3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点(略)
类型1 特殊函数模型的应用
特殊函数是研究函数图象、性质的载体，本章涉及的特殊函数模型主要有一次函数、二次函数、反比例函数以及由这些函数衍生出的“含绝对值的函数”“分段函数”，还有形如“y＝(c≠0，a≠0)”和“y＝ax＋(a>0，b>0)”的函数模型．
1．分段函数
分段函数在函数中占有重要的地位，它是高考考查的热点内容．分段函数由于表达式复杂，涉及的知识点多，往往是学生的薄弱点．对有关分段函数的问题要注意以下两点：
(1)分段函数的图象问题、求分段函数的解析式、求分段函数的单调区间、求分段函数的值域或最值、解分段函数对应的方程或不等式等均可归纳为“分段处理”四个字．
(2)分段函数的求值、分段函数的奇偶性判断，要严格按照分段函数的含义及奇偶性的定义来处理．
【例1】 已知函数f (x)＝
(1)求f [f (－2)]的值；
(2)求f (a2＋1)(a∈R)的值；
(3)当－4≤x<3时，求f (x)的值域．
[解] (1)因为f (－2)＝1－(－4)＝5，
所以f [f (－2)]＝f (5)＝4－25＝－21．
(2)因为a2＋1>0，
所以f (a2＋1)＝4－(a2＋1)2＝－a4－2a2＋3．
(3)当－4≤x<0时，因为f (x)＝1－2x，
所以1
当x＝0时，f (0)＝2；
当0所以－5故当－4≤x<3时，函数f (x)的值域是(－5，9]．
2．“双曲”函数
对形如y＝的函数，通过“分离常数法”总可以化成形如y＝m＋(t≠0)的函数，所以函数y＝的图象总可以由反比例函数y＝(t≠0)的图象经过平移变换得到，其形状与反比例函数图象的形状一样，故称为“双曲”函数．
【例2】 画出函数y＝的图象，写出函数的单调区间，并求出函数在[－1，2]上的值域．
[解] y＝＝＝－2－．
设f (x)＝，则y＝－2－＝f (x－3)－2，
根据图象的平移变换规律知，将函数f (x)＝的图象向右平移3个单位长度，得函数y＝－的图象，再向下平移2个单位长度，即得函数y＝－2－的图象，如图所示．
由图象知，其单调递增区间是(－∞，3)和(3，＋∞)．由于函数在[－1，2]上单调递增，且f (－1)＝－，f (2)＝1，故所求值域是．
3．“对勾”函数
形如f (x)＝ax＋(a>0，b>0)的函数的奇偶性、单调性、图象如下：
(1)f (x)为奇函数．
(2)函数f (x)在和上单调递减；在和上单调递增．
(3)图象如图所示．这个函数的图象形如两个对勾，因此，我们称它为“对勾”函数．
【例3】 某县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y(单位：千辆/时)与汽车的平均速度v(单位：千米/时)之间的函数关系为y＝，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T(秒)＝路段长×，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为________秒．
87.75 [先求车流量的最大值．
y＝＝，
记f (v)＝v＋≥2＝80．
当且仅当v＝，即v＝40时取“＝”，此时，y取最大值，ymax＝＝3，
y取最大值3时，红灯设置时间T＝325×＝87.75(秒)．]
类型2 函数的性质的综合应用
巧用奇偶性及单调性解不等式．
(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x1)f (x2)的形式．
(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式求解．
【例4】 已知函数f (x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)用定义证明f (x)在[－1，1]上是增函数；
(3)若实数t满足不等式f (t－1)＋f (t)<0，求t的取值范围．
[解] (1)因为函数f (x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f (0)＝＝0，b＝0，
又f (1)＝＝，所以a＝1，f (x)＝，
满足f (－x)＝－f (x)．
所以f (x)＝．
(2)证明：设－1≤x1≤x2≤1，
则－1≤x1x2≤1，x2－x1>0，
所以f (x1)－f (x2)＝
＝＝<0，即f (x1)所以f (x)是增函数．
(3)不等式化为f (t－1)<－f (t)，f (x)是奇函数，所以f (t－1)又f (x)是增函数且x∈[－1，1]，
所以解得0≤t<．
所以t的取值范围是．
类型3 函数与方程、不等式之间的关系
函数与方程、不等式之间的关系，在高考中经常考查函数零点问题，这包括已知分段函数解析式求零点个数，和已知函数零点个数或已知方程解的个数，求参数的范围，考查的形式主要是选择题与填空题．
【例5】 (1)已知函数f (x)＝函数g(x)＝3－f (2－x)，则函数y＝f (x)－g(x)的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)已知函数f (x)＝其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f (x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
(1)A (2)(3，＋∞) [(1)当x>2时，g(x)＝x－1，f (x)＝(x－2)2；
当0≤x≤2时，g(x)＝3－x，f (x)＝2－x；
当x<0时，g(x)＝3－x2，f (x)＝2＋x．
由于函数y＝f (x)－g(x)的零点个数就是方程f (x)－g(x)＝0的根的个数．
当x>2时，方程f (x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋5＝0，其根为x＝或x＝(舍去)；
当0≤x≤2时，方程f (x)－g(x)＝0可化为2－x＝3－x，无解；
当x<0时，方程f (x)－g(x)＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝或x＝(舍去)．
所以函数y＝f (x)－g(x)的零点个数为2．
(2)当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2．
(ⅰ)当4m－m2≥m，且m>0，即0(ⅱ)当4m－m23时，函数f (x)的图象如图②，即当存在实数b使方程f (x)＝b有三个不同的实数根时，m的取值范围为(3，＋∞)．]
类型4 函数的应用
1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．
2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．
【例6】 小明将上周每天骑车上学路上的情况用图象表示：
A B C
D E
很遗憾图象的先后次序不小心被打乱了，还好小明同时用文字进行了记录：
周一：匀速骑车前进；
周二：匀速骑车前进，中间遇到红灯停了一次；
周三：骑车出门晚了，越骑越快；
周四：骑车出门后一会儿想起忘带东西又加速回去拿；
周五：……
(1)请将图象的编号填入表格中对应日期的下方．
日期 周一 周二 周三 周四 周五
图象编号
(2)本周小明打算跑步上学，多消耗点热量．已知单位时间消耗的热量y(单位：卡/时)与跑步的平均速度v(单位：千米/时)满足函数y＝－v2＋350v－．小明家到学校的距离是1.5千米，假设小明上学路上不停顿，则他从家跑步到学校最多可以消耗多少热量？
[解] (1)根据实际情况，填表如下：
日期 周一 周二 周三 周四 周五
图象编号 E A C B D
(2)由题意可得，上学用时t＝时，设消耗的热量为S，则S＝yt＝＝－25＋525≤－25×2＋525＝－25×16＋525＝125，当且仅当v＝，即v＝8时，S取得最大值125，故他从家跑步到学校最多可以消耗热量125卡．
章末综合测评(三) 函数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f (x)＝的定义域是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(－∞，0)∪(0，1] D．(－∞，0)∪(0，1)
C [要使函数有意义，需满足即x≤1且x≠0．故选C．]
2．若f (x)＝(x＋a＋1)(x2＋a－1)为奇函数，则a＝( )
A．1或－1 B．1 C．0 D．－1
D [∵f (x)＝(x＋a＋1)(x2＋a－1)＝x3＋(a－1)x＋(a＋1)x2＋(a2－1)，f (－x)＝－x3－(a－1)x＋(a＋1)x2＋(a2－1)，
∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，
∴∴a＝－1．故选D．]
3．已知函数f (x)＝则f 的值为( )
A． B．－
C． D．18
C [由题意得f (3)＝32－3－3＝3，那么＝，所以f ＝f ＝1－＝．]
4．已知f ＝2x－5，且f (a)＝6，则a等于( )
A．－ B．
C． D．－
B [令t＝x－1，则x＝2(t＋1)，进而f (t)＝4(t＋1)－5＝4t－1，由f (a)＝6，得4a－1＝6，解得a＝．]
5．函数f (x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为( )
A． B．
C． D．
B [因为f ＝＋4×－1＝＞0，f (0)＝－1＜0，所以f (x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为．故选B．]
6．函数f (x)＝－的图象大致是( )
A B
C D
A [f (x)＝－是奇函数，图象关于原点对称，由此排除选项C．又x>0时，f (x)<0，排除选项B．当x>0时，x＋≥2，∴0<＝，
∴－≤－<0，
∴排除选项D．故选A．]
7．若函数f (x)＝在R上为减函数，则实数a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
A [由题意可得解得8．已知定义域为R的函数f (x)在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f (x＋4)为偶函数，则( )
A．f (2)>f (3) B．f (2)>f (5)
C．f (3)>f (5) D．f (3)>f (6)
D [∵y＝f (x＋4)为偶函数，
∴f (－x＋4)＝f (x＋4)．
令x＝2，得f (2)＝f (－2＋4)＝f (2＋4)＝f (6)，
同理，f (3)＝f (5)．又知f (x)在(4，＋∞)上为减函数，
∵5<6，
∴f (5)>f (6)，
∴f (2)f (6)．故选D．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图②③所示．则下列说法正确的是( )
A．图②的建议为减少运营成本
B．图②的建议可能是提高票价
C．图③的建议为减少运营成本
D．图③的建议可能是提高票价
AD [根据题意和题图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由题图③看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得AD正确，BC错误．]
10．已知函数f (x)＝的最小值为f (1)，则a的可能取值是( )
A．1 B．3
C．5 D．7
AB [函数y＝x＋－3a在x∈(1，3)上单调递减，在x∈(3，＋∞)上单调递增，
故当x>1时，f (x)min＝f (3)＝6－3a．
y＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，对称轴为x＝a，
当a≥1时，当x≤1时，f (x)min＝f (1)＝3－2a，
要想函数的最小值为f (1)，只需f (3)≥f (1)，6－3a≥3－2a，a≤3，即1≤a≤3，
显然选项AB符合．
当a<1时，当x≤1时，f (x)min＝f (a)＝2－a2，显然不是f (1)．
综上所述，只有选项AB符合条件，故选AB．]
11．设函数f (x)的定义域为A，且满足任意x∈A恒有f (x)＋f (2－x)＝2的函数可以是( )
A．f (x)＝2－x B．f (x)＝(x－1)2
C．f (x)＝ D．f (x)＝(x－2)3
AC [(法一)A项，f (x)＋f (2－x)＝2－x＋[2－(2－x)]＝2为定值，故A项正确；B项，f (x)＋f (2－x)＝2(x－1)2不为定值，故B项错误；C项，f (x)＋f (2－x)＝＝＝2，符合题意，故C项正确；D项，f (x)＋f (2－x)＝(x－2)3－x3不为定值，故D项不正确．
(法二)因为任意x∈A恒有f (x)＋f (2－x)＝2，所以函数的图象关于点(1，1)中心对称，函数f (x)＝2－x的图象是过点(1，1)的直线，符合题意；函数f (x)＝＝1＋的图象关于点(1，1)中心对称，符合题意；B，D中两个函数的图象都不关于点(1，1)中心对称，不符合题意．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数f (x)在R上为奇函数，且x>0时，f (x)＝x3＋x2＋1，则当x<0时，f (x)＝________．
x3－x2－1 [设x<0，则－x>0，故f (－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1＝－x3＋x2＋1，由于函数f (x)在R上为奇函数，
故f (－x)＝－f (x)，所以f (x)＝x3－x2－1．]
13．二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 3 4
y －12 m 0 m
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为________．
(－1，3) [对于二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c，由表格可得f (－2)＝f (4)，则二次函数的对称轴为直线x＝－＝＝1，则b＝－2a，
又结合b＝－2a，解得a＝－1，b＝2，c＝3，
所以不等式ax2＋bx＋c>0即为不等式－x2＋2x＋3>0，(x－3)(x＋1)<0，解得－114．已知函数f (x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R．
(1)若函数f (x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为________；
(2)若函数f (x)在[－1，1]上存在零点，则实数a的取值范围为________．(本小题第一空2分，第二空3分)
(1)(1，＋∞) (2)[－8，0] [(1)∵f (x)的图象与x轴无交点，
∴Δ＝16－4(a＋3)<0，
∴a>1，
即实数a的取值范围为(1，＋∞)．
(2)∵函数f (x)的图象的对称轴为直线x＝2，且开口向上，
∴f (x)在[－1，1]上单调递减，
∴要使f (x)在[－1，1]上存在零点，
需满足即
∴－8≤a≤0，
即实数a的取值范围为[－8，0]．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知定义在R上的函数f (x)是奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f (x)＝．
(1)求函数f (x)在R上的解析式；
(2)判断函数f (x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
[解] (1)根据题意，f (x)为定义在R上的奇函数，则f (0)＝0，
设x>0，则－x<0，则f (－x)＝，
又由f (x)为R上的奇函数，
则f (x)＝－f (－x)＝－，
则f (x)＝
(2)函数f (x)在(0，＋∞)上为增函数．
证明：根据题意，设0则f (x1)－f (x2)＝＝＝，
又由0则x1－x2<0，且1＋x1>0，1＋x2>0；
则f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)故函数f (x)在(0，＋∞)上为增函数．
16．(15分)已知函数f (x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a．
(1)若函数f (x)在区间[－5，5]上为单调函数，求实数a的取值范围；
(2)求a的值，使f (x)在区间[－5，5]上的最小值为－1．
[解] 令x－1＝t，则x＝t＋1，f (t)＝(t＋1)2＋(2a－2)·(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at＋2，所以f (x)＝x2＋2ax＋2．
(1)因为f (x)图象的对称轴为x＝－a，
由题意知－a≤－5或－a≥5，
解得a≥5或a≤－5．
故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
(2)当a>5时，f (x)min＝f (－5)＝27－10a＝－1，
解得a＝(舍去)；
当－5≤a≤5时，f (x)min＝f (－a)＝－a2＋2＝－1，
解得a＝±；
当a<－5时，f (x)min＝f (5)＝27＋10a＝－1，
解得a＝－(舍去)．
综上，a＝±．
17．(15分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图①中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图②中的抛物线表示的函数关系．
(1)写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f (t)，图②表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的纯收益最大？
[解] (1)由题图①可得，当0当200由题图②，设对应的二次函数解析式为g(t)＝a(t－150)2＋100，
又该函数过点(250，150)，
所以150＝a(250－150)2＋100，
解得a＝，
则g(t)＝(t－150)2＋100，0(2)设上市时间为t时的纯收益为h(t)，
则由题意，得h(t)＝f (t)－g(t)，
即h(t)＝
当0当t＝50时，h(t)取得最大值100；
当200当t＝300时，h(t)取得最大值87.5．
综上，当t＝50时，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大．
18．(17分)函数f (x)的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，且当x>0时，f (x)<0．
(1)证明：f (x)是奇函数；
(2)证明：f (x)在R上是减函数；
(3)若f (3)＝－1，f (3x＋2)＋f (x－15)－5<0，求x的取值范围．
[解] (1)证明：由f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，
令y＝－x，得f [x＋(－x)]＝f (x)＋f (－x)，
所以f (x)＋f (－x)＝f (0)．
又f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，
所以f (0)＝0．
从而有f (x)＋f (－x)＝0．
所以f (－x)＝－f (x)．
所以f (x)是奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1则f (x1)－f (x2)＝f (x1)－f [x1＋(x2－x1)]＝－x1)．
由x10，
所以f (x2－x1)<0．
所以－f (x2－x1)>0，
即f (x1)>f (x2)，
从而f (x)在R上是减函数．
(3)因为f (3)＝－1，函数f (x)为奇函数，
所以f (－3)＝1，
又5＝5f (－3)＝f (－15)，
所以f (3x＋2)＋f (x－15)<5＝f (－15)，
由f (x＋y)＝f (x)＋f (y)得f (4x－13)由函数f (x)单调递减得4x－13>－15，
解得x>－，
故x的取值范围为．
19．(17分)在①a＝－2；②a＝1；③a＝5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
已知函数f (x)＝(x－a)2－3|x－1|－b，且________．
(1)判断f (x)的单调性；
(2)若f (x)的图象与x轴有两个交点，求实数b的取值范围．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
[解] f (x)＝(x－a)2－3|x－1|－b
＝
选择①．
(1)当x≥1时，f (x)的对称轴为x＝－≤1，
所以f (x)在[1，＋∞)上单调递增．
当x＜1时，f (x)的对称轴为x＝－<1，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，f (x)在上单调递减，
在上单调递增．
(2)由(1)知，f (x)min＝f ＝－b－，f (1)＝9－b，
因为f (x)的图象与x轴有两个交点，所以f (x)min＜0，
即－b－＜0，所以实数b的取值范围是．
选择②．
(1)当x≥1时，因为f (x)的对称轴为x＝＞1，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．
当x＜1时，因为f (x)的对称轴为x＝－＜1，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，f (x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)由(1)知，f ＝－b－，f ＝－b－＝f ，f (1)＝－b，
因为f (x)的图象与x轴有两个交点，所以f ＝f ＝0或f (1)＜0．
由－b－＝0或f (1)＝－b＜0，得b＝－或b＞0，所以实数b的取值范围是∪(0，＋∞)．选择③．
(1)当x≥1时，f (x)的对称轴为x＝＞1，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．
当x＜1时，f (x)的对称轴为x＝＞1，
所以f (x)在(－∞，1)上单调递减．
综上所述，f (x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)由(1)知，f (x)min＝f ＝－b－．
因为f (x)的图象与x轴有两个交点，所以f (x)min＜0．
由－b－＜0，得b＞－，
所以实数b的取值范围是．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共27张PPT)
章末综合提升
第三章 函数
巩固层·知识整合
提升层·题型探究
1．分段函数
分段函数在函数中占有重要的地位，它是高考考查的热点内容．分段函数由于表达式复杂，涉及的知识点多，往往是学生的薄弱点．对有关分段函数的问题要注意以下两点：
(1)分段函数的图象问题、求分段函数的解析式、求分段函数的单调区间、求分段函数的值域或最值、解分段函数对应的方程或不等式等均可归纳为“分段处理”四个字．
(2)分段函数的求值、分段函数的奇偶性判断，要严格按照分段函数的含义及奇偶性的定义来处理．
[解] (1)因为f (－2)＝1－(－4)＝5，
所以f [f (－2)]＝f (5)＝4－25＝－21．
(2)因为a2＋1>0，
所以f (a2＋1)＝4－(a2＋1)2＝－a4－2a2＋3．
(3)当－4≤x<0时，因为f (x)＝1－2x，
所以1当x＝0时，f (0)＝2；
当0所以－5故当－4≤x<3时，函数f (x)的值域是(－5，9]．
(3)图象如图所示．这个函数的图象形如两个对勾，因此，我们称它为“对勾”函数．
87.75
类型2 函数的性质的综合应用
巧用奇偶性及单调性解不等式．
(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x1)<
f (x2)或f (x1)>f (x2)的形式．
(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式求解．
类型3 函数与方程、不等式之间的关系
函数与方程、不等式之间的关系，在高考中经常考查函数零点问题，这包括已知分段函数解析式求零点个数，和已知函数零点个数或已知方程解的个数，求参数的范围，考查的形式主要是选择题与填空题．
√
(3，＋∞)
(2)当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2．
(ⅰ)当4m－m2≥m，且m>0，即0(ⅱ)当4m－m23时，函数f (x)的图象如图②，即当存在实数b使方程f (x)＝b有三个不同的实数根时，m的取值范围为(3，＋∞)．]
类型4 函数的应用
1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．
2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．
【例6】 小明将上周每天骑车上学路上的情况用图象表示：
A B C D E
很遗憾图象的先后次序不小心被打乱了，还好小明同时用文字进行了记录：
周一：匀速骑车前进；
周二：匀速骑车前进，中间遇到红灯停了一次；
周三：骑车出门晚了，越骑越快；
周四：骑车出门后一会儿想起忘带东西又加速回去拿；
周五：……
(1)请将图象的编号填入表格中对应日期的下方．
日期 周一 周二 周三 周四 周五
图象编号
[解] (1)根据实际情况，填表如下：
日期 周一 周二 周三 周四 周五
图象编号 E A C B D