【预习衔接】第一单元圆（讲义）-2024-2025学年六年级数学上册讲练测（北师大版）

第一单元 圆
（知识梳理+例题精讲+专项练习）
知识梳理
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形．
2、圆心O：圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心．圆心确定圆的位置．
半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径．在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等．半径确定圆的大小．
直径d：通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径．在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等．直径是圆内最长的线段．
3、同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或 r=d÷2
4、等圆：半径相等的圆叫做等圆，等圆通过平移可以完全重合．
同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆．
5、圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴．圆有无数条对称轴，半圆只有1条对称轴．
6、画圆：
（1）圆规两脚间的距离是圆的半径．
（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周．
7、圆周长的测量方法：滚圆法、绕绳法．
8、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示．
即：圆周率π = 周长÷直径≈3.14．
圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值．
9、圆的周长公式：圆的周长＝直径×圆周率，用字母表示：或
10、圆面积公式的推导
如右图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越行四边形．
平行四边形面积＝底×高
S＝πr× r
所以，圆的面积：
11、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小．
12、半径扩大多少倍，直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍．
13、半圆周长=圆周长的一半＋直径＝πd＋d＝πr＋2r
半圆面积＝圆面积的一半＝πr2
14、环形面积＝大圆面积－小圆面积＝
15、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长．
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽．
补充：
1、方中圆： 圆中方：
2、如右图，圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB” ．
一条弧和经过弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形（涂色部分）．
像∠AOB这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．
扇形的大小与这个扇形的圆心角大小有关．
3、扇形的弧长：（n°表示圆心角度数）
扇形的周长：C＝l＋2r 扇形的面积：
例题精讲
例题一31 在一张长12厘米，宽6厘米长方形纸中，最多可以剪（ ）个半径为1.5厘米的圆。
A．4 B．8 C．21 D．10
【分析】直径＝半径×2，求出圆的直径；根据长方形的长是12厘米，宽是6厘米，可以分别用长方形的长和宽除以圆的直径，就可以得出长和宽分别可以剪出多少个圆，最后再相乘，即可解答。
【详解】1.5×2＝3（厘米）
（12÷3）×（6÷3）
＝4×2
＝8（个）
在一张长12厘米，宽6厘米长方形纸中，最多可以剪8个半径为1.5厘米的圆。
故答案为：B
例题二32．某钟表的分针长10厘米。
（1）从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？
（2）从1时到2时，分针扫过的面积是多少平方厘米？
【分析】（1）从1时到2时，经过1小时，分针走了1圈，分针的长度相当于圆的半径，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，列式解答即可；
（2）根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。
【详解】（1）2×3.14×10＝62.8（厘米）
答：从1时到2时，分针针尖走过了62.8厘米。
（2）3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
答：从1时到2时，分针扫过的面积是314平方厘米。
例题三．有一块长50米、宽20米的长方形草地，在草地四个角各拴一只羊，每只羊的绳长都是5米．4只羊能吃到的草的面积占整个草地面积的百分之几？
答案．7.85%
【详解】3.14×5 ÷(50×20)=0.0785=7.85％ 答：4只羊能吃到的草的面积占整个草地面积的7.85%．
专项训练
一、选择题
1．在一个长方形内有4个相同的圆（如图），长方形的长是16厘米，长方形的宽是（ ）厘米。
A．1 B．2 C．4 D．8
2．以下选项中，全都是轴对称图形的是（ ）。
A．圆、平行四边形、三角形 B．长方形、梯形、等边三角形
C．等腰三角形、圆、平行四边形 D．等腰梯形、等边三角形、圆
3．把一根铁丝围成一个圆，半径正好是a分米，如果把这根铁丝围成一个正方形，它的边长是（ ）分米。
A．1.57a B．3.14a C．6.28a D．3.14a2
4．下面选项中，（ ）有无数条对称轴．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆
5．推导圆面积公式时，把圆转化成近似的长方形，这个长方形的周长比圆周长大（ ）。
A．πr B．d C．r D．πd
二、填空题
6．一个圆的周长是25.12cm，它的直径是( )cm，面积是( )cm2。
7．在一个长10厘米、宽5厘米的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
8．一个正方形的边长和圆的半径相等，已知正方形的面积是20平方米，圆的面积是( )平方米。
9．把一个圆片沿半径剪成若干份，再拼成一个近似的长方形，长方形的周长比圆的周长多了10厘米，圆的面积是( )平方厘米。这个过程不仅运用了转化的数学思想，还运用了( )的思想方法。
10．通过( )，并且两端都在圆上的( )，叫做圆的直径，用字母( )表示．
11．把一张半径为3厘米的圆形纸片平均剪成两个半圆，每个半圆的周长是( )厘米。
12．某钟表的分针长6cm，从2时到3时分针针尖走过了( )cm，从2时到3时分针扫过的面积是( )cm。
13．如图所示，大圆直径为6厘米，如果让小圆从点A沿着大圆的内侧滚动一周回到点A，那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。
14．两个连在一起的皮带轮，大轮直径是3dm，小轮直径是1.5dm，大轮转一周小轮要转( )周．
三、判断题
15．长方形、正方形、等腰三角形、扇形都是轴对称图形。( )
16．世界上第一个把圆周率精确到7位小数的人是中国的祖冲之。( )
17．如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的半径和面积也分别相等。( )
18．圆的周长只与这个圆的直径有关，与圆心的位置无关． （ ）
19．求车轮滚动一周汽车所行驶的路程。其实就是求车轮的周长。( )
四、作图题
20．画出下面图形的对称轴。（只画一条）
五、解答题
21．画一个半径为1厘米的圆，标出圆心和半径，并计算周长和面积各是多少？
22．中国古钱币是文化艺术宝库中的一朵奇葩，现在人们运用它的造型创作了许多精美的饰品。如图所示，制作一件这种形状的饰品需要钢板多少平方厘米？
23．同学们在操场上围成圆圈做“丢手绢”游戏，乐乐绕圆圈跑一圈跑了12.56m。那么同学们所围成的圆的面积是多少平方米？
24．公园里有一个直径是6米的圆形鱼池，鱼池的周围有一条1米宽的小路，现在要给这条小路上铺上地砖，如果铺每平方米地砖需要50元，那么铺完这条小路需要多少钱？
25．有一圆形蓄水池，它的周长是31.4米，现需在它的外围修一条宽2米的环形栈道，栈道的面积是多少？
26．量得圆形羊圈的周长是188.4米。这个羊圈的面积是多少平方米？
27．如图是一块长方形纸板（单位：厘米）请你剪下一块最大的半圆，（画图示意）并求剩下纸板料的面积．
28．下面是红领巾植物园平面图（比例尺是1：500）．
(1)用数对表示图中两棵树的位置是：山楂树________，杏树________．
(2)自动旋转喷水器在杏树南偏东60°方向的20米处．在图中表示出喷水器的位置．
(3)这个自动旋转喷水器的最远喷水距离是10米．在图中画出它旋转一周所喷水的区域．
29．一个时钟的分针长8厘米，从12点整走到12点45分，这个分针扫过的面积有多大？
30．一个圆形花坛直径为20m，要给花坛内种植草皮，需要多少平方米的草皮？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据观察可知这个长方形的长是4个圆的直径，宽是一个圆的直径，用长方形的长除以4可求出长方形的宽，据此解答。
【详解】16÷4＝4（厘米）
故答案为：C
【点睛】本题的重点是让学生理解长方形的长是宽的4倍。
2．D
【分析】一个图形沿着一条直线对折后两边能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；这条直线叫做对称轴，依次进行判断即可。
【详解】A．圆和三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形；
B．长方形、等边三角形是轴对称图形，梯形不是轴对称图形；
C．等腰三角形、圆是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形；
D．等腰梯形、等边三角形、圆是轴对称图形。
以下选项中，全都是轴对称图形的是等腰梯形、等边三角形、圆。
故答案为：D
【点睛】本题考查轴对称图形的意义，利用轴对称图形的意义进行解答。
3．A
【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，正方形的周长公式：C＝4a，那么a＝C÷4，把数据代入公式解答。
【详解】2×3.14×a÷4
＝6.28a÷4
＝1.57a（分米）
故选：A。
【点睛】此题主要考查圆的周长公式、正方形的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
4．D
5．B
6． 8 50.24
【分析】圆的直径d＝C÷π，代入数据即可求出圆的直径，圆的面积S＝πr2，代入数据计算即可。
【详解】25.12÷3.14＝8（厘米），它的直径是8厘米。
3.14×（8÷2）2
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米），面积是50.24平方厘米。
【点睛】此题考查了圆的周长和面积的综合应用，牢记公式并能灵活运用是解题关键。
7． 5 25.7 39.25
【分析】根据题意，长方形内画最大半圆，半径等于长方形的宽，半圆的周长等于半径为5cm圆的周长的加上圆的直径，根据圆的周长公式：π×半径×2，代入数据即可；再根据圆的面积公式：π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】半圆的半径是5厘米；
周长：3.14×5×2×＋5×2
＝15.7×2×＋10
＝15.7＋10
＝25.7（厘米）
面积：3.14×52×
＝3.14×25×
＝78.5×
＝39.25（平方厘米）
【点睛】本题考查圆的周长公式、面积公式的应用，关键明确长方形内画最大的半圆，圆的半径等于长方形的宽。
8．62.8
【分析】圆的面积S＝πr2，其中正方形的边长和圆的半径相等，则正方形的面积等于半径的平方，所以圆的面积＝π×正方形的面积，据此解答。
【详解】3.14×20＝62.8（平方米）
圆的面积是62.8平方米。
【点睛】此题考查了圆的面积计算，学会灵活运用公式是解题关键。
9． 78.5 极限
【分析】圆的面积公式推导，是将圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形，其前后面积不变，长方形的周长比圆的周长多两条半径的长度；这是一种转化思想与极限思想的体现。
【详解】
用长方形的面积表示圆的面积，还运用了极限的思想。
【点睛】随后学习圆柱是，也可以将圆柱进行分割，拼成近似的长方体推导其体积公式。
10． 圆心 线段 d
11．15.42
【分析】半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，圆的周长C＝2πr，据此计算。
【详解】3.14×3＋3×2
＝9.42＋6
＝15.42（厘米）
每个半圆的周长是15.42厘米。
【点睛】此题考查了半圆的周长计算，注意加一个直径。
12． 37.68 113.04
【分析】从2时到3时分针针尖走过了一圈，也就是半径为6厘米的圆的周长，从2时到3时分针扫过的面积是半径为6厘米的圆的面积。
【详解】走过：3.14×2×6＝37.68（cm）
扫过的面积：3.14×6×6＝113.04（cm2）
【点睛】本题考查圆的周长、面积，解答本题的关键是掌握圆的周长、面积公式。
13．9.42
【分析】从图中可以看出，大圆直径为6厘米，小圆直径就是（6÷2）厘米，而小圆的圆心移动的路程实际求的是半径是（6÷2÷2）厘米的圆的周长。
【详解】6÷2÷2＝1.5（厘米）
2×3.14×1.5
＝6.28×1.5
＝9.42（厘米）
【点睛】此题的关键在于理解小圆的圆心移动的路程实际求的是半径是1.5厘米的圆的周长。
14．2
15．√
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。据此解答。
【详解】长方形、正方形、等腰三角形、扇形对折后都可以完全重合，是轴对称图形。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查轴对称图形的辨别，主要看一个图形对折后是否能够完全重合。
16．√
【详解】世界上第一个把圆周率精确到7位小数的人是中国的祖冲之。说法正确。
故答案为：√
17．√
【分析】根据圆的周长＝2πr，两个圆的周长相等，也就是两个圆的半径相等；根据圆的面积＝πr2，如果两个圆的半径相等，则它们的面积一定相等。
【详解】如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的半径和面积也分别相等。这种说法是正确的。
故答案为：√
【点睛】根据圆的周长和面积公式即可解答。
18．√
19．√
【分析】车轮是一个圆形，车轮滚动一周汽车行驶的路程，即圆的周长；据此判断即可。
【详解】由分析得：
车轮滚动一周汽车行驶的路程就是求车轮的周长。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查圆的周长的应用，应熟练掌握。
20．见详解
【分析】个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；折叠的这条直线叫做这个图形的对称轴，此题依此画图即可。
【详解】
【点睛】本题考查画对称轴，找到对称点是画图的关键。
21．如图，周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米
【详解】试题分析：以点O为圆心，以1厘米为半径即可画出这个圆，再利用S=πr2和C=2πr解答即可．
解：（1）以点O为圆心，以1厘米为半径画圆如图所示：
（2）周长：3.14×1×2=6.28（厘米），
面积：3.14×12=3.14（平方厘米），
答：这个圆的周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米．
点评：此题考查了圆的画法以及周长和面积公式的应用．
22．11.92平方厘米
【分析】观察题意可知，饰品的面积等于圆面积减去正方形的面积，根据圆面积公式和正方形面积公式，用3.14×（4÷2）2－0.8×0.8即可求出饰品的面积。
【详解】3.14×（4÷2）2－0.8×0.8
＝3.14×22－0.8×0.8
＝3.14×4－0.8×0.8
＝12.56－0.64
＝11.92（平方厘米）
答：制作一件这种形状的饰品需要钢板11.92平方厘米。
【点睛】本题主要考查了圆面积公式、正方形面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
23．12.56平方米
【分析】根据圆的周长公式C＝2πr，可得圆的半径r＝C÷2π，代入数据即可求得圆的半径，将半径值带入圆的面积公式即可得解。
【详解】12.56÷3.14÷2＝2（米）
3.14×22＝12.56（平方米）
答：同学们所围成的圆的面积是12.56平方米。
【点睛】本题主要考查圆的周长、面积公式，解题的关键是将实际问题抽象成几何问题。
24．1099元
【分析】直径是6米的圆形鱼池，则半径：6÷2＝3（米），由于鱼池的周围有一条1米宽的小路，小路的面积相当于圆环的面积，大圆的半径：3＋1＝4（米），根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），把数代入公式即可求解，之后再乘50即可。
【详解】6÷2＝3（米）
3＋1＝4（米）
3.14×（42－32）×50
＝3.14×（16－9）×50
＝3.14×7×50
＝21.98×50
＝1099（元）
答：铺完这条小路需要1099元。
【点睛】本题主要考查圆环的面积公式，熟练掌握它的面积公式并灵活运用。
25．75.36平方米
【分析】根据环形面积＝外圆面积－内圆面积，内圆半径加上环宽等于外圆半径，把数据代入公式解答即可。
【详解】31.4÷3.14÷2
＝10÷2
＝5（米）
5＋2＝7（米）
3.14×（72－52）
＝3.14×（49－25）
＝3.14×24
＝75.36（平方米）
答：栈道的面积是75.36平方米。
【点睛】本题的考查的知识点：圆的面积公式S＝πr2。
26．2826平方米
【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出羊圈的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可求出这个羊圈的面积。
【详解】188.4÷3.14÷2
＝60÷2
＝30（米）
3.14×302
＝3.14×900
＝2826（平方米）
答：这个羊圈的面积是2826平方米。
【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。
27．如图，剩下的纸板的面积是14.88平方厘米
【详解】试题分析：（1）根据长方形内最大的半圆的半径特点可知：这个半圆的半径是4厘米，由此即可在图中画出这个半圆，
（2）剩下的纸板料的面积就等于长方形的面积减去半圆的面积，由此利用长方形和圆的面积公式即可解答．
解：（1）观察图形可知，半圆的半径是4厘米，由此以长方形的一条长的中点为圆心，以4厘米为半径，在这个长方形纸板上画出这个半圆如图所示：
；
（2）10×4﹣3.14×42÷2，
=40﹣25.12，
=14.88（平方厘米），
答：剩下的纸板的面积是14.88平方厘米．
点评：此题考查了长方形内最大的半圆的画法以及长方形与圆的面积公式的灵活应用．
28．（1）（3，6）；（6，4）
（2）解： 20米=2000厘米，
则喷水器到杏树的图上距离为：2000×=4（厘米），
以杏树为观测中心，画出南偏东60°方向，即可标出喷水器的位置如图所示；
（3）解：10米=1000厘米，
1000×=2（厘米），
以喷水器的位置为圆心，以2厘米为半径画圆，则这个圆的面积就是喷水器的喷水区域．
【分析】（1）数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行；（2）以杏树为观测中心，画出南偏东60°方向，利用比例尺计算出喷水器的图上距离即可标出它的位置；（3）它旋转一周所喷水的区域，就是以喷水器的位置为圆心，以10米的图上距离为半径的圆的面积．此题考查了数对表示位置以及利用方向与距离表示位置的方法的灵活应用，这里要注意利用比例尺正确计算物体的图上距离．
【详解】（1）根据数对表示位置的方法可知：山楂树的位置是（3，6），杏树的位置是（6，4）；
（2）解： 20米=2000厘米，
则喷水器到杏树的图上距离为：2000× =4（厘米），
以杏树为观测中心，画出南偏东60°方向，即可标出喷水器的位置如图所示；
（3）解：10米=1000厘米，
1000× =2（厘米），
以喷水器的位置为圆心，以2厘米为半径画圆，则这个圆的面积就是喷水器的喷水区域．
29．150.72平方厘米
30．314平方米
【分析】草皮的面积也就是圆的面积，根据圆的面积S＝πr2，计算即可。
【详解】3.14×（20÷2）2
＝3.14×100
＝314（平方米）
答：需要314平方米的草皮。
【点睛】此题考查了圆的面积计算，牢记公式认真计算即可。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页