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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题22 图形的相似(含位似)
一、选择题
1. （2024四川内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ）
A. B. C. D.
2. （2023四川南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A. B. C. D.
3. （2022四川凉山）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
4. （2024四川巴中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ）
A. B. C. D.
5. （2023四川内江）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
6. （2023四川遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7.（2022四川遂宁） 如图，D、E、F分别是三边上的点，其中，BC边上的高为6，且DE//BC，则面积的最大值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、填空题
8. （2024四川成都市）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______．
9. （2024四川乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则______．
10. （2023四川达州）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为______．
11. （2022四川成都）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．
三、解答题
12. （2024四川广元）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
（1）初步探究
如图2，若，求证：；
（2）尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
（3）创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
13. （2022四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到＝ ， ＝ ；
（2）进一步观察，我们还会发现∥，请证明这一结论；
（3）已知，若恰好经过原矩形边的中点 ，求与之间的距离．
14. （2024四川甘孜）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
（1）求证：；
（2）若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题22 图形的相似(含位似)
一、选择题
1. （2024四川内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．
∵与相似，且相似比为，
∴与的周长比为，
故选B．
2. （2023四川南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.
【详解】如图所示，
由图可知，，，
∠ABC＝∠CDE＝90°
根据镜面的反射性质，
∴，
∴，
，
，
.
小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，
，，.
.
.
故选：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.
3. （2022四川凉山）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
【答案】C
【解析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．
在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
4. （2024四川巴中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可；
∵12个相似的直角三角形，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
∴，
故选C
5. （2023四川内江）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则．
【详解】、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6. （2023四川遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故选：A．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．
7.（2022四川遂宁） 如图，D、E、F分别是三边上的点，其中，BC边上的高为6，且DE//BC，则面积的最大值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】A
【解析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设，根据，证明，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，列出面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．
如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设，
，
，
，
，
，
，
当时，S有最大值，最大值为6．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．
二、填空题
8. （2024四川成都市）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______．
【答案】
【解析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可．
【详解】连接，过E作于F，设，，
∵，为中点，
∴，又，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，则，又，
∴，
∴，，
∴，
则；
∵是的一条角平分线，
∴，又，
∴，
∴
∴，则，
∴，即，
解得（负值已舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．
9. （2024四川乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则______．
【答案】
【解析】本题考查了平行线间距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可．
【详解】解：设的距离为，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
10. （2023四川达州）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为______．
【答案】
【解析】【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．
【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
∴之间的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．
11. （2022四川成都）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是_________．
【答案】
【解析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．
和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据与的周长比等于相似比可得．
【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
三、解答题
12. （2024四川广元）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
（1）初步探究
如图2，若，求证：；
（2）尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
（3）创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证；
（2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案；
（3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵点为中点，
∴设，
由（1）知，
∴，
∴，
∴与的相似比为，
∴，
∵
∴；
【小问3详解】
解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示：
∵点为中点，
∴设，
∵，
∴，，
在中，，则由勾股定理可得，
过点作于点，如图2所示：
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，点为中点，
∴，，，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．
13. （2022四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到＝ ， ＝ ；
（2）进一步观察，我们还会发现∥，请证明这一结论；
（3）已知，若恰好经过原矩形边的中点 ，求与之间的距离．
【答案】（1）CD，AD； （2）见解析； （3）EF于BC之间的距离为64cm．
【解析】【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解；
（2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论；
（3）由勾股定理求BH的长，再证明△BCH∽△BGE，得到，代入数值求解EG，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵ 把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
∴由旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
故答案为：CD，AD；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EFBC，
∴EFAD；
【小问3详解】
解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，
∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，
∴ CH＝DH＝40cm，
在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，
BH＝（cm），
∵ EG⊥BC，
∴∠EGB＝∠BCH＝90°，
∴CHEG，
∴ △BCH∽△BGE，
∴，
∴，
∴EG＝64，
∵ EFBC，
∴EF与BC之间的距离为64cm．
【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
14. （2024四川甘孜）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
（1）求证：；
（2）若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①，理由见解析；②
【解析】【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由余角的性质可得，，根据，可得；
（2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得；
②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
，，
，
；
【小问2详解】
解：①，理由如下：
设，
，
，
，
，
，
；
②，，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
．
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