【预习衔接】第二单元分数混合运算（讲义）-2024-2025学年六年级数学上册讲练测（北师大版）

第二单元分数混合运算
（知识梳理+例题精讲+专项练习）
知识梳理
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的．
①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算．
②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算．
③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算．
2、用分数运算解决“求比已知量多（或少）几分之几的量是多少”的实际问题．
方法一：先求出多或少的具体量，再用单位“1”的量加或减去多或少的部分．
方法二：先用单位“1”加或减去多或少的几分之几，求出未知数占单位“1”的几分之几，再用单位“1”的量乘这个分数．
3、“已知甲与乙的和，其中甲占和的几分之几，求乙数是多少？”
方法一：先明确谁占单位“1”的几分之几，求出甲数，再用单位“1”减去甲数，求出乙数．
方法二：先用单位“1”减去已知甲数所占和的几分之几，即得未知乙数所占和的几分之几，再求出乙数．
4、用方程解决稍复杂的分数应用题的步骤：
①要找准单位“1” ．
②确定好其他量和单位“1”的量有什么关系，画出关系图，写出等量关系式．
③设未知量为x，根据等量关系式，列出方程．
④解答方程．
5、要记住以下几种算术解法解应用题：
①对应数量÷对应分率＝单位“1” 的量.
②求一个数的几分之几是多少，用乘法计算．
③已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，还可以用列方程解答．
例题精讲
例题一．六（1）班叠了180朵小红花，六（2）班叠的小红花是六（1）班的，两个班一共叠了多少朵小红花？下列列式不正确的是（ ）。
A． B． C．
【分析】将六（1）班叠的数量看成单位“1”，六（2）班叠的小红花是六（1）班的，则六（2）班叠了180×朵，两个班一共叠了180×＋180朵；180×＋180＝180×（1＋）；据此解答。
【详解】由分析可得：两个班一共叠了180×＋180＝ 180×（1＋）朵。
故答案为：B
【点睛】求一个数的几分之几是多少，用乘法。
例题二 ．学校合唱队有90人，舞蹈队的人数是合唱队的，管乐队的人数是舞蹈队的。
（1）画图表示合唱队、舞蹈队、管乐队之间的人数关系。
（2）算一算管乐队有多少人？
【分析】（1）合唱队有90人，舞蹈队的人数是合唱队的，是把合唱队的人数看作单位“1”，先画一条线段表示合唱队的人数，把它平均分成3份，舞蹈队的人数占2份，据此画出表示舞蹈队的人数的线段长度；
又已知管乐队的人数是舞蹈队的，是把舞蹈队的人数看作单位“1”，把它平均分成5份，管乐队的人数占3份，据此画出表示管乐队的人数的线段长度；并在线段图上标注信息和数据，完成线段图。
（2）已知合唱队有90人，舞蹈队的人数是合唱队的，先把合唱队的人数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出舞蹈队的人数；
又已知管乐队的人数是舞蹈队的，再把舞蹈队的人数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出管乐队的人数。
【详解】（1）如图：
（2）90××
＝60×
＝36（人）
答：管乐队有36人。
【点睛】本题考查画线段图表示数量关系以及分数乘法的应用，找出单位“1”，区分两个单位“1”的不同，单位“1”已知，根据分数乘法的意义解答。
例题三 一个工程队要铺设一条电缆线，第一周铺设了全长的，第二周铺设了全长的，还剩下80没有铺，这条电缆线全长有多少千米？
【分析】把全长看作单位“1”，第一周铺设了全长的，第二周铺设了全长的，则剩下全长的（1－－）没有铺。已知还剩下80没有铺，则用80除以（1－－）即可求出全长。
【详解】
＝80÷
（千米）
答：这条电缆线全长有192千米。
【点睛】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。本题求出剩下长度占全长的几分之几是解题的关键。
专项训练
一、选择题
1．六（1）班有女生24人，女生人数与男生人数的比是4∶5，全班共有多少人？列式为（ ）。
A．24 B．24 C．24
2．a是不为0的自然数，下列说法中正确的是（　　）
A．a与都是倒数 B．是倒数 C．和a互为倒数 D．a是倒数
3．甲、乙、丙三位同学同时打印一篇文章，甲用了1小时40分，乙用了1.5小时，丙用了小时，打得最快的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
4．180克的相当于100克的（ ）。
A． B． C． D．
5．某文具店出售一种电子辞典，每售出一台可获得利润25元，售出后，为了尽快回收资金，每台降价5元出售，当全部售完后，共获利润1440元，文具店共售出这种电子辞典（ ）台。
A．40 B．60 C．80 D．120
二、填空题
6．一瓶牛奶净含量升，喝掉一些后还剩，还剩( )升；如果喝掉升，那么还剩( )升。
7．把元钱平均分成4份，每份占，每份是( )元．
8．白兔只数的是黑兔只数，这句话是把( )看作单位“1”．等量关系式是( )．
9．一条线段长2米平均分成7份，每一份长是( )米，其中的三份占这条线段的( )．
10．在算式＋÷中，应先算( )法，这个算式的结果是( )。
11．40千克比( )千克多，45千克比( )千克少，7米比( )米多米。
12．60千米增加它的后是( )千米，70千克减少它的后是( )千克。
13．一条路长200千米，修了，还剩( )千米。
14．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) 120%×( ) 12÷( )12
三、判断题
15．甲比乙多米，则乙比甲少。( )
16．将A组人数的给B组后，两组人数相等，原A组比B组多( )．
17．小明看一本60页的故事书，已经看了总页数的，还剩36页没看。( )
18．甲数的与乙数的相等，如果甲数是48，那么乙数是64。( )
19．甲数的＝乙数的，甲数就相当于乙数的。( )
四、计算题
20．直接写得数。
÷＝ 21÷＝ 1.25×0.8＝ ÷7＝
0.75－＝ 37÷1000＝ 10÷（1＋）＝ （＋）×20＝
21．用你喜欢的方法计算。
（1）5.28－0.44－（2.56－1.72）
（2）21÷[×（1－）]
（3）7.5×83－2.5×9
（4）÷[（－）÷]
五、解答题
22．工程队修一条公路，第一周修了全长的，第二周修了全长的，两周一共修了26千米，这条公路一共长多少千米？
23．越野赛跑全程24千米，其中环山路段占，海滨路段占，环山路段比海滨路段长多少千米？
24．小华家今年收的青菜比去年增加了，正好增加了85千克．今年收青菜多少千克？
25．把一个蛋糕平均切成8块，爸爸吃3块，妈妈吃2块，小英吃1块，他们各吃了这个蛋糕的几分之几？
26．光明小学在为四川灾区捐款活动中，五年级学生捐款1800元，六年级学生比五年级学生多捐款，六年级学生捐款多少元？
27．双休日，妈妈包饺子给一家三口改善生活。爸爸先吃了全部饺子的，接着菲菲吃了剩下的，妈妈最后吃了菲菲吃后剩下的。
（1）菲菲吃了全部饺子的几分之几
（2）饺子吃完了吗 还剩下多少
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参考答案：
1．C
【分析】根据题意可知，女生人数与男生人数的比是4∶5，化成分数，就是女生人数是男生人数的，用女生人数÷，求出男生人数，再加上女生人数，就是全班人数，即：24÷＋24，即可解答。
【详解】24÷＋24
＝24×＋24
＝30＋24
＝54（人）
故答案选：C
【点睛】本题考查求已知一个数的几分之几是多少，求这个数，以及比与分数的互化。
2．C
【详解】试题分析：根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
解：如果a是一个不为0的自然数，因为a×=1，所以a和互为倒数或和a互为倒数．
故选C．
点评：本题主要考查倒数的意义，注意乘积是1的两个数叫做“互为倒数”．
3．B
【详解】试题分析：先把三人所用的时间用分数表示出来，再利用异分母分数大小的比较方法，比较出它们的大小，所用时间最少的，打得就最快．
解：1小时40分=1小时，
1.5小时=1小时；
因为1==，
1==，
1=，
且，即1，
所以乙打得最快．
故选B．
点评：此题主要考查：异分母分数大小的比较方法，且要明白用时间最少的，打得就最快．
4．B
【分析】先用180乘求出180克的是多少克，再除以100即可解答。结果用分数表示。
【详解】180×÷100
＝90÷100
＝
故答案为：B
【点睛】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。
5．B
【分析】分析题目，先设共售出这种电子辞典x台，然后根据降价前的利润＋降价后的利润＝1440列出方程并解答。
【详解】解：设文具店共售出这种电子辞典x台。
x×25＋（1－）x×（25－5）＝1440
20x＋4x＝1440
24x＝1440
x＝60
则文具店共售出这种电子辞典60台。
故答案为：B。
【点睛】解答本题的关键在于明确：总利润＝降价前获得的利润＋降价后获得的利润。
6．
【分析】（1）根据题意，用×即可求出剩余量；
（2）根据题意，用－即可解答。
【详解】（1）×＝（升）
（2）－＝－＝（升）
【点睛】解答此题的关键是在于分数带单位表示实际数量，不带单位表示分率，意义不同。
7．，
【详解】试题分析：把元钱平均分成4份，根据分数的意义可知，即将元钱当作单位“1”平均分成4分，则每份占全部的，每份是×=元．
解：每份占全部的，
每份是：×=（元）．
故答案为，．
点评：完成本题要注意前一个空是求每份占全部的分率，后一个空是求每份的具体数量．
8．白兔的只数，白兔只数×=黑兔只数
【详解】试题分析：根据“白兔只数的是黑兔只数，”可知：分率前面的数量是白兔的只数，所以把白兔的只数看作单位“1”．根据分数乘法的意义，列等量关系式是：白兔只数×=黑兔只数，据此解答．
解：白兔只数的是黑兔只数，这句话是把白兔的只数看作单位“1”．等量关系式是白兔只数×=黑兔只数．
故答案为白兔的只数，白兔只数×=黑兔只数．
点评：判断单位“1”的位置：一般在“是”、“比”与分率之间的量，当作单位“1”的量．
9．、
【详解】试题分析：一条线段长2米平均分成7份，根据分数的意义可知，即将这条线段全长当做单位“1”，则每份是全长的，其中的三份是全长的，每份的长是2×=（米）．
解：其中的三份是全长的，
每份的长是：2×=（米）．
故答案为、．
点评：完成本题要注意前一个空是求每份的具体长度，后一个空是求其中三份占全长的分率．
10． 除
【分析】分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的顺序相同。 先乘除后加减，同级运算从左往右按顺序计算，带括号的先算小括号里面的，再算中括号里面的，然后算括号外面的，据此解答即可。
【详解】＋÷
＝＋×
＝＋
＝＋
＝
在算式＋÷中，应先算除法，这个算式的结果是。
【点睛】熟练掌握分数四则混合运算的计算法则是解答本题的关键。
11． 30 50 6.5
【分析】把第一个括号看作单位“1”，已知40千克比单位“1”多，也就是40千克是单位“1”的（1＋），根据分数除法的意义，用40÷（1＋）即可求出结果；
把第二个括号看作单位“1”，已知45千克比单位“1”少，也就是45千克是单位“1”的（1－），根据分数除法的意义，用45÷（1－）即可求出结果；
根据分数减法的意义，用7－即可求出7米比多少米多米。
【详解】40÷（1＋）
＝40÷
＝40×
＝30（千克）
45÷（1－）
＝45÷
＝45×
＝50（千克）
7－＝6.5（米）
40千克比30千克多，45千克比50千克少，7米比6.5米多米。
【点睛】本题主要考查了分数除法的应用，已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数用除法计算。
12． 70 60
【分析】把60千米看作单位“1”，第一空要求的千米数相当于60千米的（1＋），求一个数的几分之几是多少，用乘法，用60乘（1＋）即可得解；把70千克看作单位“1”，第二空要求的千克数相当于70千克的（1－），求一个数的几分之几是多少，用乘法，用70乘（1－）即可得解。
【详解】60×（1＋）
＝60×
＝70（千米）
70×（1－）
＝70×
＝60（千克）
即60千米增加它的后是70千米，70千克减少它的后是60千克。
【点睛】此题的解题关键是掌握求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的计算方法。
13．150
【分析】把这条路的长度看作单位“1”，已知修了，剩下的长度占全长的（1－），根据分数乘法的意义，用200×（1－）即可求出剩下的长度。
【详解】200×（1－）
＝200×
＝150（千米）
还剩150千米。
【点睛】本题考查了分数乘法的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
14． ＞ ＞ ＜
15．×
【分析】因为“甲比乙多米”，这个米，是具体的数量，也就是甲乙的数量差，也可以说乙比甲少米。而乙比甲少，是将甲看作单位“1”，因为不知道甲的具体数量，所以也不能判断乙比甲少的数量占甲的几分之几。据此解答。
【详解】根据分析可得：
甲比乙多米，则乙比甲少米。原说法错误。
故答案为：×
16．
【详解】试题分析：把A组人数看作单位“1”，将A组人数的给B组后，A组就有原来的1﹣=，现在B租人数就相当于原来A组的，那么原来B组人数就应该相当于A组的﹣=，依据原A组比B组多的分率=（A组人数﹣B组人数）÷B组人数即可解答．
解：[1﹣（1﹣﹣）]÷[1﹣﹣]
=[1﹣]÷
=÷
=
17．√
【分析】将总页数看成单位“1”，已经看了总页数的，还剩下1－＝，根据分数乘法的意义，用60×求出剩下的页数；据此解答。
【详解】60×（1－）
＝60×
＝36（页）
故答案为：√
【点睛】本题主要考查求一个数的几分之几是多少的简单运用。
18．√
【分析】先求甲数的是多少，即48的是多少，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；
已知甲数的与乙数的相等，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，即可求出乙数。
【详解】48×÷
＝16÷
＝16×4
＝64
甲数的与乙数的相等，如果甲数是48，那么乙数是64。
原题说法正确。
故答案为：√
19．√
【分析】根据题意，可以把乙数看作单位“1”，那么甲数的就是，根据分数除法的意义，甲数就是÷，求加数相当于乙数的几分之几，用甲数除以乙数即可。
【详解】由分析可知，÷÷1
＝ ÷1
＝，甲数相当于乙数的。
故答案为：√。
【点睛】明确求一个数的几分之几用乘法，已知一个数的几分之几，求这个数用除法。据此把其中一个数看作单位“1”表示出另一个数是解题关键。
20．；49；1；；
；0.037；；9
【详解】略
21．（1）4
（2）48
（3）600
（4）
【分析】（1）先把小括号去掉，把能凑整的数放在一起，5.28＋1.72凑一起，0.44＋2.56凑一起；（2）直接按运算顺序计算即可；（3）直接按运算顺序计算即可；（4）直接按运算顺序计算即可；
【详解】（1）5.28－0.44－（2.56－1.72）
＝5.28－0.44－2.56＋1.72
＝5.28＋1.72－（0.44＋2.56）
＝7－3
＝4
（2）21÷[×（1－）]
＝21÷[×]
＝21÷
＝48
（3）7.5×83－2.5×9
＝622.5－22.5
＝600
（4）÷[（－）÷]
＝÷[]
＝÷
＝
【点睛】看到一个算式不要急着去计算，要先看看算式的特点是否有可以简便计算的方法再计算，注意有括号的情况下先算小括号再算中括号，最后根据先乘除后加减的运算顺序计算。
22．39千米
【分析】根据题意，用两周一共修的长度除以两周一共修的长度占全长的几分之几，即可求解。
【详解】
答：这条公路一共长39千米。
【点睛】此题主要考查分数除法的应用。
23．3千米
【分析】把全程看作单位“1”，用赛跑全程千米数乘环山路段占的分率减海滨路段占的分率的差即可。
【详解】24×（－）
＝24×
＝24×
＝3（千米）
答：环山路段比海滨路段长3千米。
【点睛】此题考查了分数四则复合应用题，解题的关键是确定单位“1”。
24．357千克
【详解】今年收青菜数量：
85÷×（1+），
＝85÷×，
＝85××，
＝357（千克）．
答：今年收青菜357千克．
25．爸爸吃了这个蛋糕的，妈妈吃了这个蛋糕的，小英吃了这个蛋糕的
【详解】试题分析：把一个蛋糕平均切成8块，即将这块蛋糕当做单位“1”平均分成8份，根据分数的意义可知，爸爸吃了这块蛋糕的3，妈妈：2÷8=，小英：1÷8=．
解：爸爸吃了这块蛋糕的：3，
妈妈：2÷8=，
小英：1÷8=．
答：爸爸吃了这个蛋糕的，妈妈吃了这个蛋糕的，小英吃了这个蛋糕的．
点评：本题考查的知识点为：分数的意义．
26．2100元
【详解】1800×（1＋）
＝1800×
＝2100（元）
答：六年级学生捐款2100元。
27．（1）
（2）没有，
【详解】（1）（1-）×=

（2）1--=
× =
1---=
没有，还剩下
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页