1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
学习 任务 1．能正确写出一个命题的否定，并能够判断其真假．(数学抽象) 2．理解含有一个量词的命题的否定的意义，会对含有一个量词的命题进行否定．(数学抽象) 3．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(逻辑推理)
假设我们要否定命题“所有水生动物都用鳃呼吸”，可以这样做：
画出表示用鳃呼吸的动物的集合，并包含表示所有水生动物的集合，如图①所示，那么此图就表示“所有水生动物都用鳃呼吸”．
再将图①中水生动物的集合部分地移出用鳃呼吸的动物的集合，如图②，那么此图就表示“并非所有水生动物用鳃呼吸”，即“一些水生动物不用鳃呼吸”．这就得到了原命题的否定．
可以看出，当我们否定一个含有全称量词的命题时，就会得到一个含有存在量词的命题．
问题 试举社会生活或其他学科中命题的例子，并图示命题及该命题的否定．
知识点1 命题的否定
1．定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“ p”，读作“非p”或“p的否定”．
2．命题p与其否定 p的真假关系
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．
知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1．存在量词命题的否定
存在量词命题p p 结论
x∈M，p(x) x∈M， p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
2．全称量词命题的否定
全称量词命题q q 结论
x∈M，q(x) x∈M， q(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
[拓展] 对于简单命题的否定要注意一些常见否定词的使用，下面是常用的正面叙述词语和它的否定词语．
原词语 等于 大于(>) 小于(<) 是
否定词语 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
原词语 至多 有一个 至少 有一个 至多 有n个 都是
否定词语 至少 有两个 一个 也没有 至少有 (n＋1)个 不都是
原词语 任意的 任意两个 所有的 能
否定词语 某个 某两个 某些 不能
(1)“x＝0或x＝1”的否定是“x≠0且x≠1”，而不是“x≠0或x≠1”．
(2)“x，y全为0”的否定是“x，y不全为0”，而不是“x，y全不为0”．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题 p的否定是p． ( )
(2) x∈M，p(x)与 x∈M， p(x)的真假性相反． ( )
(3)存在量词命题的否定，是对“量词”和“p(x)”同时否定． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)命题p与 p互为否定．
(2)存在量词命题p与其否定 p一真一假．
(3)尽管存在量词命题的否定是全称量词命题，只是对“p(x)”进行否定，而将“存在量词”调整为“全称量词”，不能将其理解为“同时否定”．
2．若命题p：函数y＝1－x2的图象过点(－3，2)，则p与 p的真假情况是( )
A．都是真命题 B．都是假命题
C．p真， p假 D．p假， p真
D [∵p与 p必一真一假，而本题中p显然是假命题，
∴ p必为真命题．]
3．已知命题p： x>2，x3－8>0，那么p的否定是________．
x>2，x3－8≤0 [命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，则 p： x>2，x3－8≤0．]
类型1 全称量词命题的否定
【例1】 (源自人教A版教材)写出下列全称量词命题的否定．
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3．
[解] (1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．
(3)该命题的否定： x∈Z，x2的个位数字等于3．
1．对全称量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．
(2)否定结论：原命题结论中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
2．全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．
[跟进训练]
1．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；
(2)p：等圆的面积相等，周长相等；
(3)p：偶数的平方是正数．
[解] (1) p：存在n∈Z，使n Q，这是假命题．
(2) p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．
(3) p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题．
类型2 存在量词命题的否定
【例2】 (1)命题p： x>0，x＋＝2，则 p为( )
A． x>0，x＋＝2 B． x>0，x＋≠2
C． x≤0，x＋＝2 D． x≤0，x＋≠2
(2)写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
①有些实数的绝对值是正数；
②某些平行四边形是菱形；
③ x∈R，x2＋1<0；
④ x，y∈Z，使得x＋y＝3．
(1)B [存在量词命题的否定为全称量词命题：把 → ，x＋＝2→x＋≠2，故选B．]
(2)[解] ①该命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，假命题．
②该命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，假命题．
③该命题的否定： x∈R，x2＋1≥0，真命题．
④该命题的否定： x，y∈Z，x＋y≠3，假命题．
1．对存在量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．
(2)否定结论：原命题结论中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
2．存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
[跟进训练]
2．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
(1)某些梯形的对角线互相平分；
(2) x∈R，x3－1＝0；
(3)在同圆中，同弧所对的圆周角相等；
(4)有些素数是奇数．
[解] (1)假命题，该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分．
(2)真命题，该命题的否定： x∈R，x3－1≠0．
(3)真命题，该命题的否定：在同圆中，同弧所对的圆周角不相等．
(4)真命题，该命题的否定：所有的素数都不是奇数．
类型3 全称量词命题与存在量词命题中的求参问题
【例3】 已知命题p：“ x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．
[思路导引] 命题p的否定 p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图象和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解．
[解] (法一) p： x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，
当x＝1时，y最大值＝1，所以m>y最大值＝1，
即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
(法二) p： x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，
设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图象和性质知，
只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1，
即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
[母题探究]
(变条件)若命题“ x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，则m的取值范围是________．
(－∞，1] [ x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根，所以Δ＝4－4m≥0，解得m≤1．]
含有量词的命题求参数问题的思路
(1)此类题目常以二次方程或二次不等式为载体，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可用判别式法求参数范围，也可以利用分离参数法求得参数的范围．
(2)求参数的范围时，从真命题的角度比较容易列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题，且是假命题，可以写出该命题的否定，利用命题的否定是真命题求得参数的范围．
[跟进训练]
3．已知命题p：“ x≥3，使得2x－1
(－∞，5] [(法一)∵x∈[3，＋∞)，
∴2x－1∈[5，＋∞)，
当命题p为真命题，即 x∈[3，＋∞)，
使2x－15，
∴命题p为假命题时，
实数m的取值范围是m≤5．
(法二)命题p为假命题，则 p为真命题，
即 x≥3，使得2x－1≥m成立．
∵x∈[3，＋∞)，∴2x－1∈[5，＋∞)，
∴m≤5．
(法三)设集合A＝{x|x≥3}，
集合B＝{x|2x－1要使命题p为假命题，则A∩B＝ ，
即≤3，得m≤5．]
1．设命题p： x∈R，x2＋1>0，则 p为( )
A． x∈R，x2＋1>0
B． x∈R，x2＋1≤0
C． x∈R，x2＋1<0
D． x∈R，x2＋1≤0
B [命题p： x∈R，x2＋1>0，是一个全称量词命题，
所以 p： x∈R，x2＋1≤0．故选B．]
2．下列命题的否定为假命题的是( )
A． x∈R，x2＋2x＋2≤0
B． x∈R，x3<1
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．任意一个梯形的对角线都不互相平分
D [对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以 x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；
对于选项B，因为当x≥1时，x3≥1，所以 x∈R，x3<1是假命题，故其否定为真命题；
对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；
对于选项D，任意一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题，因此其否定是假命题．故选D．]
3．若“ x∈(3，＋∞)，x>a”的否定是假命题，则实数a的取值范围是________．
(－∞，3] [由题意，“ x∈(3，＋∞)，x>a”的否定是假命题，即“ x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，
故x>a， x∈(3，＋∞)恒成立．
又x>3，所以a≤3，则实数a的取值范围是(－∞，3]．]
4．已知命题p：“ x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
{a∈R|a≠3} [因为“ x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，所以关于x的方程(a－3)x＋1＝0有实数解，所以a－3≠0，即a≠3，所以实数a的取值范围是{a∈R|a≠3}．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对含有一个量词的命题的否定要注意哪些问题？
[提示] (1)确定命题类型：命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定．
2．如何解答含有量词的命题中求参数问题？
[提示] (1)转化法：已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为 p是真命题后，再求参数的值或取值范围．
(2)分离参数法：存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)．
课时分层作业(七) 全称量词命题与存在量词命题的否定
一、选择题
1．命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A． x∈R，|x|＋x2<0
B． x∈R，|x|＋x2≤0
C． x∈R，|x|＋x2<0
D． x∈R，|x|＋x2≥0
C [对于全称量词命题的否定，要将命题中“ ”变为“ ”，则命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“ x∈R，|x|＋x2<0”．故选C．]
2．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是( )
A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0
D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0
D [存在量词命题的否定是全称量词命题．故选D．]
3．(多选)针对某校期末考试有关的命题p：所有文艺类学生都会做第1题，那么对命题p的否定正确的是( )
A．所有文艺类学生都不会做第1题
B．存在一个文艺类学生不会做第1题
C．存在一个文艺类学生会做第1题
D．至少有一个文艺类学生不会做第1题
BD [由命题的否定可知，对命题p进行否定，选项BD都正确．]
4．设命题p： n∈N，n2>2n，则 p为( )
A． n∈N，n2>2n
B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n
D． n∈N，n2＝2n
C [命题p是一个存在量词命题，其否定是全称量词命题“ n∈N，n2≤2n”，故选C．]
5．若命题p： a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则 p为( )
A． a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解
B． a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解
C． a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解
D． a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解
C [先改量词，后否结论，则 p： a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解．]
二、填空题
6．命题“同位角相等”的否定为________．
有的同位角不相等 [全称量词命题的否定是存在量词命题．]
7．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0为假命题，则实数a的取值范围为________．
[1，＋∞) [因为命题p： x>0，x＋a－1＝0为假命题，
所以 p： x>0，x＋a－1≠0是真命题，
即x≠1－a，
所以1－a≤0，即a≥1．]
8．已知命题“ x∈R，2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
(－1，3) [由题意可得“ x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1三、解答题
9．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)非负数的平方是正数；
(3)有的四边形没有外接圆；
(4) x∈Z，x2与3的和不等于0．
[解] (1)命题的否定：存在一个平行四边形的对边不平行．由平行四边形的定义知，这是假命题．
(2)命题的否定：存在一个非负数的平方不是正数．因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．
(3)命题的否定：所有的四边形都有外接圆．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题．
(4)命题的否定： x∈Z，x2与3的和等于0，是假命题．
10．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”则哥德巴赫猜想的否定为( )
A．任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
B．任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和
C．至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和
D．至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和
D [哥德巴赫猜想的否定应为存在量词命题，“大于2的偶数”不能否定，故选D．]
11．(多选)下列四个命题的否定为真命题的是( )
A．p：所有四边形的内角和都是360°
B．q： x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．r： x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．s： x∈N，x3>x2
BD [A． p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题．
B． q： x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题，这是由于 x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．
C． r： x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题．
D． s： x∈N，x3≤x2，真命题．]
12．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，给了小王一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的范围是否一致？________(选填“是”或“否”)；小王同学出的题中，m的取值范围是________．
是 (1，＋∞) [原命题是假命题，则该命题的否定是真命题，所以两名同学所出的题中m的取值范围是一致的．因为x2＋2x＋m>0恒成立，所以Δ＝4－4m<0，所以m>1．]
13．若命题“对任意实数x，2x>m(x2＋1)”是真命题，则实数m的取值范围为________．
(－∞，－1) [由题意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立，即不等式mx2－2x＋m<0恒成立．
①当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意；
②当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，则解得m<－1．
综上，所求实数m的取值范围是(－∞，－1)．]
14．已知命题p： 1≤x≤2，x2－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2ax＋2a＋a2＝0．
(1)若命题 p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p和 q均为真命题，求实数a的取值范围．
[解] (1)根据题意知，当1≤x≤2时，1≤x2≤4．
p： 1≤x≤2，x2－a<0为真命题，
所以a>1．
所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1．
命题q为真命题时，Δ＝4a2－4(2a＋a2)≥0，
解得a≤0，
所以 q为真命题时，a>0．
所以解得0即实数a的取值范围为(0，1]．
15．已知命题p： x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，命题q：－2ax0－3>0，若p假q真，求实数a的取值范围．
[解] 因为命题p是假命题，所以 p： x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0是真命题，则(a－1)2－4>0，解得a<－1或a>3．
因为命题q：－2ax0－3>0是真命题，
所以当a＝0时，－3<0，不合题意；
当a<0时，(－2a)2＋12a>0，所以a<－3．
当a>0时，函数y＝ax2－2ax－3的图象开口向上，一定存在满足条件的x0．故a<－3或a>0．
综上，a的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
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1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
学习
任务 1．能正确写出一个命题的否定，并能够判断其真假．(数学抽象)
2．理解含有一个量词的命题的否定的意义，会对含有一个量词的命题进行否定．(数学抽象)
3．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
假设我们要否定命题“所有水生动物都用鳃呼吸”，可以这样做：
画出表示用鳃呼吸的动物的集合，并包含表示所有水生动物的集合，如图①所示，那么此图就表示“所有水生动物都用鳃呼吸”．
再将图①中水生动物的集合部分地移出用鳃呼吸的动物的集合，如图②，那么此图就表示“并非所有水生动物用鳃呼吸”，即“一些水生动物不用鳃呼吸”．这就得到了原命题的否定．
可以看出，当我们否定一个含有全称量词的命题时，就会得到一个含有存在量词的命题．
问题 试举社会生活或其他学科中命题的例子，并图示命题及该命题的否定．
知识点1 命题的否定
1．定义：一般地，对命题p加以____，就得到一个新的命题，记作“____”，读作“非p”或“p的否定”．
2．命题p与其否定 p的真假关系
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个__命题；反之亦然．
否定
p
假
知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1．存在量词命题的否定
存在量词命题p p 结论
x∈M，p(x) _____________ 存在量词命题的否定是全称量词命题
x∈M， p(x)
2．全称量词命题的否定
全称量词命题q q 结论
x∈M，q(x) ____________ 全称量词命题的否定是存在量词命题
x∈M， q(x)
[拓展] 对于简单命题的否定要注意一些常见否定词的使用，下面是常用的正面叙述词语和它的否定词语．
原词语 等于 大于(>) 小于(<) 是
否定词语 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
原词语 至多有一个 至少有一个 至多有n个 都是
否定词语 至少有两个 一个也没有 至少有(n＋1)个 不都是
原词语 任意的 任意两个 所有的 能
否定词语 某个 某两个 某些 不能
提醒 (1)“x＝0或x＝1”的否定是“x≠0且x≠1”，而不是“x≠0或x≠1”．
(2)“x，y全为0”的否定是“x，y不全为0”，而不是“x，y全不为0”．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题 p的否定是p． ( )
[提示] 命题p与 p互为否定．
[提示] 存在量词命题p与其否定 p一真一假．
√
√
(2) x∈M，p(x)与 x∈M， p(x)的真假性相反． ( )
(3)存在量词命题的否定，是对“量词”和“p(x)”同时否定． ( )
[提示] 尽管存在量词命题的否定是全称量词命题，只是对“p(x)”进行否定，而将“存在量词”调整为“全称量词”，不能将其理解为“同时否定”．
×
2．若命题p：函数y＝1－x2的图象过点(－3，2)，则p与 p的真假情况是( )
A．都是真命题 B．都是假命题
C．p真， p假 D．p假， p真
D [∵p与 p必一真一假，而本题中p显然是假命题，
∴ p必为真命题．]
√
3．已知命题p： x>2，x3－8>0，那么p的否定是_______________．
x>2，x3－8≤0 [命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，则 p： x>2，x3－8≤0．]
x>2，x3－8≤0
关键能力·合作探究释疑难
类型1 全称量词命题的否定
【例1】 (源自人教A版教材)写出下列全称量词命题的否定．
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3．
[解] (1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．
(3)该命题的否定： x∈Z，x2的个位数字等于3．
反思领悟 1．对全称量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．
(2)否定结论：原命题结论中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
2．全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．
[跟进训练]
1．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；
(2)p：等圆的面积相等，周长相等；
(3)p：偶数的平方是正数．
[解] (1) p：存在n∈Z，使n Q，这是假命题．
(2) p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．
(3) p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题．
√
反思领悟 1．对存在量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．
(2)否定结论：原命题结论中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
2．存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
[跟进训练]
2．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
(1)某些梯形的对角线互相平分；
(2) x∈R，x3－1＝0；
(3)在同圆中，同弧所对的圆周角相等；
(4)有些素数是奇数．
[解] (1)假命题，该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分．
(2)真命题，该命题的否定： x∈R，x3－1≠0．
(3)真命题，该命题的否定：在同圆中，同弧所对的圆周角不相等．
(4)真命题，该命题的否定：所有的素数都不是奇数．
类型3 全称量词命题与存在量词命题中的求参问题
【例3】 已知命题p：“ x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．
[思路导引] 命题p的否定 p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图象和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解．
[解] (法一) p： x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，
当x＝1时，y最大值＝1，所以m>y最大值＝1，
即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
(法二) p： x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，
设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图象和性质知，
只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1，
即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
[母题探究]
(变条件)若命题“ x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，则m的取值范围是____________．
(－∞，1] [ x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根，所以Δ＝4－4m≥0，解得m≤1．]
(－∞，1]
反思领悟 含有量词的命题求参数问题的思路
(1)此类题目常以二次方程或二次不等式为载体，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可用判别式法求参数范围，也可以利用分离参数法求得参数的范围．
(2)求参数的范围时，从真命题的角度比较容易列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题，且是假命题，可以写出该命题的否定，利用命题的否定是真命题求得参数的范围．
[跟进训练]
3．已知命题p：“ x≥3，使得2x－1(－∞，5] [(法一)∵x∈[3，＋∞)，
∴2x－1∈[5，＋∞)，
当命题p为真命题，即 x∈[3，＋∞)，
使2x－15，
∴命题p为假命题时，实数m的取值范围是m≤5．
(－∞，5]
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
1．设命题p： x∈R，x2＋1>0，则 p为( )
A． x∈R，x2＋1>0 B． x∈R，x2＋1≤0
C． x∈R，x2＋1<0 D． x∈R，x2＋1≤0
√
B [命题p： x∈R，x2＋1>0，是一个全称量词命题，
所以 p： x∈R，x2＋1≤0．故选B．]
2
3
题号
4
1
√
2．下列命题的否定为假命题的是( )
A． x∈R，x2＋2x＋2≤0
B． x∈R，x3<1
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．任意一个梯形的对角线都不互相平分
2
3
题号
4
1
D [对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以 x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；
对于选项B，因为当x≥1时，x3≥1，所以 x∈R，x3<1是假命题，故其否定为真命题；
对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；
对于选项D，任意一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题，因此其否定是假命题．故选D．]
2
3
题号
4
1
(－∞，3] [由题意，“ x∈(3，＋∞)，x>a”的否定是假命题，即“ x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，
故x>a， x∈(3，＋∞)恒成立．
又x>3，所以a≤3，则实数a的取值范围是(－∞，3]．]
3．若“ x∈(3，＋∞)，x>a”的否定是假命题，则实数a的取值范围是____________．
(－∞，3]
2
3
题号
4
1
{a∈R|a≠3} [因为“ x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，所以关于x的方程(a－3)x＋1＝0有实数解，所以a－3≠0，即a≠3，所以实数a的取值范围是{a∈R|a≠3}．]
4．已知命题p：“ x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，则实数a的取值范围是_________________．
{a∈R|a≠3}
[提示] (1)确定命题类型：命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对含有一个量词的命题的否定要注意哪些问题？
[提示] (1)转化法：已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为 p是真命题后，再求参数的值或取值范围．
(2)分离参数法：存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)．
2．如何解答含有量词的命题中求参数问题？