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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题23 轴对称（折叠）、平移、旋转变换
一、选择题
1. （2024四川眉山）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川巴中）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. （2023四川宜宾）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2022四川达州）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. （2024四川内江）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
6. （2023四川自贡）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
7. （2023四川内江）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
8. （2024四川凉山）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A. B. C. D.
9. （2024四川泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. （2024四川自贡）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（ ）
A. B. C. D.
11. （2023四川宜宾）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论：
①；②；
③当点在的延长线上时，；
④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．
其中正确结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
12. （2023四川成都）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________．
13. （2022四川德阳）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么______．
14. （2024四川甘孜）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为______．
15. （2023四川成都）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则__________．
16. （2023四川凉山）如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________．
三、解答题
17. （2024四川成都市）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
18. （2023四川达州）（1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值；
（2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值；
（3）如图③，在中，，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值．
19. （2023四川达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将向下平移3个单位长度得到，画出；
（2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出；
（3）在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积．
20. （2023四川广安）将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
21. （2023四川自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．
（1）将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；
（2）将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．
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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题23 轴对称（折叠）、平移、旋转变换
一、选择题
1. （2024四川眉山）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．
【详解】A.是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2. （2024四川巴中）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
3. （2023四川宜宾）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
A.是轴对称图形但不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B.是中心对称图形但不是轴对称图形，故B选项不合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.
4. （2022四川达州）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐个分析即可求解．
A.是轴对称图形，故该选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选A
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义.
5. （2024四川内江）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
6. （2023四川自贡）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
7. （2023四川内江）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转后与原图重合是关键．
8. （2024四川凉山）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了线段垂直平分线的的性质，由线段垂直平分线的的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的的性质是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长，
故选：．
9. （2024四川泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．
设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：设宽为，
∵宽与长的比是，
∴长为：，
由折叠的性质可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
变形得：，
，，
∴，
故选A．
10. （2024四川自贡）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解．
【详解】∵，
∴，，
∵将绕点O逆时针旋转到，
∴，
∴，，
∴点B坐标，
故选：A．
11. （2023四川宜宾）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论：
①；②；
③当点在的延长线上时，；
④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．
其中正确结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】证明即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明得出，即可判断③；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中，然后根据三角形的面积公式即可判断④．
【详解】∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，故①正确；
设，
∴,
∴，
∴，故②正确；
当点在的延长线上时，如图所示
∵，，
∴
∴
∵，．
∴，
∴
∴，故③正确；
④如图所示，以为圆心，为半径画圆，
∵，
∴当在的下方与相切时，的值最小，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴取得最小值时，
∴
故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
12. （2023四川成都）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________．
【答案】3
【解析】利用平移性质求解即可．
由平移性质得：，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平移性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．
13. （2022四川德阳）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么______．
【答案】
【解析】根据D为AB中点，得到AD=CD=BD，即有∠A=∠DCA，根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，再根据CE⊥AB，求得∠A=∠BCE，即有∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°，则有∠A=30°，在Rt△ACB中，即可求出AC，则问题得解．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵D为AB中点，
∴在直角三角形中有AD=CD=BD，
∴∠A=∠DCA，
根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA，
∵∠BCE+∠ECD+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°
∴∠A=30°，
∴在Rt△ACB中，BC=1，
则有，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三角形的知识，求出∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°是解答本题的关键．
14. （2024四川甘孜）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为______．
【答案】3
【解析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设，则，根据勾股定理求解即可．
由折叠的性质，得，
设，则，
由勾股定理，得，
∴，
解得.
故答案为：3．
15. （2023四川成都）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则__________．
【答案】
【解析】【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】如图所示，过点作于，
∵平分交于点，
∴,
∴
∴
∵折叠，
∴，
∴,
又∵
∴
∴
∴
∵，，则，
∴
∴，，
∵
设，，则，则，
∵
∴
在中，
在中，
∴
即
解得：
∴，
则
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16. （2023四川凉山）如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________．
【答案】
【解析】由，，是边上的中线，可知，则，由翻折的性质可知，，，则，如图，记与的交点为，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】∵，，是边上的中线，
∴，
∴，
由翻折的性质可知，，，
∴，
如图，记与的交点为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题
17. （2024四川成都市）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积分别为4，16，12，
【解析】【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到．
（2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可．
（3）运用分类思想解答即可．
【详解】（1）∵，，．
∴，
∴，，
∴即，
∵
∴，
∴．
（2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，
∴，
∵是中线
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
（3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当时，此时直角三角形，
过点A作于点Q，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形矩形，
∴，
∴，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，
过点A作于点Q，交于点N，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
故．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．
18. （2023四川达州）（1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值；
（2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值；
（3）如图③，在中，，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）5；（3）
【解析】【分析】（1）由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得，设则，中利用勾股定理求得，则，，进而求解即可；
（2）由矩形的性质和翻折性质得到，证明，利用相似三角形的性质求得，则，在中，利用勾股定理求得，
进而求得，可求解；
（3）证明得到，则；设，，过点D作于H，证明得到，中，由勾股定理解得，进而可求得，在图③中，过B作于G，证明，则，，再证明，在中利用锐角三角函数和求得即可求解．
【详解】解：（1）如图①，∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折性质得，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴，，
∴；
（2）如图②，∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折性质得，，，，
∴
∴，
∴，
∴，即，又，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则；
设，，
过点D作于H，如图③，则，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴，，
在中，，
在图③中，过B作于G，则，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，则，
在中， ，，
∵，
∴，则，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．
19. （2023四川达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将向下平移3个单位长度得到，画出；
（2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出；
（3）在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）
【解析】（1）先作出点A、B、C平移后的对应点，、，然后顺次连接即可；
（2）先作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，然后顺次连接即可；
（3）证明为等腰直角三角形，求出，，根据旋转过程中扫过的面积等于的面积加扇形的面积即可得出答案．
【详解】（1）作出点A、B、C平移后的对应点，、，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（2）作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（3）∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴在旋转过程中扫过的面积为．
【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理，扇形面积计算，解题关键是作出平移或旋转后的对应点．
20. （2023四川广安）将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
【答案】见解析（答案不唯一，符合题意即可）
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可．
①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形即为所求；
②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形即为所求；
③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形即为所求；
④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形即为所求．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转能够和原图形重合．
21. （2023四川自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．
（1）将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；
（2）将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．
【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）
【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；
（2）过点作，交的延长线于点，根据旋转的性质求得，进而得出，进而可得，勾股定理解，即可求解．
【详解】（1）依题意，，，
当在的延长线上时，的距离最大，最大值为，
当在线段上时，的距离最小，最小值为；
（2）如图所示，过点作，交的延长线于点，
∵绕顶点逆时针旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．
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