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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题04 方程（组）及其应用
一、选择题
1. （2022四川南充）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设鸡有x只，则兔子有（35-x）只，根据足共有94列出方程即可．
【详解】解：设鸡有x只，则兔子有（35-x）只，
根据题意可得：2x+4(35-x)=94，故选：D．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．
2. （2023四川成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】设木长尺，根据题意得，
，
故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
3. （2023四川南充）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可列出方程．
【详解】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据题意，得
故选：A
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．
4. （2024四川宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱
【答案】C
【解析】本题考查是二元一次方程的正整数解问题，设用个大箱，个小箱，利用每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案．
【详解】设用个大箱，个小箱，
∴，
∴，
∴方程的正整数解为：
或，
∴所装的箱数最多为箱；
故选C．
5. （2023四川遂宁）《九章算术》是我国古代数学的经典书，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据题意第一个等量关系为9枚黄金和11枚白银的重量相等列二元一次方程；再根据第二个等量关系为1枚黄金和10枚白银重量和比8枚黄金和1枚白银重量和大13列二元一次方程，即可得二元一次方程组.
【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得，
.
故选：C.
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，找出两个等量关系是列方程组的关键.
6. （2024四川甘孜）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键．
根据“每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元”，即可求解．
【详解】解：∵ 每人出8元，剩余3元，
∴，
∵每人出7元，还差4元，
∴，
故所列方程组为：．
故选：A．
7. （2024四川成都市）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可．
设人数为，琎价为，
根据每人出钱，会多出4钱可得出，
每人出钱，又差了3钱．可得出，
则方程组为：，
故选：B．
8. （2024天津市）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案.
【详解】由题意可得方程组为：
，
故选：A.
9. （2022四川成都）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
设苦果有个，甜果有个，由题意可得，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键．
10. （2023四川眉山）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答．
，
得，
，
代入，可得，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
11. （2023四川南充）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答．
法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：，
得，
解得，
将代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键．
12. （2023四川宜宾）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有只，兔有只，则所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，由设鸡有只，兔有只，则由等量关系有35个头和有94条腿列出方程组即可得到答案．
设鸡有只，兔有只，则由题意可得
，
故选：B．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解决古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程组是解决问题的关键．
13. （2023四川宜宾）分式方程的解为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】根据分式方程的解法直接求解即可得到答案．
，
方程两边同时乘以得到，
，
检验：当时，，
是原分式方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的解法，对于分式方程求解验根是解决问题的关键步骤．
14. （2024四川遂宁）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范围为且，
故选：．
15. （2024黑龙江齐齐哈尔）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. D. 且
【答案】A
【解析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
故选：．
16. （2022四川德阳）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A. a＞－1 B. a＞－1且a≠0
C. a＜－1 D. a＜－1且a≠－2
【答案】D
【解析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案.
方程左右两端同乘以最小公分母x-1，得2x+a=x-1.解得：x=-a-1且x为正数．所以-a-1＞0，解得a＜-1，且a≠-2.（因为当a=-2时，方程不成立.）
【点睛】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a≠-2这个信息．
17. （2022四川遂宁）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4
【答案】D
【解析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
方程两边同乘，得，
整理得，
原方程无解，
当时，；
当时，或，此时，，
解得或，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或4；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
18. （2023四川内江）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列出分式方程即可．
【详解】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，
由题意得，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19. （2024四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．
【详解】设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，
由题意得，
故选：D．
20. （2023四川达州）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为元/件，根据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可．
【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为元/件，根据题意得：
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．
21. （2023四川广元）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．
【详解】由题意可得走路线b时的平均速度为千米/小时，
∴，
故选：A．
【点睛】考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22. （2024四川凉山）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A.2 B. C. 2或 D.
【答案】A
【解析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．
【详解】是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；
故选A
23. （2024四川广安）若关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且 B.
C. 且 D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
24. （2024黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．
∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和；
∴，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．
∴
A. 中，，，故该选项不符合题意；
B. 中，，，故该选项符合题意；
C. 中，，，故该选项不符合题意；
D. 中，，，故该选项不符合题意；
故选：B．
25. （2024四川乐山）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可．
【详解】解：，
，
而，
，
，
故选：A．
26. （2024四川内江）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解．
【详解】根据题意，得
即，
故选：B．
27. （2024四川眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．
设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可．
根据题意得：．
故选：B．
28. （2023四川广安）已知，，为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判定
【答案】B
【解析】由点在第四象限，可得，，可得，从而可得答案．
∵点在第四象限，
∴，，
方程的判别式，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，一元二次方程根的判别式，熟记第四象限内点的坐标特点为：以及根的判别式的含义是解本题的关键．
29. （2023四川广元）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
，
其中，，，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
30.（2023四川乐山） 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】C
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
∵关于x的一元二次方程两根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数关系，熟练掌握此关系是解题关键．
31. （2022四川泸州） 已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A. B. C. 或3 D. 或3
【答案】A
【解析】利用根与系数的关系以及求解即可．
由题意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴，
【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出，再利用根与系数的关系求出或（舍去）．
32. （2023四川泸州）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关
【答案】C
【解析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．
∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
二、填空题
33. （2023四川泸州）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值___________．
【答案】7（答案不唯一）
【解析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案．
【详解】将两个方程相减得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】主要考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点．
34. （2024四川成都市）分式方程的解是____．
【答案】x=3
【解析】分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解．
考点：解分式方程
35. （2024四川达州）若关于的方程无解，则的值为______．
【答案】或2
【解析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到或，解关于k的方程即可得到答案．
【详解】
去分母得：，
解得：，
∵关于的方程无解，
∴当或时，分式方程无解，
解得：或（经检验是原方程的解），
即或，无解．
故答案为：或2．
36. （2023四川眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．
【答案】且
【解析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答．
解，可得，
的方程的解为非负数，
，
解得，
，
，
即，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．
37. （2022四川泸州） 若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】先解分式方程得，再把代入不等式计算即可．
去分母得：
解得：
经检验，是分式方程的解
把代入不等式得：
解得
故答案为：
【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．
38. （2024深圳）已知一元二次方程一个根为1，则______．
【答案】
【解析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】关于的一元二次方程的一个根为，
满足一元二次方程，
，
解得，．
故答案为：．
39. （2024四川眉山）已知方程的两根分别为，，则的值为______．
【答案】##0.5
【解析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可．
【详解】方程的两根分别为，，
，，
．
故答案为：．
40. （2024四川成都市）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】7
【解析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．
【详解】∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
则
∴
故答案：7
41. （2024四川凉山）已知，则值为______．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．
【详解】∵，
∴，
将代入
得，，
即：，
，
∴或，
∵，
∴舍，
∴，
故答案为：3．
42. （2024四川泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】
【解析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．
【详解】，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
．
故答案为：．
43. （2023四川眉山）已知方程的根为，则的值为______．
【答案】6
【解析】解方程，将解得的代入即可解答．
，
对左边式子因式分解，可得
解得，，
将，代入，
可得原式，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．
44. （2023四川宜宾）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为______．
【答案】2
【解析】根据根与系数的关系即可求出答案．
设方程两个根分别为a，b，
由题意得：，，
∴，
∴，解得：，
经检验：是分式方程的解，
检验：，
∴符合题意，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
45. （2022四川成都）分式方程的解是_________．
【答案】
【解析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
解：化整式方程为：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键．
三、解答题
46. （2023四川乐山）解二元一次方程组：
【答案】
【解析】采用加减消元法即可求解．
①，得②，
将②+③，得，
解得．
将代入①，
得，
∴方程组的解为：．
【点睛】主要考查运用加减消元法解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．
47. （2023四川凉山）解方程：．
【答案】
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
方程两边同乘，
得，
整理得，，
∴，
解得：，，
检验：当时，，是增根，
当时，，
原方程的解为．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
48. （2022四川凉山）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【解析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
49. （2024四川南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若，且，，都是整数，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可；
（2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可．
【小问1详解】
解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：∵，由（1）得，
∴，
∴整数的值有，，，
当时，方程为，
解得：，（都是整数，此情况符合题意）；
当时，方程为，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
当时，方程，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述，的值为．
50. （2024四川遂宁）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）或．
【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【小问1详解】
证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
51. （2024四川内江）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
（1）填空：________，________；
（2）求，；
（3）已知，求的值．
【答案】（1），；
（2），；
（3）．
【解析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
（）利用根和系数的关系即可求解；
（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；
（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【小问1详解】
解：由根与系数的关系得，，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由根与系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴．
52. （2023四川南充）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）或．
【解析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
53. （2022四川凉山）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】（1）； （2）（3）或
【解析】（1）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
54. （2024四川自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
【解析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包个粽子，则甲组每小时包个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结果．
【详解】设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子，
由题意得：
，解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：，
∴
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
55. （2023四川自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．
【答案】该客车的载客量为40人
【解析】设该客车的载客量为人，由题意知，，计算求解即可．
【详解】设该客车的载客量为人，
由题意知，，
解得，，
∴该客车的载客量为40人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
56. （2023四川乐山）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
【答案】原计划每天种植梨树500棵
【解析】根据题意列出分式方程求解即可．
设原计划每天种植梨树x棵
由题可知：
解得：
经检验：是原方程的根，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
【点睛】题目注意考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题关键．
57. （2022四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
【答案】摩托车的速度为40千米/时
【解析】设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，
依题意，得：，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，
答：摩托车的速度为40千米/时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题04 方程（组）及其应用
一、选择题
1. （2022四川南充）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. （2023四川成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. （2023四川南充）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. （2024四川宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱
5. （2023四川遂宁）《九章算术》是我国古代数学的经典书，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
6. （2024四川甘孜）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
7. （2024四川成都市）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
8. （2024天津市）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A. B.
C D.
9. （2022四川成都）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
10. （2023四川眉山）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11. （2023四川南充）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
12. （2023四川宜宾）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有只，兔有只，则所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
13. （2023四川宜宾）分式方程的解为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14. （2024四川遂宁）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A. B. 且
C. D. 且
15. （2024黑龙江齐齐哈尔）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. D. 且
16. （2022四川德阳）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A. a＞－1 B. a＞－1且a≠0
C. a＜－1 D. a＜－1且a≠－2
17. （2022四川遂宁）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4
18. （2023四川内江）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
19. （2024四川达州）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
20. （2023四川达州）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
21. （2023四川广元）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
22. （2024四川凉山）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A.2 B. C. 2或 D.
23. （2024四川广安）若关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且 B.
C. 且 D.
24. （2024黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A. B.
C. D.
25. （2024四川乐山）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A. B. C. D. 6
26. （2024四川内江）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ）
A. B.
C. D.
27. （2024四川眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
28. （2023四川广安）已知，，为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判定
29. （2023四川广元）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
30.（2023四川乐山） 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
31. （2022四川泸州） 已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A. B. C. 或3 D. 或3
32. （2023四川泸州）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关
二、填空题
33. （2023四川泸州）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值___________．
34. （2024四川成都市）分式方程的解是____．
35. （2024四川达州）若关于的方程无解，则的值为______．
36. （2023四川眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．
37. （2022四川泸州） 若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是________．
38. （2024深圳）已知一元二次方程一个根为1，则______．
39. （2024四川眉山）已知方程的两根分别为，，则的值为______．
40. （2024四川成都市）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
41. （2024四川凉山）已知，则值为______．
42. （2024四川泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
43. （2023四川眉山）已知方程的根为，则的值为______．
44. （2023四川宜宾）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为______．
45. （2022四川成都）分式方程的解是_________．
三、解答题
46. （2023四川乐山）解二元一次方程组：
47. （2023四川凉山）解方程：．
48. （2022四川凉山）解方程：x2－2x－3＝0
49. （2024四川南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若，且，，都是整数，求的值．
50. （2024四川遂宁）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的值．
51. （2024四川内江）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
（1）填空：________，________；
（2）求，；
（3）已知，求的值．
52. （2023四川南充）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
53. （2022四川凉山）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
54. （2024四川自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
55. （2023四川自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．
56. （2023四川乐山）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
57. （2022四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
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