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第2课时 充要条件
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
1.2.3 充分条件、必要条件
学习任务 1．理解充要条件的概念．(数学抽象)
2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(逻辑推理)
3．会进行简单的充要条件的证明．(逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“我临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，站起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．
问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．
知识点 充要条件
1．充要条件的概念
一般地，如果___________，则称p是q的__________条件，简称________，记作p q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”．
p q且q p
充分必要
充要条件
2．充要条件的判断
概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
(1)如果p q且q p，则称p是q的__________条件．
(2)如果p q且q p，则称p是q的__________条件．
(3)如果p q且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
充分不必要
必要不充分
思考 (1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q．
(2)①p是q的充要条件，说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q，说明q是条件，p是结论．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立． ( )
[提示] 若p q或q p，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确．
(2)若p q和q p有一个成立，则p一定不是q的充要条件． ( )
[提示] 当p是q的充要条件时，p q，且q p，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确．
[提示] 因为p q，q r，所以p r，所以p是r的充要条件．
√
√
√
(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件． ( )
2．已知集合A＝{x|a－2
{a|0≤a≤2}
关键能力·合作探究释疑难
类型1 充要条件的判断
【例1】 (1)(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是( )
√
√
(2)指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选择)．
①p：|x|<3，q：x<3；
②p：ac>bc，q：a>b；
③p：两直线平行，q：同位角相等；
④p：设集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2，4}，则A∩B＝{4}，q：a＝2．
(1)BD [由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．]
(2)[解] ①|x|<3 －3所以p是q的充分不必要条件．
②ac>bc a>b，a>b ac>bc，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
③两直线平行 同位角相等，同位角相等 两直线平行，所以p是q的充要条件．
④A∩B＝{4}，则4∈A，a2＝4，a＝2或a＝－2，充分性不满足；
a＝2时，A＝{1，4，－2}，因此有A∩B＝{4}，必要性满足，因此p是q的必要不充分条件．
反思领悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
(4)等价法：将命题转化为另一个等价且便于判断真假的命题，再去判断．
[跟进训练]
1．在下列四个结论中，正确的有( )
①设x∈R，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③“a2>b2”是“a>b”的充分不必要条件；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
√
C [对于结论①，∵x>2 x>1，但x>1 x>2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0 a，b不全为0，反之，由a，b不全为0 a2＋b2≠0，故④正确；
对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2＝BC2，故②错误；
对于结论③，a2>b2不一定推出a>b，故③错误．]
类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用
【例2】 已知命题p：－2≤x≤10，命题q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
反思领悟 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围的步骤
(1)化简p，q两命题．
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系．
(3)利用集合间的关系建立不等式(组)．
(4)求解参数范围．
类型3 有关充要条件的证明或求解
【例3】 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0．
①证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．
②证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
[母题探究]
(变条件)将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”，“a＋b＋c＝0”改为“ac<0”，如何证明？
反思领悟 充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
提醒：证明时一定要注意，要从充分性和必要性两个方面进行，而且分清充分性与必要性的证明方向．
[跟进训练]
3．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2．
[证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，
所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，
设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1x2＝1>0，所以x1，x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．
即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2．
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
√
A [当x＝1时，x2－2x＋1＝0．由x2－2x＋1＝0, 解得x＝1，
所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的充要条件．]
2
3
题号
4
1
B [“攻破楼兰”不一定会“返回家乡”，不充分；“返回家乡”了一定是“攻破楼兰”的前提下，必要．]
2．王昌龄是唐代著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
√
2
3
题号
4
1
{x|00，且1－x>0，
∴03．在平面直角坐标系中，点(x，1－x)在第一象限的充要条件是__________．
{x|02
3
题号
4
1
(－∞，－2] [因为“x≤－2”是“x4．若“x≤－2”是“x(－∞，－2]
[提示] (1)原理：
判断p是q的充要条件，主要是判断p q及q p这两个命题是否成立．
(2)方法：
①若p q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②若q p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；
③若二者都成立，则p与q互为充要条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何从命题的角度判断p是q的充要条件？
[提示]
2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件？
若A B，则p是q的充分条件，若A
B，则p是q的充分不必要条件
若B A，则p是q的必要条件，若B
A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．第2课时 充要条件
学习任务 1．理解充要条件的概念．(数学抽象) 2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(逻辑推理) 3．会进行简单的充要条件的证明．(逻辑推理)
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“我临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，站起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．
问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．
知识点 充要条件
1．充要条件的概念
一般地，如果p q且q p，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”．
2．充要条件的判断
概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
(1)如果p q且qp，则称p是q的充分不必要条件．
(2)如果pq且q p，则称p是q的必要不充分条件．
(3)如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q．
(2)①p是q的充要条件，说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q，说明q是条件，p是结论．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立． ( )
(2)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件． ( )
(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
[提示] (1)当p是q的充要条件时，p q，且q p，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确．
(2)若pq或qp，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确．
(3)因为p q，q r，所以p r，所以p是r的充要条件．
2．已知集合A＝{x|a－2{a|0≤a≤2} [A∩B＝ 0≤a≤2．]
类型1 充要条件的判断
【例1】 (1)(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是( )
A B C D
(2)指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选择)．
①p：|x|<3，q：x<3；
②p：ac>bc，q：a>b；
③p：两直线平行，q：同位角相等；
④p：设集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2，4}，则A∩B＝{4}，q：a＝2．
(1)BD [由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．]
(2)[解] ①|x|<3 －3所以p是q的充分不必要条件．
②ac>bca>b，a>bac>bc，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
③两直线平行 同位角相等，同位角相等 两直线平行，所以p是q的充要条件．
④A∩B＝{4}，则4∈A，a2＝4，a＝2或a＝－2，充分性不满足；
a＝2时，A＝{1，4，－2}，因此有A∩B＝{4}，必要性满足，因此p是q的必要不充分条件．
判断充分条件、必要条件及充要条件的方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
(4)等价法：将命题转化为另一个等价且便于判断真假的命题，再去判断．
[跟进训练]
1．在下列四个结论中，正确的有( )
①设x∈R，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③“a2>b2”是“a>b”的充分不必要条件；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
C [对于结论①，∵x>2 x>1，但x>1x>2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0 a，b不全为0，反之，由a，b不全为0 a2＋b2≠0，故④正确；
对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2＝BC2，故②错误；
对于结论③，a2>b2不一定推出a>b，故③错误．]
类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用
【例2】 已知命题p：－2≤x≤10，命题q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解] (1)因为p是q的充分不必要条件，所以p q且qp，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或解得m≥9．
所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．
(2)设p代表的集合为A＝{x|－2≤x≤10}，q代表的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
因为p是q的必要不充分条件，所以B?A，
故有或解得m≤3．
又m>0，
所以实数m的取值范围为(0，3]．
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围的步骤
(1)化简p，q两命题．
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系．
(3)利用集合间的关系建立不等式(组)．
(4)求解参数范围．
[跟进训练]
2．已知集合A＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B＝．
(1)若m＝，求A∩( RB)；
(2)若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．
[解] (1)由B＝，
则 RB＝，
若m＝，则A＝，
所以A∩( RB)＝．
(2)若x∈B是x∈A的必要条件，则A B．
当2m－1>m＋1时，即m>2时，A＝ ，符合题意；
当2m－1≤m＋1时，即m≤2时，A≠ ，要满足A B，可得≤2m－1≤m＋1<2，解得≤m<1．
综上，实数m的取值范围为∪(2，＋∞)．
类型3 有关充要条件的证明或求解
【例3】 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0．
①证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．
②证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
[母题探究]
(变条件)将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”，“a＋b＋c＝0”改为“ac<0”，如何证明？
[证明] 充分性：因为ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，方程ax2＋bx＋c＝0中有两个不等实根，由根与系数关系可知这两个根的积为<0，所以方程ax2＋bx＋c＝0(※)有一个正根和一个负根，所以ac<0 方程(※)有一个正根和一个负根．
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，
由根与系数关系可知这两个根的积为<0，
所以ac<0，所以方程(※)有一个正根和一个负根 ac<0．
从而ac<0 方程(※)有一个正根和一个负根，因此ac<0是方程(※)有一个正根和一个负根的充要条件．
充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
提醒：证明时一定要注意，要从充分性和必要性两个方面进行，而且分清充分性与必要性的证明方向．
[跟进训练]
3．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2．
[证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，
所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，
设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1x2＝1>0，所以x1，x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．
即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2．
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，
设其为x1，x2，且x1x2＝1，
所以
即
所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2．
综上可知，m≥2是方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A [当x＝1时，x2－2x＋1＝0．由x2－2x＋1＝0, 解得x＝1，
所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的充要条件．]
2．王昌龄是唐代著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [“攻破楼兰”不一定会“返回家乡”，不充分；“返回家乡”了一定是“攻破楼兰”的前提下，必要．]
3．在平面直角坐标系中，点(x，1－x)在第一象限的充要条件是________．
{x|00，且1－x>0，
∴04．若“x≤－2”是“x(－∞，－2] [因为“x≤－2”是“x回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何从命题的角度判断p是q的充要条件？
[提示] (1)原理：
判断p是q的充要条件，主要是判断p q及q p这两个命题是否成立．
(2)方法：
①若p q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②若q p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；
③若二者都成立，则p与q互为充要条件．
2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件？
[提示]
若A B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
课时分层作业(九) 充要条件
一、选择题
1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [由A∩B＝A可知A B；
反过来A B，则A∩B＝A，
故选C．]
2．已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [因为a>6 a2>36，
所以“a>6”是“a2>36”的充分条件．
因为a2>36 a>6或a<－6，
所以“a>6”是“a2>36”的不必要条件．
故选A．]
3．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [根据题意得，AB，B A，
B C，D C，CD，
所以D C B A，即D A，
可从集合的角度考虑得出AD，
所以A是D的必要不充分条件．]
4．(多选)设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件可以是( )
A．x>1 B．x>2 C．x≥2 D．x>3
AC [由x>2，可得构成集合M＝{x|x>2}，结合选项，可得集合{x|x>1}，
{x|x≥2}均真包含M，
所以x>1与x≥2是x>2的一个必要不充分条件．]
5．(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
B [(法一)若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，
所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，
所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab a2＝b2．
所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．
(法二)因为“a2＝b2” “a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab” “a＝b”，
所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系．
又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，
所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．]
二、填空题
6．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．则“有毛”是“有皮”的________．(将正确的序号填在横线上)
①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．
① [由题意知，“无皮” “无毛”，所以“有毛” “有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故填①．]
7．若p：x－3<0是q：2x－3{m|m>3} [由x－3<0得x<3，由2x－3{x|x<3}?，
所以(m＋3)>3，解得m>3．]
8．已知2a－b＝3，则使得“m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立”的一个充分不必要条件为________．(用含m的式子表示)
m＝0(答案不唯一，满足m>－1均可) [2a－b＝3，则b＝2a－3，所以－a2＋b＋1＝－a2＋2a－3＋1＝－a2＋2a－2＝－(a－1)2－1，所以a＝1时，－a2＋b＋1取得最大值为－1，因此m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立的充要条件是m>－1，在此范围内任取一数均可．]
三、解答题
9．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[解] ①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足 0综上，若方程至少有一个负实根，则a≤．
反之，若a≤，则方程至少有一个负实根．
因此关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一负实根的充要条件是a≤．
10．(多选)已知集合A＝{x|－1A．m≤－2 B．m<－2
C．m<2 D．－4BD [因为集合A＝{x|－1所以A∩B＝ 等价于m＋1≤－1，即m≤－2，
对比选项，m<－2，－411．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1．
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，
∴max＝．
又∵l＝1，
∴min＝，
即＝或＝，得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件．]
12．对于集合A，B及元素x，若A B，则“x∈B”是“x∈A∪B”的________(选填“充分”“必要”或“充要”)条件．
充要 [由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故“x∈B”是“x∈A∪B”的充要条件．]
13．设p：实数x满足a0)，q：实数x满足2 [因为q是p的充分不必要条件，
所以q对应的集合是p对应集合的真子集，
所以(2，5]?(a，4a)，其中a>0，
则得得即实数a的取值范围是．]
14．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面的问题中横线部分．若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由．
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|1－a≤x≤1＋a，a>0}，是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________？
[解] 选①，则A是B的真子集，则1－a≤0且1＋a≥4(两等号不同时取)，又a>0，解得a≥3，
所以a存在，a的取值范围为{a|a≥3}．
选②，则B是A的真子集，则1－a≥0且1＋a≤4(两等号不同时取)，又a>0，解得0选③，则A＝B，则1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程组无解，所以不存在满足条件的a．
15．对于非零实数x，y有x>y，试探求<的充要条件，并加以证明．
[解] 充要条件是xy>0，证明如下：
必要性：由<，知>0，又x>y，则x－y>0，所以xy>0．
充分性：因为x>y，所以y－x<0．
因为xy>0，所以>0，
所以<0，即<．
综上所述，对于非零实数x，y，当x>y时，<的充要条件是xy>0．
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