1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件与必要条件
学习 任务 1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的定义．(数学抽象) 2．会判断充分条件、必要条件．(逻辑推理) 3．会根据所给条件求字母的取值范围．(数学抽象、逻辑推理)
《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”如今，在日常生活中，常听人说“这充分说明”“没有这个必要”等等，在数学中也会讲到充分和必要．
问题 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言中，“积跬步”是“至千里”的充分条件还是必要条件？
知识点1 充分条件与必要条件
(1)在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论．若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作p q，读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”．
(2)当p q时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p q．(2)等价．
知识点2 用集合知识理解充分条件和必要条件
1．充分条件、必要条件与集合的关系
记集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．
A B p是q的充分条件 q是p的必要条件 AB p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
B A q是p的充分条件 p是q的必要条件 BA q不是p的充分条件 p不是q的必要条件
2．判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(2)性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件． ( )
(2)“x>0”是“x>1”的充分条件． ( )
(3)若q不是p的必要条件，则pq成立． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)因为“x2＝9”“x＝3”．
(2)因为“x>0”“x>1”．
(3)若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．若x，y∈R，下列各式中是“xy≠0”的必要条件的是( )
A．x＋y＝0 B．x2＋y2>0
C．x－y＝0 D．x3＋y3≠0
B [因为xy≠0 x≠0且y≠0 x2>0且y2>0 x2＋y2>0，所以“x2＋y2>0”是“xy≠0”的必要条件．]
3．设集合M＝{x|0
必要 [由于N M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件．]
类型1 充分条件的判断
【例1】 (1)(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：a是无理数，q：a2是无理数
B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C．p：x>2，q：x≥1
D．p：a>b，q：ac2>bc2
(2)判断下列各题中，p是不是q的充分条件：
①p：x2＝y2，q：x＝y；
②p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0；
③p：整数a能被4整除，q：整数a的个位数字为偶数；
④p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0．
(1)BC [A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；C中，x>2 x≥1，所以p是q的充分条件；D中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件．]
(2)[解] ①若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，
因此pq，所以p不是q的充分条件．
②若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0，即b2－4ac≥0，所以p q，所以p是q的充分条件．
③若整数a能被4整除，则a是偶数，所以a的个位数字为偶数，所以p q，所以p是q的充分条件．
④因为(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)(y－2)＝0，
所以p q，所以p是q的充分条件．
充分条件的判断方法
[跟进训练]
1．判断下列各题中，p是不是q的充分条件：
(1)p：a∈Q，q：a∈R；
(2)p：a(3)p：x>1，q：x2>1；
(4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3．
[解] (1)由于Q?R，所以p q，
所以p是q的充分条件．
(2)由于a1；当b>0时，<1，因此pq，所以p不是q的充分条件．
(3)由x>1可以推出x2>1．
因此p q，所以p是q的充分条件．
(4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}，
则B?A．因此pq，
所以p不是q的充分条件．
类型2 必要条件的判断
【例2】 (源自人教A版教材)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
(4)若x＝1，则x2＝1；
(5)若ac＝bc，则a＝b；
(6)若xy为无理数，则x，y为无理数．
[解] (1)这是平行四边形的一条性质定理，p q，所以q是p的必要条件．
(2)这是三角形相似的一条性质定理，p q，所以q是p的必要条件． (3)如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，pq，所以q不是p的必要条件．
(4)显然，p q，所以q是p的必要条件．
(5)由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，pq，所以q不是p的必要条件．
(6)由于1×＝为无理数，但1，不全是无理数，pq，所以q不是p的必要条件．
必要条件的判断方法
[跟进训练]
2．(1)使x>1成立的一个必要条件是( )
A．x>0 B．x>3 C．x>2 D．x<2
(2)判断下列各题中，q是不是p的必要条件：
①p：a是1的平方根，q：a＝1；
②p：4x2－mx＋9是完全平方式，q：m＝12；
③p：a是无理数，q：a是无限小数；
④p：a与b互为相反数，q：a与b的绝对值相等．
(1)A [只有x>1 x>0，其他选项均不可由x>1推出．]
(2)[解] ①1的平方根是±1，所以pq，
所以q不是p的必要条件．
②因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2是完全平方式，
所以m＝±12，所以pq，
所以q不是p的必要条件．
③因为无理数是无限不循环小数，
所以p q，
所以q是p的必要条件．
④若a与b互为相反数，
则a与b的绝对值相等，
所以p q，
所以q是p的必要条件．
类型3 充分条件和必要条件的应用
【例3】 (1)“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是( )
A．0 B．2
C．4 D．16
(2)已知p：－4(1)B (2)[－1，6] [(1)由“x＝2”能得出“x2＝4”，所以选项B正确．
(2)化简p：a－4故有解得－1≤a≤6．]
1．利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解．
2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号能否取到，取决于端点的取值．
[跟进训练]
3．(1)已知α：－3≤x≤2，β：t－5≤x≤2t＋4，且α是β的充分条件，求实数t的取值范围．
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
[解] (1)设α：－3≤x≤2对应的集合为A＝{x|－3≤x≤2}，β：t－5≤x≤2t＋4对应的集合为B＝{x|t－5≤x≤2t＋4}，因为α是β的充分条件，所以A B，则解得－1≤t≤2，故实数t的取值范围为[－1，2]．
(2)由于p是q的必要条件，则{x|x>a} {x|x<－3或x>1}，
即(a，＋∞) (1，＋∞)．所以a≥1，
因此，实数a的取值范围是[1，＋∞)．
1．已知a，b∈R，则“a－2b＝0”是“＝2”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [a－2b＝0时，可能a＝b＝0，无法推出＝2，而＝2时，隐含b≠0，两边同时乘以b，得到a＝2b．故“a－2b＝0”是“＝2”的必要条件．]
2．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2
A [只有x>4 x>3，其他选项均不可推出x>3．]
3．俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．无法判断
A [“好人”是“有好报”的充分条件，反之未必成立，故选A．]
4．“2x＋3≤0”是“2x－6≤0”的________(选填“充分”或“必要”)条件．
充分 [不等式2x＋3≤0的解集为A＝，不等式2x－6≤0的解集为B＝(－∞，3]，由于A B，所以“2x＋3≤0”是“2x－6≤0”的充分条件．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何理解命题“如果p，那么q”？
[提示] (1)“如果p，那么q”只是命题的一种形式，另外，“若p，则q”“只要p，就有q”也是常见的命题形式，当然有时也可以简写，省略掉标志性词语“若”“则”“如果”“那么”“只要”“就有”．一般地，“若”“如果”“只要”后面是条件，“则”“那么”“就有”后面是结论．
(2)不能将“若p，则q”与“p q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p q”，即“p q” “若p，则q”为真命题．
2．你对“充分条件”“必要条件”是如何理解的？
[提示] (1)对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“ ”的推出方向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的必要条件．
(2)若p q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立．”
(3)若p q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立．”
(4)p是q的充分条件反映了p q，而q是p的必要条件同样反映了p q，这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系，只是说法不同．
(5)如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
课时分层作业(八) 充分条件与必要条件
一、选择题
1．“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
A [两个奇数的和是偶数，但和为偶数的两个数有可能是两个偶数，不一定是两个奇数，所以“a和b都是奇数” “a＋b是偶数”，“a＋b是偶数”“a和b都是奇数”．所以“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的充分条件．]
2．“m>n”是“m2>n2”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分也不必要条件
D [当m＝1，n＝－2时，m>n，但是m2n2，但是mn”是“m2>n2”的既不充分也不必要条件．]
3．已知p：0A．0C．C [由04．使|x|＝x成立的一个必要条件是( )
A．x<0 B．x≥0或x≤－1
C．x>0 D．x≤－1
B [因为|x|＝x x≥0 x≥0或x≤－1，所以使|x|＝x成立的一个必要条件是x≥0或x≤－1．]
5．(多选)有以下说法，其中正确的为( )
A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”的必要条件
C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件
D．“x>3”是“x2>4”的充分条件
ACD [A正确，由于“m是有理数” “m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；
B不正确，因为“x∈A”“x∈(A∩B)”，
所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；
C正确，由于“x＝3” “x2－2x－3＝0”，
故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；
D正确，由于“x>3” “x2>4”，
所以“x>3”是“x2>4”的充分条件．]
二、填空题
6．设a∈R，则“a<1”是“a2<1”成立的________(选填“充分”或“必要”)条件．
必要 [由“a<1”推不出“a2<1”，而由“a2<1”能推出“a<1”，故“a<1”是“a2<1”成立的必要条件．]
7．“某运动员在运动会中获得奖牌”是“该运动员参加运动会”的________(选填“充分”或“必要”)条件．
充分 [该运动员获得奖牌，一定参加了运动会；参加运动会，不一定获得奖牌，所以是充分条件．]
8．已知条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是 q的充分条件，则a的取值范围是________．
(－∞，1] [p：x>1，若p是q的充分条件，则p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1．]
三、解答题
9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件(用“充分”，“必要”作答)．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．
[解] (1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
10．设甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的既是充分条件又是必要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
A [由甲是乙的必要条件，得乙 甲．由丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，得丙 乙，但乙丙，结构示意图如图．综上有丙 乙 甲，但是乙丙．故有丙 甲，但是甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A．]
11．x＋y>2m的一个充分条件是( )
A．x>m或y>m B．x>m且yC．x>m且y>m D．x>m或yC [选项A，取x＝m－1，y＝m＋0.5，满足x>m或y>m，但x＋y<2m，故充分性不成立；
选项B，取x＝m＋0.5，y＝m－1，满足x>m且y选项C，由不等式的性质，x>m且y>m能推出x＋y>2m，故充分性成立；
选项D，取x＝m＋0.5，y＝m－1，满足x>m或y12．给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中________是a＋b>0的充分条件．(填序号)
①③④ [问题是“谁”是“a＋b>0”的充分条件，即为“谁” a＋b>0．
①a>0，b>0 a＋b>0；②a<0，b<0a＋b>0；③a＝3，b＝－2 a＋b>0；④a>0，b<0且|a|>|b| a＋b>0．]
13．用“充分”或“必要”填空：
(1)“x≠3”是“|x|≠3”的________条件；
(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的________条件．
(1)必要 (2)充分 [(1)当|x|≠3时，x≠±3，
所以“x≠3”“|x|≠3”，“|x|≠3” “x≠3”，所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件．
(2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除，所以“个位数字是5的自然数” “这个自然数能被5整除”，“这个自然数能被5整除”“这个自然数的个位数字是5”，所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件．]
14．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？
(1)若x>2，则|x|>1；
(2)若x<3，则x2<4；
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等；
(4)若A∩B＝A，则 UB UA．
[解] (1)若x>2，则|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即p是q的充分条件．
(2)若x<3，则x2<4不一定成立，反之若x2<4，
则－2(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分也不必要条件．
(4)A∩B＝A A B UB UA，
反之也成立，所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件．
15．(1)是否存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件？
(2)是否存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件？
[解] (1)欲使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件，
则只要 {x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，
所以m≥2．故存在实数m≥2，
使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件．
(2)欲使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3} ，这是不可能的．
故不存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件．
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第1课时 充分条件与必要条件
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
1.2.3 充分条件、必要条件
学习
任务 1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的定义．(数学抽象)
2．会判断充分条件、必要条件．(逻辑推理)
3．会根据所给条件求字母的取值范围．(数学抽象、逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”如今，在日常生活中，常听人说“这充分说明”“没有这个必要”等等，在数学中也会讲到充分和必要．
问题 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言中，“积跬步”是“至千里”的充分条件还是必要条件？
知识点1 充分条件与必要条件
(1)在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的____，q称为命题的_____．若“如果p，那么q”是一个_______，则称由p可以推出q，记作_________，读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作
p q，读作“p推不出q”．
(2)当p q时，我们称p是q的____条件，q是p的____条件；当p q
时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
条件
结论
真命题
p q
充分
必要
思考 (1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p q．(2)等价．
知识点2 用集合知识理解充分条件和必要条件
1．充分条件、必要条件与集合的关系
记集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．
A B p是q的充分条件
q是p的必要条件 A B p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
B A q是p的充分条件
p是q的必要条件 B A q不是p的充分条件
p不是q的必要条件
2．判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(2)性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
(3)若q不是p的必要条件，则p q成立． ( )
(2)“x>0”是“x>1”的充分条件． ( )
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件． ( )
[提示] 因为“x2＝9” “x＝3”．
[提示] 因为“x>0” “x>1”．
[提示] 若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
×
√
×
2．若x，y∈R，下列各式中是“xy≠0”的必要条件的是( )
A．x＋y＝0 B．x2＋y2>0
C．x－y＝0 D．x3＋y3≠0
B [因为xy≠0 x≠0且y≠0 x2>0且y2>0 x2＋y2>0，所以“x2＋y2>0”是“xy≠0”的必要条件．]
√
3．设集合M＝{x|0必要 [由于N M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件．]
必要
关键能力·合作探究释疑难
类型1 充分条件的判断
【例1】 (1)(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：a是无理数，q：a2是无理数
B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C．p：x>2，q：x≥1
D．p：a>b，q：ac2>bc2
√
√
(2)判断下列各题中，p是不是q的充分条件：
①p：x2＝y2，q：x＝y；
②p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0；
③p：整数a能被4整除，q：整数a的个位数字为偶数；
④p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0．
(2)[解] ①若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，
因此p q，所以p不是q的充分条件．
②若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于等于0，即b2－4ac≥0，所以p q，所以p是q的充分条件．
③若整数a能被4整除，则a是偶数，所以a的个位数字为偶数，所以p q，所以p是q的充分条件．
④因为(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)(y－2)＝0，
所以p q，所以p是q的充分条件．
反思领悟 充分条件的判断方法
类型2 必要条件的判断
【例2】 (源自人教A版教材)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
(4)若x＝1，则x2＝1；
(5)若ac＝bc，则a＝b；
(6)若xy为无理数，则x，y为无理数．
反思领悟 必要条件的判断方法
[跟进训练]
2．(1)使x>1成立的一个必要条件是( )
A．x>0 B．x>3 C．x>2 D．x<2
(2)判断下列各题中，q是不是p的必要条件：
①p：a是1的平方根，q：a＝1；
②p：4x2－mx＋9是完全平方式，q：m＝12；
③p：a是无理数，q：a是无限小数；
④p：a与b互为相反数，q：a与b的绝对值相等．
√
(1)A [只有x>1 x>0，其他选项均不可由x>1推出．]
(2)[解] ①1的平方根是±1，所以p q，
所以q不是p的必要条件．
②因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2是完全平方式，
所以m＝±12，所以p q，
所以q不是p的必要条件．
③因为无理数是无限不循环小数，
所以p q，
所以q是p的必要条件．
④若a与b互为相反数，
则a与b的绝对值相等，
所以p q，
所以q是p的必要条件．
类型3 充分条件和必要条件的应用
【例3】 (1)“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是( )
A．0 B．2
C．4 D．16
(2)已知p：－4√
[－1，6]
反思领悟 1．利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解．
2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号能否取到，取决于端点的取值．
[跟进训练]
3．(1)已知α：－3≤x≤2，β：t－5≤x≤2t＋4，且α是β的充分条件，求实数t的取值范围．
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
A [只有x>4 x>3，其他选项均不可推出x>3．]
2．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2
√
2
3
题号
4
1
A [“好人”是“有好报”的充分条件，反之未必成立，故选A．]
3．俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．无法判断
√
2
3
题号
4
1
4．“2x＋3≤0”是“2x－6≤0”的________(选填“充分”或“必要”)条件．
充分
[提示] (1)“如果p，那么q”只是命题的一种形式，另外，“若p，则q”“只要p，就有q”也是常见的命题形式，当然有时也可以简写，省略掉标志性词语“若”“则”“如果”“那么”“只要”“就有”．一般地，“若”“如果”“只要”后面是条件，“则”“那么”“就有”后面是结论．
(2)不能将“若p，则q”与“p q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p q”，即“p q” “若p，则q”为真命题．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何理解命题“如果p，那么q”？
[提示] (1)对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“ ”的推出方向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的必要条件．
(2)若p q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立．”
2．你对“充分条件”“必要条件”是如何理解的？
(3)若p q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立．”
(4)p是q的充分条件反映了p q，而q是p的必要条件同样反映了p q，这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系，只是说法不同．
(5)如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作p q．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．