (1)元素间用分隔号“，”．
(2)元素不重复．(3)元素无顺序．
(4)列举法可以表示有限集，也可以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示，如正整数集可表示为{1，2，3，4，…}．
2．在用列举法表示集合时应注意什么问题？
[提示] (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、有序实数对(点)，还是集合或其他形式．
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．
3．在用描述法表示集合时应注意什么问题？
[提示] (1)一般地，区间的左端点的值小于右端点的值．
(2)区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“，”隔开．
(3)左、右端点a，b都能取到的叫闭区间，左、右端点a，b有一端能取到、另一端不能取到的叫半开半闭区间，左、右端点a，b都不能取到的叫开区间．
(4)端点都是实数的开区间的记号与平面直角坐标系中的点的记号是完全相同的，可借助上下文来推断记号表示的到底是区间还是点的坐标．
4．在用区间表示数集时需要注意什么问题？第2课时 集合的表示方法
学习任务 1．能选择列举法或描述法表示不同的集合，感受集合语言的意义和作用．(直观想象、数学运算) 2．掌握区间的概念及表示方法．(数学抽象)
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐”，英文为“Happy Birthday”……
问题 对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
知识点1 集合的表示方法
1．列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何研究对象．
1．一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？
[提示] 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．
例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
2．描述法
一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
2．观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函数y＝x2－1的图象上的所有点．
问题1：这两个集合能用列举法表示吗？
[提示] 不能．
问题2：如何表示这两个集合？
[提示] 利用描述法．(1)中的解集可表示为{x|x－2≥3}，(2)中的集合可表示为{(x，y)|y＝x2－1}．
知识点2 区间及其表示
1．设a，b是两个实数，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2．实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如：
符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
集合 {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x(1)用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示．
(2)“∞”是一个符号，而不是一个数．
(3)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}． ( )
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2． ( )
[答案] (1)× (2)×
[提示] (1)集合中的元素是互异的．
(2)集合{(1，2)}中的元素是(1，2)．
2．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
{0，1，2，3，4} {x∈N|－13．用区间表示下列集合：
(1){x|－1≤x≤2}：________；
(2){x|1(3){x|x>2}：________；
(4){x|x≤－2}：________．
[答案] (1)[－1，2] (2)(1，3] (3)(2，＋∞) (4)(－∞，－2]
类型1 用列举法表示集合
【例1】 (1)若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)用列举法表示下列集合：
①方程x2－1＝0的解构成的集合；
②由单词“book”的字母构成的集合；
③直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．
(1)B [集合A＝{(1，2)，(3，4)}中有两个元素(1，2)和(3，4)．故选B．]
(2)[解] ①方程x2－1＝0的解为－1，1，所求集合为{－1，1}．
②单词“book”有三个互不相同的字母，分别为“b”“o”“k”，所求集合为{b，o，k}．
③方程组的解是
所求集合为{(1，1)}．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用大括号括起来．
[跟进训练]
1．(1)设集合M＝{(1，2)}，则下列关系式成立的是( )
A．1∈M B．2∈M
C．(1，2)∈M D．(2，1)∈M
(2)已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a为( )
A．±2或4 B．2
C．－2 D．4
(1)C (2)C [(1)集合M中只有一个元素(1，2)，所以(1，2)∈M．
(2)由题意，A＝{a，|a|，a－2}且2∈A，则集合A中的三个元素都可以是2．
当a＝2时，此时集合A＝{2，2，0}不满足集合中元素的互异性，舍去．
当|a|＝2时，解得a＝±2，当a＝2时，此时集合A＝{2，2，0}不成立，舍去；
当a＝－2时，此时集合A＝{－2，2，－4}满足题意．
当a－2＝2时，即a＝4，此时集合A＝{4，4，2}不成立，舍去．
综上可知a＝－2，故选C．]
类型2 用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有有理数组成的集合A；
(2)所有奇数组成的集合B；
(3)平面α内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C．
[解] (1)设x∈A，则x∈Q，且使x<10成立．因此，用描述法可以表示为A＝{x∈Q|x<10}．
(2)设x∈B，则x是一个奇数．因此，用描述法可以表示为B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}．
(3)设M∈C，则M∈α，M到α内的定点O的距离等于定长r．因此，用描述法可以表示为C＝{M∈α|O为α内的定点，r为定值，且M到O的距离等于r}．
1．描述法表示集合的两个步骤
2．选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
[跟进训练]
2．用描述法表示下列集合：
(1)被3除余2的正整数的集合；
(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
[解] (1)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(2)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
类型3 区间及其表示
【例3】 将下列集合用区间及数轴表示出来：
(1){x|x<2}；
(2){x|x≥3}；
(3){x|－1≤x<5}．
[解] (1){x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：
(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：
(3){x|－1≤x<5}用区间表示为[－1，5)，用数轴表示如下：
用区间表示数集的原则和方法
(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②区间符号内的两个数字(或字母)左小右大；③区间的开闭不能弄错．
(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，实心点表示包括区间端点，空心点表示不包括区间端点．
[跟进训练]
3．(1)若区间(5，a)的长度是12，则实数a的值是________．
(2)若集合M是一个数集，且可应用区间(a，3a－1)表示，则实数a的取值范围用区间表示为________．
(1)17 (2) [(1)由区间长度的定义可知a－5＝12，即a＝17．
(2)由题意可知满足区间(a，3a－1)的实数a应满足3a－1>a，即a>，故实数a的取值范围用区间表示为．]
类型4 集合与方程的综合问题
【例4】 (1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝( )
A．1 B．2
C．0 D．0或1
(2)设∈，则集合中所有元素之积为________．
(1)D (2) [(1)当a＝0时，
原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)因为∈，
所以－a－＝0，
解得a＝－．
当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝－4×＝>0．由x2－x＋＝0，解得x1＝，x2＝9，
所以＝，
故集合的所有元素的积为×9＝．]
[母题探究]
(变条件)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，求a的取值范围．
[解] A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题解析可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0，所以A中至少有一个元素时，a的取值范围为(－∞，1]．
集合与方程的综合问题的解题思路
(1)弄清方程与集合的关系，当用集合表示方程的解集时，集合中的元素就是方程的解．
(2)当方程中含有参数时，往往要根据方程解的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性．
[跟进训练]
4．已知集合A＝，则A＝________．(用列举法表示)
[＝1即
当x2－x－(1＋a)＝0有两个相等的实数解时，Δ＝1＋4(1＋a)＝0，解得a＝－，此时x＝，符合题意．
当x2－x－(1＋a)＝0有两个不相等的实数解时，Δ>0，解得a>－．当x＝1为＝1的一个增根时，将x＝1代入x2－x－(1＋a)＝0得a＝－1，符合题意；当x＝－1为＝1的一个增根时，将x＝－1代入x2－x－(1＋a)＝0得a＝1，符合题意．
综上所述，A＝．]
1．使不等式x>2成立的实数x的集合可表示为( )
A．{x>2} B．{x>2|x∈R}
C．{3，4，5，…} D．{x∈R|x>2}
D [使不等式x>2成立的实数x的集合表示为{x∈R|x>2}．]
2．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则集合B＝( )
A．{3，6，9，12} B．{1，2，3，4}
C．{1，4，7，10} D．{－2，1，4，7}
C [x∈A表示x的取值为1，2，3，4，对应的y值分别是1，4，7，10，故选C．]
3．集合{(x，y)|y＝3x＋1}表示( )
A．方程y＝3x＋1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中所有的点组成的集合
D．函数y＝3x＋1的图象上的所有点组成的集合
D [由集合描述法的定义可知，该集合表示函数y＝3x＋1的图象上的所有点组成的集合．]
4．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2，4]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1． 与{0}有什么区别？
[提示] (1) 是不含任何元素的集合．
(2){0}是含有一个元素的集合．
2．在用列举法表示集合时应注意什么问题？
[提示] (1)元素间用分隔号“，”．
(2)元素不重复．
(3)元素无顺序．
(4)列举法可以表示有限集，也可以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示，如正整数集可表示为{1，2，3，4，…}．
3．在用描述法表示集合时应注意什么问题？
[提示] (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、有序实数对(点)，还是集合或其他形式．
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．
4．在用区间表示数集时需要注意什么问题？
[提示] (1)一般地，区间的左端点的值小于右端点的值．
(2)区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“，”隔开．
(3)左、右端点a，b都能取到的叫闭区间，左、右端点a，b有一端能取到、另一端不能取到的叫半开半闭区间，左、右端点a，b都不能取到的叫开区间．
(4)端点都是实数的开区间的记号与平面直角坐标系中的点的记号是完全相同的，可借助上下文来推断记号表示的到底是区间还是点的坐标．
课时分层作业(二) 集合的表示方法
一、选择题
1．下列集合的表示中正确的是( )
A．{1，2，2}
B．R＝{全体实数}
C．{3，5}
D．不等式x－5>0的解集为{x－5>0}
C [A不正确，集合中的元素需满足互异性；
B不正确，大括号“{ }”本身就有“全体”的意思；C正确；
D不正确，不等式x－5>0的解集为{x|x－5>0}．]
2．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是( )
A．0∈A B．1 A
C．－1∈A D．0 A
A [∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，∴0∈A．]
3．集合用描述法可表示为( )
A．
B．
C．
D．
D [由3，，即，从中发现规律，x＝，n∈N*，故可用描述法表示为．]
4．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}是空集，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
A [若A是空集，则关于x的方程ax2－3x＋2＝0无解，此时a≠0，且Δ＝9－8a<0，
所以a>，即实数a的取值范围是．]
5．(多选)方程组的解集可以表示为( )
A．
B．
C．{1，2}
D．{(x，y)|x＝1，y＝2}
ABD [原方程组的解为
其解集中只含有一个元素，可表示为A、B、D．
故选ABD．]
二、填空题
6．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为________．
9 [由x2＋y2≤3，知－≤x≤，－≤y≤．又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，所以A中元素的个数为9．]
7．若区间M＝(－2，a)的长度是6，区间N＝[－2，10]的长度是b，则集合S＝{x|ax－b>0}用区间表示为________．
(3，＋∞) [由区间M＝(－2，a)的长度是6，可知a＝4，区间N＝[－2，10]的长度是b，可知b＝12，因此4x－12>0，解得x>3．]
8．设集合M＝{1，3，6，9，12，15}，集合N满足：①有两个元素；②若x∈N，则x＋3∈M且x－3∈M，则满足条件的集合N可以是________．
{6，9}，{9，12}，{6，12} [由得x∈M．
结合已知条件可得满足条件的集合N可以是{6，9}，{9，12}，{6，12}．]
三、解答题
9．下列三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
[解] (1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R．
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的实数对，
可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象．
10．(多选)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，则( )
A．2 026∈[1]
B．－13∈[3]
C．若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]
D．若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”
ACD [2 026＝5×405＋1，故A正确；－13＝5×(－3)＋2，故B错误；设a＝5n＋k，n∈Z，b＝5m＋k，m∈Z，则a－b＝5(n－m)能被5整除，所以a－b∈[0]，故C正确；若a－b∈[0]，整数a，b被5除所得余数必相同，故D正确．]
11．(多选)非空集合A具有下列性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A．下列判断一定成立的是( )
A．－1 A
B．∈A
C．若x，y∈A，则xy∈A
D．若x，y∈A，则x－y A
ABC [对于A，若－1∈A，则＝1∈A，因此－1＋1＝0∈A；而对于x＝－1∈A，y＝0∈A时，显然无意义，不满足∈A，∴－1 A，故A正确．对于B，若x≠0，x∈A，则1＝∈A，∴2＝1＋1∈A，3＝2＋1∈A，依此类推可得，对任意n∈N*，有n∈A，∴20∈A，21∈A，∴∈A，故B正确．对于C，若x，y∈A，则x≠0且y≠0，由B可知1∈A，则∈A，∴xy＝∈A，故C正确．对于D，由B得1，2∈A，取x＝2，y＝1，则x－y＝1∈A，故D错误．]
12．规定 与 是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数a，b有：a b＝ab，a b＝b(a2＋b2＋1)．若－2 [由题意得，A＝，
因为－2所以当a＝－1时，b＝1，此时x＝－；
当a＝0时，b＝1，此时x＝1，
所以集合A＝．]
13．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋1}，当A＝{2}时，则集合B＝________．
{3－，3＋} [当A＝{2}时，方程x2＋px＋q＝x有两个相等的实根，为2，
所以解得
所以B＝{x|(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1}．
由(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1得x＝3±，
所以B＝{3－，3＋}．]
14．(1)已知2∈{x|(x－a)(x－a＋1)＝0}，求实数a的值；
(2)已知集合A＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值．
[解] (1)易知{x|(x－a)(x－a＋1)＝0}＝{a，a－1}．
当a＝2时，a－1＝1，则{a，a－1}＝{2，1}，符合题意；
当a－1＝2时，a＝3，则{a，a－1}＝{3，2}，符合题意．
综上可知，a＝2或a＝3．
(2)显然a2＋1≠－3．
当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{－3，－1，1}，满足题意；
当2a－1＝－3时，a＝－1，此时A＝{－4，－3，2}，满足题意．
故实数a的值为0或－1．
15．已知A＝{x|x＝a＋b，a∈Z，b∈Z}．
(1)试写出集合A的五个元素；
(2)判断下列元素是否属于A：0，－，3；
(3)若x∈A，y∈A，试判断x＋y，xy与A的关系．
[解] (1)当a＝1，b＝0时，元素为1，
当a＝2，b＝1时，元素为2＋，
当a＝2，b＝－1时，元素为2－，
当a＝3，b＝5时，元素为3＋5，
当a＝3，b＝－5时，元素为3－5，
则集合A的五个元素为1，2＋，2－，3＋5，3－5．(答案不唯一)
(2)0＝0＋0×∈A，－＝0＋(－)∈A，＝0＋2∈A，3 A， A．
(3)因为集合A＝{x|x＝a＋b，a，b∈Z}，
又因为x∈A，y∈A，
令x＝m＋n，y＝c＋d(m，n，c，d∈Z)，
所以x＋y＝m＋n＋c＋d＝(m＋c)＋(n＋d)∈A，
xy＝(m＋n)(c＋d)＝(mc＋3nd)＋(nc＋md)∈A，所以x＋y∈A，xy∈A．
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