第一章 空间向量与立体几何章末检测试题（含解析）

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第一章 空间向量与立体几何章末检测试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是空间的一个基底,若,,则(　　 )
A．是空间的一个基底 B．是空间的一个基底
C．是空间的一个基底
D．与中的任何一个都不能构成空间的一个基底
2.已知向量=(0,2,1),=(-1,1,-2),则与的夹角为(　 　)
A.0° B.45° C.180° D.90°
3.在四面体 中，， 分别是 ， 的中点，若 ，
则 ( )
A. B. 1
C. D. 2
4.已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（ ）
A. B. C. D.
5.空间直角坐标系中的点 关于平面 的对称点 与点 间的距离为 ( )
A． B． C． D．
6.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为(　　 )
A． B． C． D．
7.已知向量 ，，，若 ，则 与 的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
8.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB,则CD与平面BDC1夹角的正弦值等于(　　 )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则（ ）
A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
10.在三棱锥中，若平面的一个法向量为，且二面角的大小的余弦值为，则平面的法向量可能为( )
A. B. C. D.
11.在正三棱柱ABC- 中，AB=A ，点P满足 ，其中λ∈[0,1]， ∈[0,1]，则（ ）
A. 当λ=1时，△ P的周长为定值
B. 当 =1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C. 当λ= 时，有且仅有一个点P，使得
D. 当 = 时，有且仅有一个点P，使得 B⊥平面A P.
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，若 ，则 ．
13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的
距离为_______.
14.如图，在正四棱锥中，，点为的中点，
若，则实数______．
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
⑴求以向量为邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量分别与向量垂直，且,求向量的坐标．
16.（本题满分15分）
如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
⑴证明:PO⊥平面ABC;
⑵若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的
正弦值.
17.（本题满分15分）
如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰
梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED=，FB=，M为AD的中点.
⑴证明：BM∥平面CDE；
⑵求二面角F-BM-E的正弦值.
18.（本题满分17分）
某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
⑴若O是四边形EBCF对角线的交点，
求证：AO//平面GCF；
⑵若二面角A-EF-B是直二面角，
求点B到平面GCF的距离．

19.（本题满分17分）
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,BC=1,PC=PD=,E为PB中点.
⑴求证:PD∥平面ACE;
⑵求二面角E-AC-D的余弦值;
⑶在棱PD上是否存在点M,使得AM⊥BD 若存在,求的值;若不存在,说明理由．
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是空间的一个基底,若,,则(　　 )
A．是空间的一个基底 B．是空间的一个基底
C．是空间的一个基底
D．与中的任何一个都不能构成空间的一个基底
【答案】C
【解析】∵,∴共面，不是空间的一个基底；同理，也不是空间的一个基底；假设,其中,即,得,这与是空间的一个基底矛盾,故是空间的一个基底.故选C.
2.已知向量=(0,2,1),=(-1,1,-2),则与的夹角为(　 　)
A.0° B.45° C.180° D.90°
【答案】D
【解析】∵∴故选D.
3.在四面体 中，， 分别是 ， 的中点，若 ，
则 ( )
A. B. 1
C. D. 2
【答案】B
【解析】方法1：如图所示，连接 ，∵， 分别是 ， 的中点，∴，.又 ，∴．故选B.
方法2：∵ ，，， 四点共面，∴由共面向量定理可知 ．故选B.
4.已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】根据题意，，则平面的法向量与平面的法向量平行，
依次分析选项： 对于A，与不共线，不符合题意；
对于B，与不共线，不符合题意； 对于C，与不共线，不符合题意； 对于D，，两个向量共线，可以作为平面的一个法向量，符合题意. 故选D.
5.空间直角坐标系中的点 关于平面 的对称点 与点 间的距离为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，， ，
∴ ，．故选A.
6.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为(　　 )
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】设Q(x,y,z),∵点Q在上，∴,即x=λ,y=λ,z=2λ,则Q(λ,λ,2λ),=(1-λ,2-λ,3-2λ),
=(2-λ,1-λ,2-2λ),∴(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=,故当λ=时，取得最小值，此时Q .故选A.
7.已知向量 ，，，若 ，则 与 的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，且 ，∴，∴，
∵，∴.故选C.
8.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB,则CD与平面BDC1夹角的正弦值等于(　　 )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法1：如图，连接AC，交BD于O,由正四棱柱的性质，有AC BD,
∵CC1 平面ABCD,∴CC1 BD,
又AC∩CC1=C，∴BD 平面CC1O,
在平面CC1O内作CH C1O,垂足为H，则BD CH，
又BD∩C1O=O，∴CH 平面BDC1，
连接DH,则DH为CD在平面BDC1上的射影，∴∠CDH为CD与平面BDC1的夹角，
设AA1=2AB=2，在Rt△C1CO中，CH=,
在Rt△CHD中，,故选B.
方法2：设AA1=2AB=2，如图，以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),
∴=(0,1,0),=(1,1,0),=(0,1,2),
设平面BDC1的法向量为,则
,即,设x=2,则y=-2,z=1,=(2,-2,1),
设CD与平面BDC1的夹角为θ，则
,故选B.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则（ ）
A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
【答案】ABD
【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可以证明BC1 DA1，BC1 CA1，直线BC1与平面ABCD所成的角为45°，而直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°．故选ABD.
10.在三棱锥中，若平面的一个法向量为，且二面角的大小的余弦值为，则平面的法向量可能为( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A选项,,不满足题意;对于B选项，，，满足题意对于C选项，，， 满足题意对于D选项，，，满足题意. 故选BCD.
11.在正三棱柱ABC- 中，AB=A ，点P满足 ，其中λ∈[0,1]， ∈[0,1]，则（ ）
A. 当λ=1时，△ P的周长为定值
B. 当 =1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C. 当λ= 时，有且仅有一个点P，使得
D. 当 = 时，有且仅有一个点P，使得 B⊥平面A P
【答案】BD
【解析】由 点P满足 可知点P在正方形BCC1B1内，
对于A，当λ=1时，可知点P在CC1（包括端点）上运动，如下图所示，△AB1P中， ，
因此周长L=AB+AP+B1P不为定值，故A错误;
对于B，当μ=1时，可知点P在B1C1（包括端点）上运动，如下图所示，
易知B1C1//平面A1BC，即点P到平面A1BC的距离处处相等，
△A1BC的面积是定值，所以三棱锥P-A1BC的体积为定值，故B正确；.
对于C，当时，分别取线段BB1 ， CC1的中点M,N，可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如下图所示，
很显然若点P与D,D1重合，均满足题意，故C错误；
对于D，当时，分别取线段BB1 ， CC1的中点D,D1 ， 可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如下图所示，
此时，有且只有点P与点N重合时，满足题意，故D正确.
故选BD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，若 ，则 ．
【答案】-16.
【解析】∵，∴ ，且 ，，
∴ ，解得 ，．
∴m+n=-18．
13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为_______.
【答案】.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),A1(2,0,4),
∴=(0,2,4),=(-2,0,4),=(0,0,4),
设平面AB1D1的法向量为则
,即,
令z=1,则x=2,y=-2,=(2,-2,1),
∴点A1到截面AB1D1的距离.
14.如图，在正四棱锥中，，点为的中点，
若，则实数______．
【答案】4.
【解析】连结，交于，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，设，则，
∵，∴，∴，
∴，，，
∵，∴，
解得实数．
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
⑴求以向量为邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量分别与向量垂直，且,求向量的坐标．
【答案】⑴; ⑵=(1,1,1)或=(-1,-1,-1).
【解析】⑴∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∴,
∴∠BAC=60°,
∴S=.
⑵设,由 ，得-2x-y+3z=0,
由 ，得x-3y+2z=0,
由,得,
解得x=y=z=1或x=y=z=-1,
∴=(1,1,1)或=(-1,-1,-1).
16.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
⑴证明:PO⊥平面ABC;
⑵若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的
正弦值.
【答案】⑴详见解析; ⑵．
【解析】⑴证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2连接OB,
∵AB=BC=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.
由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
⑵如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),
=(0,2,2).取平面PAC的法向量=(2,0,0),
设M(a,2-a,0)(0设平面PAM的法向量为=(x,y,z)，则
,即
取z=-a,得y=,x=,,
∴,
由已知可得,
∴,解得a=-4(舍去),a=
∴,
又=(0,2,-2),
∴,
∴PC与平面PAM所成角的正弦值为.
17.如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰
梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED=，FB=，M为AD的中点.
⑴证明：BM∥平面CDE；
⑵求二面角F-BM-E的正弦值.
【答案】⑴详见解析；⑵.
【解析】⑴证明：∵AD=4，M为AD的中点.
∴MD=2=BC,
又BC∥AD，即BC∥MD，
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴BM∥CD，
又CD 面CDE,BM 面CDE,
∴BM∥平面CDE.
⑵取AM的中点为O，连接BO，FO，
∵BM=CD=AB=2,又AM=AD=2,
∴BO AM,BO=,
又∵四边形ADEF为等腰梯形，M为AD的中点，
∴EF∥DM，EF=DM=2，
∴四边形DEFM为平行四边形，
∴FM=ED=FA=,又AO=AM=1,
∴OF AM,OF==3,
又FB=，∴,
∴∠BOF=90°,OF BO,
如图，分别以OB,OD,OF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(,0,0),
M(0,1,0),F(0,0,3),E(0,2,3),
=(,-1,0),=(0,-1,3),=(0,1,3),
设平面BMF的法向量为,则
,即，解得,
∴(,3,1),
设平面BME的法向量为,则
,即，解得,
∴(,3,-1),
∴,
.
则二面角F-BM-E的正弦值为.
18.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
⑴若O是四边形EBCF对角线的交点，
求证：AO//平面GCF；
⑵若二面角A-EF-B是直二面角，
求点B到平面GCF的距离．

【答案】⑴详见解析; ⑵.
【解析】⑴证明：取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，
四边形EBCF是矩形，且CB=2EB，
∴O是线段BF与CE的中点，
∴ OH//BC且OH=BC，在图1中知AG//BC且AG=BC，EF//BC且EF=BC，
∴在图2中，AG//BC且AG=BC，AG//OH且AG=OH，
∴四边形AOHG是平行四边形，
∴AO//HG，
由于AO 平面GCF，HG 平面GCF，
∴AO//平面GCF.
⑵由图1，EF AE，EF BE,折起后在图2中仍有 EF AE，EF BE，
∴∠AEB即为二面角A-EF-B的平面角，∴∠AEB=90°，
以E为坐标原点，,分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系E-xyz，则B(2,0,0)、C(4,2,0)、F(0,4,0)、A(0,0,2)、G(0,2,2)，
∴=( 2,4,0),=(2,0,0),=(0, 2,2)，，
设平面GCF 的一个法向量为=( x , y, z)，则
，即，
取y=1,则z=1,于是平面GCF的一个法向量=(0,1,1),
∴点B到平面GCF的距离为d=.
19.图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,BC=1,PC=PD=,E为PB中点.
⑴求证:PD∥平面ACE;
⑵求二面角E-AC-D的余弦值;
⑶在棱PD上是否存在点M,使得AM⊥BD 若存在,求的值;若不存在,说明理由．
【答案】⑴详见解析； ⑵-; ⑶在棱PD上存在点M,使AM⊥BD,且．
【解析】⑴证明:设BD交AC于点F,连接EF.
∵底面ABCD是矩形,∴F为BD中点.
又∵E为PB中点,∴EF∥PD.
∵PD 平面ACE,EF 平面ACE,
∴PD∥平面ACE.
⑵取CD的中点O,连接PO,FO.
∵底面ABCD为矩形,∴BC⊥CD.
∵PC=PD,O为CD中点,∴PO⊥CD,OF∥BC,∴OF⊥CD.
又∵平面PCD⊥平面ABCD,PO 平面PCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,
∴PO⊥平面ABCD.
如图,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(1,-1,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),E(),
∴=(-1,2,0),,
设平面ACE的一个法向量为=(x,y,z),则
,
令y=1,则x=2,z=-1,所以=(2,1,-1).
平面ACD的法向量为=(0,0,1),
则cos<,>==-
如图可知二面角E-AC-D为钝角,所以二面角E-AC-D的余弦值为-
⑶在棱PD上存在点M,使AM⊥BD.
设=λ(λ∈[0,1]),M(x,y,z),=,D(0,-1,0).
∵(x,y,z-1)=λ(0,-1,-1),
∴M(0,-λ,1-λ)=(-1,1-λ,1-λ),=(-1,-2,0).
∵AM⊥BD,
∴=0.
即1-2(1-λ)=0,解得λ=[0,1].
∴在棱PD上存在点M,使AM⊥BD,且
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