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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题20 圆
一、选择题
1. （2024四川凉山）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】∵是线段的垂直平分线，
∴直线经过圆心，设圆心为，连接．
中，，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得：；
故轮子的半径为，
故选：C．
2. （2024四川泸州）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果．
详解】如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，是的切线，根据切线长定理得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
3. （2024四川宜宾）如图，是的直径，若，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答．
【详解】是的直径，
，
，
，
，
故选：A．
4. （2024四川宜宾）如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅助线为解题的关键．
作辅助线如图，先证明，，从而可以得到旋转后的图形，再证明是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果．
【详解】解：如图，连接、，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴绕点逆时针旋转，则三点共线，如图所示
∴，
∵由旋转可知，
∴，
∴在等腰直角三角形中，，
∴．
故选：A
5. （2023四川广元）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据圆周角定理计算即可．
∵，
∴∠AOD＝180°-124°=56°
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
6. （2023四川乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的底边为定值，
∴使得底边上的高最大时，面积最大，
点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，
∵，的半径为1，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．
7. （2023四川凉山）如图，在中，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】连接，由圆周角定理得，由得，，，中，由，计算即可得到答案．
【详解】连接，如图所示，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．
8. （2022四川泸州） 如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．
设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．
∵是的直径，垂直于弦于点，
∴
∴OD是△ABC的中位线
∴BC=2OD
∵
∴，解得
∴BC=2OD=2x=2
故选：C
【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．
9. （2023四川自贡）如图，内接于，是直径，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由是的直径，得出，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出，进而即可求解．
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10. （2023四川眉山）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，证明，，可得，从而可得．
如图，连接，
∵切于点B，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性质是解本题的关键．
11. （2023四川宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．
【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，
得，
∴点M，N，O三点共线，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12. （2023四川内江）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
【详解】如图，连接，
∵正六边形，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选Ｃ．
【点睛】了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．
13. （2022四川广元）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
【答案】A
【解析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．
二、填空题
14. （2022四川凉山）如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为_______．
【答案】
【解析】【分析】先由垂径定理求得BC=BD=5，再由直径所对圆周角是直角∠ACB=90°，由余弦定义可推出sinA=,即可求得sinA=,然后由圆周角定理得∠A=∠D，，即可得，即可求解．
【详解】解：连接AC，如图，
∵⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，
∴CH=DH，AB⊥CD，
∴BC=BD=5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴sinA=,
∵∠A=∠D，
∴cosA= cosD=,
∴sinA=sinD=
∴，
∴AB=
【点睛】本题考查解直角三角形，圆周角定理，垂径定理的推论，求得∠ACB=90°、∠A=∠D是解题的关键．
15. （2022四川自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为_______厘米．
【答案】26
【解析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．
如图，由题意，得OD垂直平分AB，
∴BC=10cm，
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案为：26．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．
16. （2024四川眉山）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长，交于，由圆周角定理可得，，进而可证明，得到，即得，利用勾股定理得，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长，交于，
是的直径，
，，
平分，
，
又∵，
∴，
，
，
，，
，
，
又∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17. （2023四川广安）如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为___________．
【答案】
【解析】连接，过点作于点，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后解直角三角形可得的长，由此即可得．
如图，连接，过点作于点，
，
，
，
，，
∵圆的半径为7，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．
18. （2023四川广元）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】利用切线性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】设与两边的切点分别为D、G，连接，延长交于点H，
由，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，延长交于点Q，
同理，
∵，
∴，
当与相切时，有最大或最小值，
连接，
∵D、E都是切点，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴的最大值为；
如图，
同理，的最小值为；
综上，t的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得是解题的关键．
19. （2023四川南充）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________．
【答案】4
【解析】根据圆周角定理得出，再由勾股定理确定，半径为，利用垂径定理确定，且，再由勾股定理求解即可．
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D，M分别是弦，弧的中点，
∴，且，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
20. （2022四川凉山）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________．
【答案】
【解析】取AB中点D，由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，由垂径定理得OD⊥AB，则OB=，cos∠DOB=，再证∠ACB=∠DOB，即可解．
详解】取AB中点D，如图，
由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∴OB=，cos∠DOB=，
∵OA=OB，
∴∠BOD=∠AOB，
∵∠ACB=∠AOB，
∴∠ACB=∠DOB，
∴cos∠ACB= cos∠DOB=，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，取AB中点D，得Rt△ODB是解题的关键．
三、解答题
21. （2024四川自贡）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________；
（2）如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．
求证：是的切线．
【答案】（1）；；1 （2）见解析
【解析】【分析】（1）根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案；
（2）证明，推出，，，求得，，根据，列式求得，根据切线的判定定理，即可得到是的切线．
【小问1详解】
解：连接，设半径为，
∵是的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴，，；
在四边形中，，
四边形为矩形，
又因为，
四边形为正方形．
则，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，即，
解得，
故答案为：；；1；
【小问2详解】
证明：连接，，，作于点，
设半径为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵是的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∵，
∴是的切线．
【点睛】本题考查切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
22. （2024四川宜宾）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求和的长．
【答案】（1）见解析 （2），．
【解析】【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论；
（2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得．
【小问1详解】
证明：延长交于点F，连接，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即是的角平分线，
∵，
∴，且平分线段，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，，
设，
∴，
∴，
解得，即，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵是的切线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
23. （2024四川遂宁）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．
（1）求证：；
（2）延长至点，使，连接．
①求证：是的切线；
②若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析，②的半径为．
【解析】【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论；
（2）①证明，可得是的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解，，结合，可得答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：①∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，，
而，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴是的切线；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴，∴的半径为．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
24. （2024四川内江）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）
【解析】（1）分别证明，，从而可得结论；
（2）连接，证明，可得，再进一步可得结论；
（3）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案.
【小问1详解】
证明：∵是的直径
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：连接
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问3详解】
解：连接、
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是半径，是的中点，
∴，，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握相似三角形的判定和切线的判定是解决本题的关键。
25. （2024四川眉山）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
，
，
连接，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
．
26. （2024四川乐山）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若垂直平分，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图1，连接．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证．
（2）如图2，连接．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：如图1，连接．
图1
∵为的切线，
∴，即．
又∵为直径，
∴，即．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
解：如图2，连接．
图2
∵垂直平分，
∴．
又∵，
∴为等边三角形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴为等边三角形．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的性质定理、正确添加辅助线是解题的关键．
27. （2024四川广元）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析； （2）．
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据，可得，问题得证；
（2）过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质有，结合，可得，即，利用勾股定理可得．在中，根据，设半径为r，即有，问题得解．
【小问1详解】
证明：连接．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的切线．
【小问2详解】
过点C作于点H，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在中，∵，
设半径为r，∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键．
28. （2024四川广安）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）14
【解析】【分析】（1）连接，由圆周角定理求得，再利用等角的余角相等求得，据此即可证明是的切线；
（2）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
，
，
而是的直径，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：设，
，
，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
设，
，，
，
，则，
解得：
经检验是所列方程的解，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．正确证明是解决本题的关键．
29. （2024四川达州）如图，是的直径．四边形内接于．连接，且，以为边作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作交于点．若，求的值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，导角可证明，进而得到，据此即可证明是的切线；
（2）延长交于H，延长交于G，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，证明，得到，接着证明，得到，进一步证明，得到，设，则，，进而得到，则，由勾股定理得到，，则，进一步可得．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图所示，延长交于H，延长交于G，连接，
∵是直径，
∴，即，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求角的余弦值，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题20 圆
一、选择题
1. （2024四川凉山）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川泸州）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. （2024四川宜宾）如图，是的直径，若，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
4. （2024四川宜宾）如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. （2023四川广元）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. （2023四川乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
7. （2023四川凉山）如图，在中，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
8. （2022四川泸州） 如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
9. （2023四川自贡）如图，内接于，是直径，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
10. （2023四川眉山）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
11. （2023四川宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（ ）
A. B. C. D.
12. （2023四川内江）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
13. （2022四川广元）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 65°
二、填空题
14. （2022四川凉山）如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为_______．
15. （2022四川自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为_______厘米．
16. （2024四川眉山）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为______．
17. （2023四川广安）如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为___________．
18. （2023四川广元）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 _____．
19. （2023四川南充）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________．
20. （2022四川凉山）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________．
三、解答题
21. （2024四川自贡）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________；
（2）如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．
求证：是的切线．
22. （2024四川宜宾）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求和的长．
23. （2024四川遂宁）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．
（1）求证：；
（2）延长至点，使，连接．
①求证：是的切线；
②若，，求的半径．
24. （2024四川内江）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求阴影部分的面积．
25. （2024四川眉山）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的长．
26. （2024四川乐山）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若垂直平分，，求阴影部分的面积．
27. （2024四川广元）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
28. （2024四川广安）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长．
29. （2024四川达州）如图，是的直径．四边形内接于．连接，且，以为边作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作交于点．若，求的值．
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