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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题33 新定义型（含高中知识衔接）问题
一、选择题
1. （2024四川眉山）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】解：由题意得，，
即，
当时，函数的最小值为．
故选：B．
2. （2024四川宜宾）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A. 8 B. 18 C. 28 D. 32
【答案】C
【解析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案．
∵，，
∴8不是完美数，故选项A不符合题意；
∵，，
∴18不是完美数，故选项B不符合题意；
∵，，
∴28是完美数，故选项C符合题意；
∵，，
∴32不完美数，故选项D不符合题意；
故选：C
3. （2024四川遂宁）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【答案】D
【解析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，，
在中，，
中，，
在中，
综上所述，共有4对“伪全等三角形”，
故选：D．
4. （2023四川内江）对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
【答案】A
【解析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
二、填空题
5. （2024甘肃威武）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则________．
【答案】8
【解析】根据定义，得，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【详解】根据定义，得，
故答案为：8．
6. （2024四川广元）若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以后去分母，令x代入一个数值，得到y的值，以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键
【详解】等式两边都乘以，得，
令，则，
∴“美好点”的坐标为，
故答案为（答案不唯一）
7. （2024四川泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______．
【答案】
【解析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可．
【详解】根据题意，点向上平移2个单位，得到点，
∴，，
∴，，
∴，
根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转，
∴，
作轴于点，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
8. （2024四川乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；
①；②；③．
（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______．
【答案】 ① ③ ②. 或
【解析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．
（1）①中，取，不存在“近轴点”；
②，由对称性，取，不存在“近轴点”；
③，取时，，得到是的“近轴点”；
（2）图象恒过点，当直线过时， ，得到；当直线过时，，得到．
【详解】（1）①中，
时，，
不存在“近轴点”；
②，
由对称性，当时，，
不存在“近轴点”；
③，
时，，
∴是的“近轴点”；
∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③
故答案为：③；
（2）中，
时，，
∴图象恒过点，
当直线过时，，
∴，
∴；
当直线过时，，
∴，
∴；
∴m的取值范围为或．
故答案为：或．
9. （2023四川成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为
当，，则第2个智慧优数为
当，，则第3个智慧优数为，
当，，则第5个智慧优数为
当，，则第6个智慧优数为
当，，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，
第22个智慧优数，当时，，第22个智慧优数为，
第23个智慧优数为时，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
10. （2023四川广安）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是___________．
【答案】
【解析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得．
，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键．
11. （2023四川乐山）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则__________．
（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案；
（2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围．
【详解】解：（1）若是“和谐点”，则，
则，
∴，
即，解得（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：
（2）设点为双曲线上的“和谐点”，
∴，，
即，
∴，
则，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，且，
对抛物线来说，
∵，
∴开口向下，
当时，，
当时，，
∵对称轴为，，
∴当时，k取最大值为4，
∴k的取值范围为，
故答案为：
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．
12. （2022四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
【答案】5
【解析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=c，c=d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．
【详解】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，
∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
∴c=3b，则b=c，
∴d=2b+c=c，则c=d，
∴4d+d =26，
∴d=5，
∴正方形d的边长为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．
三、解答题
13. （2024四川乐山）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段（含端点）上“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键．
（1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标；
（2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围；
（3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围．
【小问1详解】
解：当时，抛物线．
∴顶点坐标．
【小问2详解】
令，则，
∴，
∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵，
∴当“完美点”个数4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．
∴a的取值范围是．
【小问3详解】
根据，
得抛物线的顶点坐标为，过点，，．
∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
显然，“完美点”，，符合题意．
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．
②当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．
∴a的取值范围是．
14. （2023四川遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
（1）求的值；
（2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．
【答案】（1）10； （2）且．
【解析】【分析】（1）根据新定义计算即可求解；
（2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
整理得，
∵关于x方程有两个实数根，
∴，且，
解得且．
【点睛】考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
15. （2022四川遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．
（1）求双曲线上的“黎点”；
（2）若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围．
【答案】（1）上的“黎点”为，
（2）
【解析】【分析】（1）设双曲线上的“黎点”为，构建方程求解即可；
（2）抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，，可得结论．
【小问1详解】
设双曲线上的“黎点”为，
则有，解得，
∴上的“黎点”为，．
【小问2详解】
∵抛物线上有且只有一个“黎点”，
∴方程有且只有一个解，
即，，，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
16.（2024四川甘孜） 【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）2；；（2）①；②或
【解析】【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；
②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；
②∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图像上滑动，
顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在 上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．
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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题33 新定义型（含高中知识衔接）问题
一、选择题
1. （2024四川眉山）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川宜宾）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A. 8 B. 18 C. 28 D. 32
3. （2024四川遂宁）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
4. （2023四川内江）对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
二、填空题
5. （2024甘肃威武）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则________．
6. （2024四川广元）若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标______．
7. （2024四川泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______．
8. （2024四川乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；
①；②；③．
（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______．
9. （2023四川成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________．
10. （2023四川广安）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是___________．
11. （2023四川乐山）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则__________．
（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为__________．
12. （2022四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
三、解答题
13. （2024四川乐山）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段（含端点）上“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
14. （2023四川遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
（1）求的值；
（2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．
15. （2022四川遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．
（1）求双曲线上的“黎点”；
（2）若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围．
16.（2024四川甘孜） 【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
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