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人教版八年级数学上名师点拨精练
第11章 三角形
11.2.1 三角形的内角（1）
学习目标
1.阐述并验证三角形内角和定理.
2.会用三角形内角和探索直角三角形性质与判定.
3.会运用三角形内角和定理进行计算.
老师告诉你
根据三角形内角和定理，当已知三角形两个内角时，可以求出第三个角；
三角形三个内角中至少有两个是锐角，三角形中最大角不小于60°。
知识点拨
知识点1 三角形内角和定理
◆1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
◆2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
◆3.三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
【新知导学】
例1-1．一个三角形三个内角的度数之比是2：3：5，则这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
【对应导练】
1．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 105° D. 120°
2．如图，CE是△ADC的边AD上的高．若∠BAD=40°，∠ECD=25°，则∠B的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
3．将两块直角三角尺按如图摆放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°，∠DCB=45°，若AC，BD相交于点E，则∠AED的大小为（ ）
A. 110° B. 105° C. 95° D. 75°
4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 _____．
5．等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角的度数为______．
知识点2 三角形内角和定理的应用：
主要用在求三角形中角的度数．
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
【新知导学】
例2-1．新知探究：
光在反射时，光束的路径可用图（1）来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：∠β=∠α．
（1）试根据所学过的知识及新知说明∠1=∠2．
问题解决：
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图（2）当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD．
（2）当AB∥CD，∠DCF=60°时，求∠ABC的度数．
（3）当∠O=90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于180°）
【对应导练】
1．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
2．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为（ ）
A. B.
C. D.
3．《周礼 考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=矩，1欘=1宣（其中，1矩=90°）．
问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C=_____度．
4．如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是_________．
题型训练
题型1利用三角形内角和定理求角
1.如图所示的几何图形，的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
题型2 利用三角形内角和定理解决实际问题
如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A．B两处的视角∠P的度数是（ ）
A．30° B．32° C．35° D．40°
4．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是________
5．如图，是A，B，C三个便民核酸采样点和小亮家(点D)的平面图，已知A，B，C三点在同一条东西方向的路段上，D在A的北偏东方向，在C的北偏西方向，且点B到A，D两点的距离相等，试求出从小亮家(点D)观测检测点B，C两处的视角的度数.
题型3 利用三角形内角和与平行线综合解决问题
6．如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD=25°，∠EBC=80°，则∠ACB的度数为（ ）
A. 65° B. 75° C. 85° D. 95°
7．如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，若，求的度数．
牛刀小试
填空题（每小题4分，共32分）
1．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（ ）
A. 55° B. 70° C. 70°或55° D. 70°或40°
2．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
A. 72° B. 85° C. 65° D. 80°
3．将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A. 55° B. 65° C. 70° D. 75°
4．将两块直角三角尺按如图摆放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°，∠DCB=45°，若AC，BD相交于点E，则∠AED的大小为（ ）
A. 110° B. 105° C. 95° D. 75°
5．已知，如图，AB∥CD，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在AB和CD上，则∠AEF=（ ）
A. 10° B. 12° C. 15° D. 18°
6．若一个三角形三个内角度数的比为2：3：5，那么这个三角形是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
7．如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D=∠C=90°，∠B=30°，点E在线段BC上，DE交AC于点F，若DE∥AB，则∠DAF的度数为（ ）
A. 15° B. 20° C. 22.5° D. 30°
8．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点恰好落在线段AB上，连接，若，则n的大小为（ ）
25 B. 40 C. 45 D. 50
填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，已知BE、CD分别是 △ABC的内角平分线，BE和CD相交于点O，且∠A＝40°，则∠DOE＝____________
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B＝___．
11．在△ABC中，∠A=∠B，过点A作AD⊥CB交直线BC于点D，∠DAC=36°，则∠C=_____°．
12．在△ABC中，∠C=40°，把△ABC沿BC边上的高AH所在直线翻折，点C落在射线CB上的点C'处，如果∠BAC'=20°，那么∠BAC=_____度．
已知△ABC中，∠A=90°，∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，则∠BOC=_____．
解答题（共6小题，48分）
14．（6分）如图，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠3=∠4，求∠DAC的度数．
15．（8分）如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°．
（1）求∠AFB的度数；
（2）若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数．
16．（8分）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=54°．
（1）求∠EAC的度数；
（2）若∠CAD：∠E=2：5；求∠E的度数．
17．（6分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
18．（10分）新知探究：
光在反射时，光束的路径可用图（1）来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：∠β=∠α．
（1）试根据所学过的知识及新知说明∠1=∠2．
问题解决：
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图（2）当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD．
（2）当AB∥CD，∠DCF=60°时，求∠ABC的度数．
（3）当∠O=90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于180°）
19．（10分）如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O．
（1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝ °，∠O＝ °；
（2）探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由；
（3）若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数．
（4）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为 ．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第11章 三角形
11.2.1 三角形的内角（1）（解析版）
学习目标
1.阐述并验证三角形内角和定理.
2.会用三角形内角和探索直角三角形性质与判定.
3.会运用三角形内角和定理进行计算.
老师告诉你
根据三角形内角和定理，当已知三角形两个内角时，可以求出第三个角；
三角形三个内角中至少有两个是锐角，三角形中最大角不小于60°。
知识点拨
知识点1 三角形内角和定理
◆1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
◆2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
◆3.三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
【新知导学】
例1-1．一个三角形三个内角的度数之比是2：3：5，则这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，再判断三角形的形状．
解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为2k°，3k°，5k°．
根据三角形内角和定理可知2k°+3k°+5k°=180°，
得k°=18°，
所以2k°=36°，3k°=54°，5k°=90°．
即这个三角形是直角三角形．
故选：B．
【对应导练】
1．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 105° D. 120°
【答案】A
【解析】根据三角形内角和定理计算即可．
解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，
故选：A．
2．如图，CE是△ADC的边AD上的高．若∠BAD=40°，∠ECD=25°，则∠B的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
【答案】B
【解析】先根据CE是△ADC的边AD上的高可知∠CED=90°，再由∠ECD=25°可得出∠CDE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
解：∵CE是△ADC边AD上的高，∠BAD=40°，
∴∠CED=90°，
∵∠ECD=25°，
∴∠EDC=90°-25°=65°，
∴∠B=∠EDC-∠BAD=65°-40°=25°．
故选：B．
3．将两块直角三角尺按如图摆放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°，∠DCB=45°，若AC，BD相交于点E，则∠AED的大小为（ ）
A. 110° B. 105° C. 95° D. 75°
【答案】B
【解析】在△BEC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BEC的度数，再结合对顶角相等，即可得出∠AED的度数．
解：在△BEC中，∠EBC=45°，∠ECB=30°，
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-45°-30°=105°，
∴∠AED=∠BEC=105°．
故选：B．
4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 _____．
【答案】140°
【解析】根据三角形外角性质求出求出∠DFB，再根据三角形外角性质求出∠α即可．
解：如图，
∵∠B=30°，∠DCB=65°，
∴∠DFB=∠B+∠DCB=30°+65°=95°，
∴∠α=∠D+∠DFB=45°+95°=140°，
故答案为：140°．
5．等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角的度数为______．
【答案】40°
【解析】已知给出了一个底角为70°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解答本题．
解：因为其底角为70°，所以其顶角=180°﹣70°×2=40°．
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．
知识点2 三角形内角和定理的应用：
主要用在求三角形中角的度数．
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
【新知导学】
例2-1．新知探究：
光在反射时，光束的路径可用图（1）来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：∠β=∠α．
（1）试根据所学过的知识及新知说明∠1=∠2．
问题解决：
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图（2）当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD．
（2）当AB∥CD，∠DCF=60°时，求∠ABC的度数．
（3）当∠O=90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于180°）
【解析】（1）利用OM⊥EF可得∠EOM=∠FOM，再由∠α=∠β即可说明；
（2）由（1）可得∠OCB=∠DCF，从而得出∠BCD，再由平行线的性质即可求解；
（3）先设出∠OBC，再由三角形内角和定理表示出∠OCB，由（1）可得∠ABE和∠DCF，从而得出∠ABC和∠BCD，相加即可证明．
解：（1）∵OM⊥EF，
∴∠EOM=∠FOM，
∵∠α=∠β，
∴∠EOM-∠α=∠FOM-∠β，
∴∠1=∠2；
（2）∵∠DCF=60°，
∴∠OCB=60°，
∴∠BCD=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=180°-∠BCD=120°；
（3）设∠OBC=x,
∴∠ABE=x,
∴∠ABC=180°-∠OBC-∠ABE=180°-2x,
∵∠O=90°，
∴∠OCB=90°-x,
∴∠DCF=90°-x,
∴∠BCD=180°-∠OCB-∠DCF=2x,
∵∠ABC+∠BCD=180°-2x+2x=180°，
∴AB∥CD．
【对应导练】
1．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
【答案】A
【解析】根据三角板可得：∠2=60°，∠5=45°，然后根据三角形内角和定理可得∠2的度数，进而得到∠4的度数，再根据三角形内角与外角的关系可得∠2的度数．
解：如图：
由题意得：∠2=60°，∠5=45°，
∵∠2=60°，
∴∠3=180°-90°-60°=30°，
∴∠4=30°，
∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．
2．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个的角即可．
解：，，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
3．《周礼 考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=矩，1欘=1宣（其中，1矩=90°）．
问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C=_____度．
【答案】22.5
【解析】根据题意可知：∠A=90°，∠B=67.5°，然后根据三角形内角和即可求得∠C的度数．
解：∵1宣=矩，1欘=1宣，1矩=90°，∠A=1矩，∠B=1欘，
∴∠A=90°，∠B=1××90°=67.5°，
∴∠C=180°-90°-∠B=180°-90°-67.5°=22.5°，
故答案为：22.5．
4．如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是_________．
【答案】
【解析】如图所示：过点作于点，先求出，再根据勾股定理即可求出的长．
如图所示：过点作于点，则∠BEC=∠DEC=90°，
，
，
∴∠BCE=90°-30°=60°，
又，
，
∴∠ECD=45°=∠D，
∴，
，
，
，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用．
题型训练
题型1利用三角形内角和定理求角
1.如图所示的几何图形，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】连接，根据三角形的内角和等于，可得，再根据，即可求解．
【规范解答】解；如图，连接，则，
∵，
∴
，
故选：D．
【考点评析】本题考查三角形内角和定理、对顶角相等，整体思想的利用是解题的关键．
2.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】利用三角形的内角和定理计算即可．
【解答】解：如图，在△ADE中，
∵∠A+∠1+∠2＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠1+∠2），
在△BMN中，
∵∠B+∠3+∠4＝180°，
∴∠B＝180°﹣（∠3+∠4），
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴180°﹣（∠1+∠2）+180°﹣（∠3+∠4）+∠5＝180°，
∴∠5＝（∠1+∠2+∠3+∠4）﹣180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，
∴∠5＝220°﹣180°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查的三角形的内角和定理，找到每一个三角形的内角是解题的关键．
题型2 利用三角形内角和定理解决实际问题
如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A．B两处的视角∠P的度数是（ ）
A．30° B．32° C．35° D．40°
【分析】在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；
【解答】解：∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，利用三角形的内角和是解题关键．
4．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是________
答案：15°
解析：由题意可得，，，，过点E作，
则，
，，
又，
，
，
.
故答案为：15°.
5．如图，是A，B，C三个便民核酸采样点和小亮家(点D)的平面图，已知A，B，C三点在同一条东西方向的路段上，D在A的北偏东方向，在C的北偏西方向，且点B到A，D两点的距离相等，试求出从小亮家(点D)观测检测点B，C两处的视角的度数.
答案：
解析：由题意可知：，，，，
，，
，
，
在中，，
.
题型3 利用三角形内角和与平行线综合解决问题
6．如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD=25°，∠EBC=80°，则∠ACB的度数为（ ）
A. 65° B. 75° C. 85° D. 95°
【答案】B
【解析】由平行线的性质可求∠ADC得度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
解：∵AD∥BE，
∴∠ADC=∠EBC=80°，
∵∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°，∠CAD=25°，
∴∠ACB=180°-25°-80°=75°，
故选：B．
7．如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）如图，根据角平分线得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，即可得证；
（2）根据平行得到，进而求出的度数，利用三角形的内角和定理求出，再次利用三角形的内角和定理求出即可．
【小问1详解】
证明：如图，
∵的平分线交于点E，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
即：是的平分线；
小问2详解】
解：如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线，以及三角形的内角和定理．熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．
牛刀小试
填空题（每小题4分，共32分）
1．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（ ）
A. 55° B. 70° C. 70°或55° D. 70°或40°
【答案】C
【解析】先分顶角为70°和底角为70°两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答．
解：当它的顶角为70°时，
它的底角度数为：（180°-70°）÷2=55°；
当它的底角为70°时，
它的底角度数为：180°-2×70°=40°；
∴它的底角度数是55°或70°．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）
A. 72° B. 85° C. 65° D. 80°
【答案】B
【解析】根据三角形内角和得出∠C=60°，再利用角平分线得出∠DBC=35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数．
解：∵在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，
∴∠C=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=35°，
∴∠BDC=180°-60°-35°=85°．
故选：B．
3．将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A. 55° B. 65° C. 70° D. 75°
【答案】C
【解析】由题意可求得∠BAC=115°，再由平行线的性质可求得∠ACD的度数，结合平角的定义即可求∠3．
解：如图，
由题意可得：∠CAE=90°，∠ACF=45°，
∵∠1=25°，
∴∠BAC=∠1+∠CAE=115°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠BAC=65°，
∴∠3=180°-∠ACD-∠ACF=70°．
故选：C．
4．将两块直角三角尺按如图摆放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°，∠DCB=45°，若AC，BD相交于点E，则∠AED的大小为（ ）
A. 110° B. 105° C. 95° D. 75°
【答案】B
【解析】在△BEC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BEC的度数，再结合对顶角相等，即可得出∠AED的度数．
解：在△BEC中，∠EBC=45°，∠ECB=30°，
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-45°-30°=105°，
∴∠AED=∠BEC=105°．
故选：B．
5．已知，如图，AB∥CD，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在AB和CD上，则∠AEF=（ ）
A. 10° B. 12° C. 15° D. 18°
【答案】C
【解析】过点F作FG∥AB，根据平行线的性质得出∠CFG=120°，进而得出∠GFD=30°，∠EFG=15°，根据FG∥AG，即可求解．
解：如图所示，过点F作FG∥AB，
∵AB∥CD，
∴FG∥AB∥CD，
∵∠FCD=60°，
∴∠CFG=180°-∠FCD=120°，
∵∠CFD=90°，
∴∠GFD=∠CFG-∠DFC=120°-90°=30°，
∵∠EFD=45°，
∴∠EFG=∠EFD-∠GFD=45°-30°=15°，
∵FG∥AB，
∴∠AEF=∠EFG=15°．
故选：C．
6．若一个三角形三个内角度数的比为2：3：5，那么这个三角形是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
【答案】A
【解析】根据三角形内角和等于180°求出最大内角的度数，再得出选项即可．
解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：5，
∴最大内角的度数是180=90°，
∴此三角形是直角三角形，
故选：A．
7．如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D=∠C=90°，∠B=30°，点E在线段BC上，DE交AC于点F，若DE∥AB，则∠DAF的度数为（ ）
A. 15° B. 20° C. 22.5° D. 30°
【答案】D
【解析】由直角三角形的两个锐角互余，求出∠CAB=60°，由DE∥AB，得出∠D+∠DAB=90°，求出∠DAB=90°，即可求出∠DAF的度数．
解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°，
∵DE∥AB，
∴∠D+∠DAB=180°，
∵∠D=90°，
∴∠DAB=180°-90°=90°，
∴∠DAF=∠DAB-∠CAB=90°-60°=30°．
故选：D．
8．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点恰好落在线段AB上，连接，若，则n的大小为（ ）
A. 25 B. 40 C. 45 D. 50
【答案】D
【解析】由旋转即得出，．从而可求出和利用等边对等角证明，再结合三角形内角和定理即可求出，即n的大小．
根据旋转可知，，
∴，
∴．
即．
故选D．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．
填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，已知BE、CD分别是 △ABC的内角平分线，BE和CD相交于点O，且∠A＝40°，则∠DOE＝____________
【答案】110°##110度
【解析】根据∠A＝40°求出∠ABC+∠ACB=140°，根据角平分线的定义求出∠EBC+∠BCD=70°，进而求出∠BOC=110°，最后根据对顶角相等即可求解．
解：如图，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∵BE、CD分别是 △ABC的内角平分线，
∴∠EBC=∠ABC，∠BCD==∠ACB，
∴∠EBC+∠BCD=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=70°，
∴∠BOC=180°-（∠EBC+∠BCD）=110°，
∴∠DOE=∠BOC=110°．
故答案为：110°
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等等知识，熟知相关知识，运用整体思想求出∠EBC+∠BCD=70°是解题关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B＝___．
【答案】77°
【解析】CF的中点T，连接DT，AT，证明AT⊥CF ，AC= AF，得到∠AFC = 45°， 根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
详解】解：取CF的中点T，连接DT，AT，
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT=CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠DAT+∠TCD＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故答案为：77°．
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加斜边上的中线．
11．在△ABC中，∠A=∠B，过点A作AD⊥CB交直线BC于点D，∠DAC=36°，则∠C=_____°．
【答案】54或126
【解析】首先在直角△ACD中，分两种情况利用三角形内角和定理和邻补角的定义求得∠BCA的度数．
解：当△ABC时锐角三角形时，如图1．
在直角△ACD中，∠ACB=90°-∠DAC=90°-36°=54°；
当△ABC是钝角三角形时，如图2．
∠ACD=90°-∠DAC=90°-36°=54°，
则∠ACB=180°-∠ACD=180°-54°=126°．
则∠ACB的度数是54°或126°．
故答案为：54或126．
12．在△ABC中，∠C=40°，把△ABC沿BC边上的高AH所在直线翻折，点C落在射线CB上的点C'处，如果∠BAC'=20°，那么∠BAC=_____度．
【答案】80或120
【解析】利用翻折变换的性质求出∠C′=40°，再利用三角形内角和定理求出∠ABC′，再求出∠ABC，可得结论．
解：如图，当点B在线段CC′上时．
由翻折的旋转可知，∠C′=∠C=40°，
∴∠ABC′=180°-∠C′-∠BAC′=180°-40°-20°=120°，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∴∠CAB=180°-∠C-∠ABC=180°-40°-60°=80°，
当点B在CC′的延长线上时，可得∠CAB=100°+20°=120°
故答案为：80或120．
13．已知△ABC中，∠A=90°，∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，则∠BOC=_____．
【答案】150°
【解析】求出∠OBC+∠OCB的度数即可解决问题．
解：∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=30°，
∴∠BOC=180°-30°=150°，
故答案为150°．
解答题（共6小题，48分）
14．（6分）如图，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠3=∠4，求∠DAC的度数．
【解析】依据三角形外角性质，即可得到∠3的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠DAC的度数．
解：∵∠1=∠2=36°，
∴∠3=∠4=∠1+∠2=72°，
在△ACD中，∠DAC=180°-（∠3+∠4）=180°-2×72°=36°．
∴∠DAC=36°，
答：∠DAC的度数为36°．
15．（8分）如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°．
（1）求∠AFB的度数；
（2）若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数．
【解析】（1）利用三角形外角的性质即可得出答案；
（2）利用三角形外角的性质得3∠ABF=93°，从而得出答案．
解：（1）∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠C=42°，∠CAE=18°，
∴∠AEB=60°，
∵∠CBD=27°，
∴∠BFE=180°-27°-60°=93°，
∴∠AFB=180°-∠BFE=87°；
（2）∵∠BAF=2∠ABF，∠BFE=93°，
∴3∠ABF=93°，
∴∠ABF=31°，
∴∠BAF=62°．
16．（8分）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=54°．
（1）求∠EAC的度数；
（2）若∠CAD：∠E=2：5；求∠E的度数．
【解析】（1）利用外角性质及∠EAD=∠EDA，可得∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD，又由角平分线的定义可得：∠EAC=∠B=54°．
（2）设∠CAD=2x,则∠E=5x,∠BAD=2x,则∠EDA=∠EAD=∠CAD+∠EAC=2x+54°，在三角形EDA中再由三角形内角和为180°建立方程求解x即可求解此题．
解：（1）∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
∴∠EAC=∠B．
∵∠B=54°，
∴∠EAC=54°．
（2）设∠CAD=2x,则∠E=5x,∠DAB=2x,
∵∠B=54°，
∴∠EDA=∠EAD=2x+54°．
∵∠EDA+∠EAD+∠E=180°，
∴2x+54°+2x+54°+5x=180°．
解得x=8°．
∴∠E=5x=40°．
17．（6分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB．
【解析】方法一：由平行线的性质得：∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，从而可求解；
方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求解．
证明：方法一：∵DE∥BC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°；
方法二：∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°．
18．（10分）新知探究：
光在反射时，光束的路径可用图（1）来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：∠β=∠α．
（1）试根据所学过的知识及新知说明∠1=∠2．
问题解决：
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图（2）当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD．
（2）当AB∥CD，∠DCF=60°时，求∠ABC的度数．
（3）当∠O=90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于180°）
【解析】（1）利用OM⊥EF可得∠EOM=∠FOM，再由∠α=∠β即可说明；
（2）由（1）可得∠OCB=∠DCF，从而得出∠BCD，再由平行线的性质即可求解；
（3）先设出∠OBC，再由三角形内角和定理表示出∠OCB，由（1）可得∠ABE和∠DCF，从而得出∠ABC和∠BCD，相加即可证明．
解：（1）∵OM⊥EF，
∴∠EOM=∠FOM，
∵∠α=∠β，
∴∠EOM-∠α=∠FOM-∠β，
∴∠1=∠2；
（2）∵∠DCF=60°，
∴∠OCB=60°，
∴∠BCD=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=180°-∠BCD=120°；
（3）设∠OBC=x,
∴∠ABE=x,
∴∠ABC=180°-∠OBC-∠ABE=180°-2x,
∵∠O=90°，
∴∠OCB=90°-x,
∴∠DCF=90°-x,
∴∠BCD=180°-∠OCB-∠DCF=2x,
∵∠ABC+∠BCD=180°-2x+2x=180°，
∴AB∥CD．
19．（10分）如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O．
（1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝ °，∠O＝ °；
（2）探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由；
（3）若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数．
（4）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为 ．
【答案】（1）80，40
（2）∠A=∠O；理由见解析
（3）∠ACB=60°；
（4）120°
【解析】（1）由三角形内角和定理可求∠A，求出∠OBC，和∠BCO，再由三角形内角和定理即可求出结论；
（2）由题中角平分线可得∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC，进而得出∠A=180°-∠ABC-180°+∠ACD=∠ACD-∠ABC，即可得出结论；
（3）AC与BO交于点E，由OCAB，证得∠ABO=∠O，由AC⊥BO，证得∠AEB=90°，故2∠O+∠O=90°，进而证得∠A=60°，∠ABC=2∠ABO即可证得结论；
（4）连接，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵∠ABC=66°，∠ACB=34°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，
∵∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O，
∴∠OBC=∠ABC=33°，∠OCD=（180°-34°）=73°，
∴∠O=∠OCD-∠OBC=40°，
故答案为：80、40；
【小问2详解】
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC，
∵CO平分∠ACD，
∴∠ACO=∠ACD，
如图，AC与BO交于点E，
∵∠AEB=∠CEO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACD，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠ABO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠A+∠ABO，
∴∠A=∠O；
【小问3详解】
解：如图，AC与BO交于点E，
∵OCAB，
∴∠ABO=∠O，
∵AC⊥BO，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABO=90°，
∴2∠O+∠O=90°，
∴∠O=30°，
∴∠A=60°，∠ABC=2∠ABO=60°，
∴∠ACB=60°；
【小问4详解】
解：如图，连接，
∵平分∠ABC，平分∠ACB，
∴=∠ABC，=∠ACB，
∵=120°，
∴=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折叠，
∴，，
∵∠1=，∠2=，
∴∠1+∠2=2=2∠BAC=2×60°=120°，
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第11章 三角形
11.2.1 三角形的内角（2）
学习目标
1.知道直角三角形两锐角互余
2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形
3.能应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理.
老师告诉你
直角三角形的性质
直角三角形两锐角互余；
直角三角形两直角边分别是另一直角边上的高。
直角三角形的判定
有一个角是直角的三角形是直角三角形；
有两个角互余的三角形是直角三角形。
知识点拨
知识点1：直角三角形的两锐角互余
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC.
定理应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°.
【新知导学】
例1-1 .①.如图(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由.
②如图(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
【对应导练】
1．在中，，，点D在AB边上，连接CD，若为直角三角形，求的度数.
2．在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为_________度.
3．如图，，，垂足为E，，则的度数是( )
A. B. C. D.
4 .如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
知识点2：有两个角互余的三角形是直角三角形
有两个角互余的三角形是直角三角形.
定理应用格式：
∵ ∠A+∠B=90°，
∴ △ABC是直角三角形.
【新知导学】
例2-1．在下列条件中：
①；
②；
③；
④，
能确定是直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【对应导练】
1.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
2．在中，，则为( )三角形.
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.等腰
3．已知在中,,则的形状是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
二、题型训练
1.直角三角形两锐角互余的应用
1．在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．
(1)求，；
(2)直接写出与的关系．
2．如图，在中，，点为上一点，过点作于点．
(1)当平分，且时，求的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．
3．如图，在中，，于D．
(1)求证：；
(2)若平分分别交、于E、F，求证：．
4．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
2.两锐角互余的三角形是直角三角形的应用
5．如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
6．已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形．
7．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
三、牛刀小试
1．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．在下列条件：①；②；③；④中，不能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，，平分．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为( )
A.105° B.90° C.75° D.60°
7．在中，，则此三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
8．在下列条件中：
①；
②；
③；
④，
能确定是直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，在中，，点D在上，于点交与点F．若，则 ．
10．如图，在中，分别是边上的高，若，则的度数是 ，的度数是 ．
11．《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．
12．如图，在中，与的平分线交于点I，则的度数是 °．
13.如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则 度．
三、解答题（共6小题，48分）
14．（9分）如图，在中，，的平分线交于点，小琪在写作业时，发现如下规律：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
(1)根据上述规律，若，则________；
(2)请你用数学表达式归纳出与的关系：________；
(3)请证明你的结论．
15．（6分）（1）如图①，在中，，于点D，图中有与相等的角吗？为什么？
（2）如图②，把图①中的D点向右移动，作交于点E，图中还有与相等的角吗？为什么？
（3）如图③，把图①中的D点向左移动，作交的延长线于点E，图中还有与相等的角吗？为什么？
16．（8分）如图，是的角平分线，点在是上，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
17．（8分）如图，是的边上的高，平分交于E，．
(1)若，求的度数；
(2)若，则______．
18．（9分）阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系．
(1)特例探索：若，则______度；______度；
(2)类比探索：求，，的关系，并说明理由；
(3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由．
19．（8分）在中，是的角平分线，，
(1)如图1，是边上的高，，，求的度数；
(2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第11章 三角形
11.2.1 三角形的内角（2）（解析版）
学习目标
1.知道直角三角形两锐角互余
2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形
3.能应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理.
老师告诉你
直角三角形的性质
直角三角形两锐角互余；
直角三角形两直角边分别是另一直角边上的高。
直角三角形的判定
有一个角是直角的三角形是直角三角形；
有两个角互余的三角形是直角三角形。
知识点拨
2.知识点梳理
知识点1：直角三角形的两锐角互余
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC.
定理应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°.
【新知导学】
例1-1 .①.如图(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由.
②如图(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
①.解：∠A=∠D. 理由如下：
方法一：(利用平行的判定和性质)
∵ ∠B=∠C=90°，
∴ AB∥CD，
∴ ∠A=∠D.
方法二：(利用直角三角形的性质)
在Rt△AOB和Rt△COD中，
∵ ∠B=∠C=90°，
∴ ∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°，
∵ ∠AOB=∠COD，
∴ ∠A=∠D.
②解：∠A=∠C. 理由如下：
在Rt△AOB和Rt△COD中，
∵ ∠B=∠D=90°，
∴ ∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°，
∵ ∠AOB=∠COD，
∴ ∠A=∠C.
【点评】两个探究活动的设计让学生在活用直角三角形性质的同时，有图形归纳总结初中几何的基本图形，由形得数量，让学生学会在复杂图形中找到基本图形，掌握基本解题策略。
【对应导练】
1．在中，，，点D在AB边上，连接CD，若为直角三角形，求的度数.
答案：或
解析：当时，
，，
.
当时，
，，
，
，
或.
2．在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为_________度.
答案：40
解析：在一个直角三角形中，如果一个锐角为50°，则另一个锐角为，
故答案为：40.
3．如图，，，垂足为E，，则的度数是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
，
，
，
，
.
故选：C.
4 .如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
解：∠ACD=∠B. 理由如下：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACD+∠BCD=90°，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDC=90°，
∴ ∠B+∠BCD=90°，
∴ ∠ACD=∠B.
知识点2：有两个角互余的三角形是直角三角形
有两个角互余的三角形是直角三角形.
定理应用格式：
∵ ∠A+∠B=90°，
∴ △ABC是直角三角形.
【新知导学】
例2-1．在下列条件中：
①；
②；
③；
④，
能确定是直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：D
解析：①因为，，所以，所以，所以是直角三角形，故①正确；②因为，，所以，所以是直角三角形，故②正确；③因为，所以.因为，所以，所以是直角三角形，故③正确；④因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以是直角三角形，故④正确.
故选D.
【对应导练】
1.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°.
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
2．在中，，则为( )三角形.
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.等腰
答案：B
解析：，
可设，，，
根据三角形的内角和可得：，
解得：，
，，，
因此是直角三角形.
故选：B.
3．已知在中,,则的形状是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
答案：C
解析：,,
是直角三角形
二、题型训练
1.直角三角形两锐角互余的应用
1．在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．
(1)求，；
(2)直接写出与的关系．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可得的度数；先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求解即可得；
（2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】（1）解：在中，是高，，
，
∵在中，，，
，
∵，分别是，的角平分线，
，
．
（2）解：在中，，
∵，分别是，的角平分线，
．
2．如图，在中，，点为上一点，过点作于点．
(1)当平分，且时，求的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可；
（）由点是中点得，又，从而求解；
此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形的性质，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点是中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．如图，在中，，于D．
(1)求证：；
(2)若平分分别交、于E、F，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
（1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明．
【详解】（1）证明：，于D，
，，
；
（2）证明：在中，，
同理在中，．
又平分，
，
，
又，
．
4．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求得，根据是的角平分线，得出，根据，即可求解．
【详解】（1）解：是的角平分线，
，
在中，，
，
；
（2）在中，是高，，
，，
是的角平分线，
，
，
．
2.两锐角互余的三角形是直角三角形的应用
5．如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
【答案】，，
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理证得即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵和交于点E，
∴，
∴，，均为直角三角形．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，涉及平行线的性质、角平分线的定义、邻补角、锐角互余的三角形是直角三角形等知识，熟练掌握锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键．
6．已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理可得，据此即可证明是直角三角形．
【详解】解：在中，D是AB上一点，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于”是解题的关键．
7．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
三、牛刀小试
1．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角和等于90度是解题的关键．根据握直角三角形两锐角和等于90度求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴
∵
∴
解得：
故选：B．
2．如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，根据平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求出，最后根据直角三角形两个锐角互余求出即可．准确识图是解题的关键．
【详解】解：如图，
直尺的两边互相平行，
，
，
故选：．
3．在下列条件：①；②；③；④中，不能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①当时，不能判定是直角三角形，
故本小题不符合题意；
②，
，，，
是直角三角形，故本小题符合题意；
③设，则，
，解得，
，故本小题不符合题意；
④设，，，
则，
解得，故，
是直角三角形，故本小题符合题意；
综上所述，是直角三角形的是②④共2个．
故选：C
4．如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，由折叠的性质可得， ，再根据三角形的内角和定理即可求解．明确折叠前后对应角相等是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵将三角形纸片沿BD折叠，
∴， ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
5．如图，在四边形中，，，平分．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义求得，，再利用三角形内角和定理求得的度数，然后利用角的和差即可求得答案．
【详解】解：，
，，
，
，
平分，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为( )
A.105° B.90° C.75° D.60°
答案：C
解析：，
，
故选C.
7．在中，，则此三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案：B
解析：设，
因为，
所以，，
在中，，
即，
解得，
那么，，，
所以此三角形是直角三角形，
故选：B.
8．在下列条件中：
①；
②；
③；
④，
能确定是直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：D
解析：①因为，，所以，所以，所以是直角三角形，故①正确；②因为，，所以，所以是直角三角形，故②正确；③因为，所以.因为，所以，所以是直角三角形，故③正确；④因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以是直角三角形，故④正确.
故选D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，在中，，点D在上，于点交与点F．若，则 ．
【答案】/42度
【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，等角的余角相等是解题的关键；利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB，从而可求得∠EDF；
【详解】 ，
，
故答案为：；
10．如图，在中，分别是边上的高，若，则的度数是 ，的度数是 ．
【答案】 /20度 /40度
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，在和中，，求得和的度数，再由求得的度数，在中即可求得的度数．
【详解】解：∵在和中，分别是边上的高，
．
又，
∴在中，．
故答案为：；．
11．《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．
【答案】//．
【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．
【详解】解：由题意可知，
矩，
欘宣矩，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．
12．如图，在中，与的平分线交于点I，则的度数是 °．
【答案】135
【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∴，
故答案为：135．
13.如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则 度．
【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先利用平行线的性质求出，再利用平角的定义求出，最后根据三角形内角和定理求出
即可．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（共6小题，48分）
14．（9分）如图，在中，，的平分线交于点，小琪在写作业时，发现如下规律：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
(1)根据上述规律，若，则________；
(2)请你用数学表达式归纳出与的关系：________；
(3)请证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理求出即可；
（2）根据所给数据归纳出与的关系即可；
（3）利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理求出即可证明结论．
【详解】（1）解：在中，，
，
∵，的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）数学表达式归纳出与的关系为，
故答案为：；
（3）证明：在中，
，
∵，的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴．
15．（6分）（1）如图①，在中，，于点D，图中有与相等的角吗？为什么？
（2）如图②，把图①中的D点向右移动，作交于点E，图中还有与相等的角吗？为什么？
（3）如图③，把图①中的D点向左移动，作交的延长线于点E，图中还有与相等的角吗？为什么？
【答案】（1）有，见解析；（2）有，见解析；（3）有，见解析
【分析】（1）由可得，根据可得，然后根据等量代换即可解答；
（2）根据平移的性质得到，于是得到，在中，，再根据等量代换得到结论；
（3）根据平移的性质得到，于是得到，在中，，再根据等量代换得到结论．
【详解】解：（1）有．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）有．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）有．理由如下：
理由：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了平移的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
16．（8分）如图，是的角平分线，点在是上，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查与角平分线的关的角的计算，直角三角形两锐角互余．
（1）先根据角平分线的定义得，再根据直角三角形两锐角互余求解；
（2）根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】（1）解：是的平分线，
．
，则．
在中，，
；
（2）解：是的平分线，
，
．
17．（8分）如图，是的边上的高，平分交于E，．
(1)若，求的度数；
(2)若，则______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可知，再由直角三角形确定，然后结合图形计算即可解答．
（2）同（1）方法类似求解即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∵是的边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∵是的边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
18．（9分）阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系．
(1)特例探索：若，则______度；______度；
(2)类比探索：求，，的关系，并说明理由；
(3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由．
【答案】(1)90；40
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用．
（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：．利用三角形内角和定理即可证明．
（3）结论：．利用三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
故答案为：90，40；
（2）解：结论：，
证明：，
，
，
．
故答案为：；
（3）解：结论：，
理由是：设交于，如图
，
，即，
，
故答案为：．
19．（8分）在中，是的角平分线，，
(1)如图1，是边上的高，，，求的度数；
(2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)，证明见详解
【分析】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是．
（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题．
（2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到．
【详解】（1）解：如图1
平分，
，
，
，
，
，，
．
（2）解：结论：．
理由：如图2，过作于，
，
，
，
由（1）可得，，
．
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