(共18张PPT)
章末综合提升
第一章 集合与常用逻辑用语
巩固层·知识整合
类型1 方程、不等式与集合运算的综合应用
结合集合运算考查方程、不等式的知识是高考考查的热点题型，解决集合与方程、不等式综合考查的参数问题时，要特别注意两点：
(1)不要忽略集合中元素的互异性，即求出参数后应满足集合中的元素是互异的，尤其要注意含参数的方程的解的集合．
(2)空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．当题设中隐含有空集参与的集合关系与运算时，其特殊性容易被忽略，如解决有关A B，A∩B＝ ，A∪B＝B等集合问题时，应先考虑空集的情况．
提升层·题型探究
【例1】 已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B A，C A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．
[解] A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∵B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，
∴1∈B．
又B A，
∴a－1＝1，即a＝2．
【例2】 已知全集U＝R，集合A＝{x|2
(1)求A∩B，B∪( U A)；
(2)已知集合C＝{x|a≤x≤2－a}，若C∪( U B)＝R，求实数a的取值范围．
[解] (1)∵A＝{x|2∴A∩B＝(2，5]， U A＝(－∞，2]∪[9，＋∞)．
∴B∪( U A)＝(－∞，5]∪[9，＋∞)．
类型2 与集合有关的新定义问题
集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，形成具有新特征、新性质的集合．解题时，要抓住以下两点：
(1)分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中．
(2)集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握．
√
①③
类型3 充分条件与必要条件
充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．
【例5】 已知集合A＝{x|－1(1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(2)若x∈B是x∈A成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(3)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m的值．
(3)因为x∈A是x∈B成立的充要条件，
所以A＝B．
所以m＋1＝3，即m＝2．
即实数m的值为2．
类型4 全称量词命题与存在量词命题
“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系：
(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定其结论的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．
√
[－3，1]类型1 方程、不等式与集合运算的综合应用
结合集合运算考查方程、不等式的知识是高考考查的热点题型，解决集合与方程、不等式综合考查的参数问题时，要特别注意两点：
(1)不要忽略集合中元素的互异性，即求出参数后应满足集合中的元素是互异的，尤其要注意含参数的方程的解的集合．
(2)空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．当题设中隐含有空集参与的集合关系与运算时，其特殊性容易被忽略，如解决有关A B，A∩B＝ ，A∪B＝B等集合问题时，应先考虑空集的情况．
【例1】 已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B?A，C A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．
[解] A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∵B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，
∴1∈B．
又B?A，
∴a－1＝1，即a＝2．
∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C A，
∴C＝ 或{1}或{2}或{1，2}．
当C＝{1，2}时，b＝3；
当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去；
当C＝ 时，Δ＝b2－8<0，即－2综上可知，存在a＝2，b＝3或－2【例2】 已知全集U＝R，集合A＝{x|2(1)求A∩B，B∪( UA)；
(2)已知集合C＝{x|a≤x≤2－a}，若C∪( UB)＝R，求实数a的取值范围．
[解] (1)∵A＝{x|2∴A∩B＝(2，5]， UA＝(－∞，2]∪[9，＋∞)．
∴B∪( UA)＝(－∞，5]∪[9，＋∞)．
(2)C＝{x|a≤x≤2－a}，
UB＝(－∞，－2)∪(5，＋∞)．
∵C∪( UB)＝R，
∴∴a≤－3．
∴实数a的取值范围为(－∞，－3]．
类型2 与集合有关的新定义问题
集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，形成具有新特征、新性质的集合．解题时，要抓住以下两点：
(1)分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中．
(2)集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握．
【例3】 定义集合运算：A B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{}，B＝{1，}，则集合A B的真子集个数为( )
A．8 B．7 C．16 D．15
B [由题意A＝{}，B＝{1，}，则A B中的元素有(＋1)×(－1)＝1，()×()＝0，(＋1)×(－1)＝2，()×()＝1四种结果，则由集合中元素的互异性可知，集合A B中有3个元素，故集合A B的真子集个数为7．]
【例4】 已知有限集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2，n∈N*)，如果A中的元素ai(i＝1，2，3，…，n)满足a1·a2·…·an＝a1＋a2＋…＋an，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合是“复活集”；
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2>4；
③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能是“复活集”．
其中所有正确结论的序号为________．
①③ [①＝＝－1，故①正确．
②不妨设a1＋a2＝a1a2＝t，则由根与系数的关系知a1，a2是一元二次方程x2－tx＋t＝0的两个不相等的实数根，由Δ>0，可得t2－4t>0，解得t<0或t>4，故②错误．
③根据集合中元素的互异性知a1≠a2，不妨设a1因为a1∈N*，
所以a1＝1．于是1＋a2＝1×a2，无解，
即不存在满足条件的“复活集”，故③正确．]
类型3 充分条件与必要条件
充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．
【例5】 已知集合A＝{x|－1(1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(2)若x∈B是x∈A成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(3)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m的值．
[解] (1)由题意知A?B，所以m＋1>3，即m>2．
所以实数m的取值范围为(2，＋∞)．
(2)因为x∈B是x∈A成立的一个充分不必要条件，
所以B?A．当B＝ 时，m＋1≤－1，即m≤－2，符合题意；
当B≠ 时，解得－2综上，实数m的取值范围是(－∞，2)．
(3)因为x∈A是x∈B成立的充要条件，
所以A＝B．
所以m＋1＝3，即m＝2．
即实数m的值为2．
类型4 全称量词命题与存在量词命题
“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系：
(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定其结论的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．
【例6】 (1)命题p： x>0，>0的否定 p是( )
A． x>0，≤0 B． x>0，0≤x≤1
C． x>0，≤0 D． x<0，0≤x≤1
(2)已知命题p： x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且 p是假命题，则实数a的取值范围是________．
(1)B (2)[－3，1] [(1)由题意得命题p： x>0，>0，即p： x>0，x<0或x>1，所以命题p的否定 p： x>0，0≤x≤1．故选B．
(2)因为 p是假命题，所以p是真命题．
又 x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，所以{x|－3≤x≤2} {x|a－4≤x≤a＋5}，
则解得－3≤a≤1．即实数a的取值范围是[－3，1]．]
章末综合测评(一) 集合与常用逻辑用语
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝( )
A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}
C．{1，2，4，6，8} D．U
A [由题意知， UN＝{2，4，8}，所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}．故选A．]
2．(2024·全国甲卷)若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝( )
A．{1，3，4} B．{2，3，4}
C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，9}
C [依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9，
则x可能的取值为0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}，
于是A∩B＝{1，2，3，4}．故选C.]
3．下列命题中，真命题是( )
A．集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示不同的集合
B． x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D． x∈R，x2＋2≤0
A [对于A选项，由描述法的概念可知集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}分别表示点的集合与数的集合，显然表示不同的集合，故A正确；当x＝2时，2x＝x2，故B错误；
当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故C错误； x∈R，x2＋2>0，故 x∈R，x2＋2≤0错误．故选A．]
4．命题p：存在一个整数n，使n2＋1是4的倍数．则p的否定是( )
A． n∈Z，n2＋1不是4的倍数
B． n∈Z，n2＋1是4的倍数
C． n∈Z，n2＋1不是4的倍数
D． n∈Z，n2＋1是4的倍数
A [存在量词命题的否定是全称量词命题，因此命题p的否定是“ n∈Z，n2＋1不是4的倍数”．]
5．集合A＝{x|3x＋2>m}，若－1 A，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
C [∵集合A＝{x|3x＋2>m}，－1 A，
∴3×(－1)＋2≤m，
即m≥－1，故选C．]
6．如图所示，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．( IA∩B)∩C B．( IB∪A)∩C
C．(A∩B)∩ IC D．(A∩ IB)∩C
D [补集 IB画成维恩图如图①，交集A∩ IB画成维恩图如图②，而(A∩ IB)∩C画成维恩图就是题目的维恩图．
图① 图②]
7．“”是“>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [∵ >0，
>0 或
∴“”是“>0”的充分不必要条件．
故选A．]
8．已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}，若集合A有且仅有两个子集，则实数a的取值为( )
A． B．
C． D．
D [若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，讨论：①当a＝1时，x＝，满足题意；②当a≠1时，Δ＝8a＋1＝0，所以a＝－．综上所述，a＝－或1．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中是真命题的为( )
A．“”是“a＋b>2”的充要条件
B．“x2＝1”是“x＝－1”的必要不充分条件
C．“a≠0或b≠0”是“ab≠0”的充要条件
D．“集合A＝ ”是“A∩B＝A”的充分不必要条件
BD [对于A选项，当 时，a＋b>2，但反之，a＋b>2不能得到故错误；对于B选项，x2＝1不一定得到x＝－1，反之x＝－1能够得到x2＝1，故正确；对于C选项，“a≠0且b≠0”是“ab≠0”的充要条件，故错误；对于D选项，由A∩B＝A得A B，所以A＝ 能够推出A∩B＝A，反之，不一定成立，故正确．]
10．对于集合A，B，定义集合运算A－B＝{x|x∈A且x B}，则下列说法正确的是( )
A．若A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则A－B＝{1，2}，B－A＝{4}
B．(A－B)∩(B－A)＝
C．(A－B)∪(B－A)＝A∪B
D．若A＝B，则A－B＝
ABD [对于A，若A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，可得A－B＝{x|x∈A且x B}＝{1，2}，B－A＝{x|x∈B且x A}＝{4}，所以A正确；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x B}，B－A＝{x|x∈B且x A}，所以(A－B)∩(B－A)＝ ，所以B正确；对于C，如维恩图所示，由A－B＝{x|x∈A且x B}，B－A＝{x|x∈B且x A}，根据集合的运算，可得(A－B)∪(B－A)＝ A∪B(A∩B)≠A∪B，所以C不正确；对于D，若A＝B，可得A－B＝{x|x∈A且x A}＝ ，所以D正确．故选ABD．]
11．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是( )
A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
BD [对选项A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；
对选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对选项C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，故C错误；
对选项D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．故选BD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若集合A＝{－1，3}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，则由实数a的取值构成的集合C＝________．
[由A∪B＝A，即B A，故B＝ ，{－1}，{3}．若B＝ 时，方程ax－2＝0无解，a＝0；若B＝，则 －a－2＝0，所以a＝－2；若B＝{3}，则3a－2＝0，所以a＝．综上，a＝0或a＝－2或a＝．]
13．设p：－m≤x≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．(本小题第一空2分，第二空3分)
1 4 [设A＝[－m，m]，B＝[－1，4]，若p是q的充分条件，则A B，所以所以0若p是q的必要条件，则B A，所以
所以m≥4，则m的最小值为4．]
14．已知集合A＝(0，2)，集合B＝(－1，1)，集合C＝{x|mx＋1>0}，若(A∪B) C，则实数m的取值范围为________．
[由题意，A∪B＝(－1，2)，
集合C＝{x|mx＋1>0}，(A∪B) C．
①m<0，x<－，所以－≥2，所以m≥－，所以－≤m<0；
②m＝0时，成立；
③m>0，x>－，所以－≤－1，所以0综上所述，实数m的取值范围为．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知集合A＝{x|1(1)当m＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数m的取值范围．
请从① x∈A且x B，②“x∈B”是“x∈A”的必要条件，这两个条件中选择一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] (1)当m＝2时，B＝{x|0(2)若选择条件①，由 x∈A且x B，得A∩B＝ ．
当B＝ 时，m－2≥2m，即m≤－2；
当B≠ 时，m－2<2m，即m>－2．
又m－2≥2或2m≤1，即m≥4或m≤，
所以m≥4或－2综上所述，m的取值范围为．
若选择条件②，由“x∈B”是“x∈A”的必要条件得A B，即所以1≤m≤3，所以m的取值范围为[1，3]．
16．(15分)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{2(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)若C (A∪B)，求a的取值范围．
[解] (1)因为集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{2故A∪B＝{x|2(2)依题意可知，
①当C＝ 时，有5－a≥a，得a≤；
②当C≠ 时，有解得综上所述，所求实数a的取值范围为(－∞，3]．
17．(15分)已知p： x∈R，m[解] 由x∈R得x2－1≥－1，
若p： x∈R，m则m<－1．
若q： x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真命题，
则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
所以4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2．
因为p，q都是真命题，所以
所以－2≤m<－1．
所以实数m的取值范围为[－2，－1)．
18．(17分)已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|a－1(1)当a＝2时，求( UA)∩( UB)；
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[解] (1)因为A＝＝{x|25}， UB＝{x|x≤1或x≥3}，因此，( UA)∩( UB)＝{x|x≤1或x>5}．
(2)易知集合B＝{x|a－1因此，实数a的取值范围是[3，4]．
19．(17分)已知A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，xy∈A，则称A是封闭集．
(1)判断集合B＝{0}，C＝{－1，0，1}是否为封闭集，并说明理由．
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由．
①命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集；
②命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠ ，则A1∩A2也是封闭集．
(3)若非空集合A是封闭集，且A≠R，R为全体实数集，求证： RA不是封闭集．
[解] (1)对于集合B＝{0}，因为0＋0＝0∈B，0×0＝0∈B，所以B＝{0}是封闭集；
对于集合C＝{－1，0，1}，因为－1＋0＝－1∈C，－1×0＝0∈C，－1＋1＝0∈C，－1×1＝－1∈C，
0＋1＝1∈C，0×1＝0∈C，
所以集合C＝{－1，0，1}是封闭集．
(2)①对命题p：令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，则集合A1，A2是封闭集，如A1＝{0，－2}，A2＝{0，3}，但A1∪A2＝{0，－2，3}不是封闭集，故p为假命题．
②对于命题q：设a，b∈(A1∩A2)，则有a，b∈A1，又因为集合A1是封闭集，所以a＋b∈A1，ab∈A1，
同理可得a＋b∈A2，ab∈A2．
所以a＋b∈(A1∩A2)，ab∈(A1∩A2)，
所以A1∩A2是封闭集，故q为真命题．
(3)证明：因为非空集合A是封闭集，且A≠R，
所以 RA≠ ， RA≠R，
假设 RA是封闭集，
由(2)的命题q可知，若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠ ，则A1∩A2也是封闭集，
又因为A∩( RA)＝ ，
所以 RA不是封闭集，得证．
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