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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题12 二次函数的图像与性质等
一、选择题
1. （2024四川凉山）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故选：D．
2. （2022四川泸州） 抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以a不变，选出答案即可．
抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到．
【点睛】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题关键，还要掌握通过平移不能改变开口大小和开口方向，即不改变a的大小．
3. （2023四川泸州）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．
∵二次函数，
∴对称轴，
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴，
∴解得；
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴当时，，
∴解得，
∴，
∴综上所述，
当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．
4. （2023四川南充）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论．
【详解】∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上
∴点在抛物线上
故选：D
【点睛】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．
5. （2023四川自贡）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
【答案】B
【解析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线经过两点
∴，
即，
∴，
∵抛物线与轴有交点，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6. （2024四川眉山）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4
【答案】C
【解析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④.
【详解】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
∵抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，
∴，
故③正确；
④，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C
7. （2024四川遂宁）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确．
【详解】由图可知，
∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，，
则，
∵抛物线与轴的交点在，之间，
∴，
则，故①错误；
设抛物线与轴另一个交点，
∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，解得，
则，故②错误；
∵，，，
∴，解得，故③正确；
根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为满足，故④正确；
故选：B．
8. （2023四川成都）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为
C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【解析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9. （2023四川达州）如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确．
【详解】①∵抛物线的开口向上，
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
由得，，
，
故①正确；
②抛物线的对称轴为，
，
，
，故②正确；
③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等．
由图知时，，
∴时，．
即．
故③错误；
④由图知时二次函数有最小值，
，
，
，
故④错误；
⑤由抛物线的对称轴为可得，
，
∴，
当时，．
由图知时
故⑤正确．
综上所述：正确的是①②⑤，有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键．
10. （2023四川广安）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.
由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，.
，
.
.
故①正确.
是关于二次函数对称轴对称，
.
在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示，
.
故②正确.
图象与轴交于点，
，.
.
.
故③正确.
，
.
当时，，
.
，
，
.
故④不正确.
综上所述，正确的有①②③.
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点.
11. （2023四川广元）已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；关于的方程有实数根，则其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】由抛物线过和两点得到对称轴为直线，且，所以得到，进而判断的符号，得到，；抛物线过点和，代入可得和，解得，又由，得；对称轴为直线，，开口向下，所以有最大值为，且，无法判断关于x的方程是否有实数根．
【详解】已知抛物线过和两点，则对称轴为直线，
∵，所以，即，，则，
当时，，则，所以，故结论①错误；
因为，所以，，即，故结论②正确；
抛物线过和两点，代入可得和，两式相减解得，由可得，解得，故结论③正确；
对称轴为直线，，开口向下，
∵，
∴所以有最大值为，
∵不一定成立，
∴关于x的方程有实数根无法确定，故结论④错误．
故选：B
【点睛】主要考查二次函数的图象与性质，根据题意判断a，b，c与0的关系，再借助点的坐标得出结论．
12. （2023四川南充）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解．
【详解】∵抛物线与x轴有交点，
∴有实数根，
∴
即
解得：或，
当时，如图所示，
依题意，当时，，
解得：，
当时，，解得，
即，
当时，
当时，，
解得：
∴
综上所述，或，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
13. （2024四川成都市）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∵，，
∴，
∴；
∵，，，，
∴，
∵存在，
∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近，
∴，即，且，
∵，，
∴且，
解得，
故答案为：；．
14. （2024四川内江）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则________（填“＞”或“＜”）；
【答案】
【解析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案．
【详解】，
∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：．
15. （2022四川南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高______m时，水柱落点距O点．
【答案】5.5
【解析】【分析】设原抛物线的解析式为， 当向上移动1.5米到4米高度时，抛物线解析式为：，将两个交点分别代入求解确定原解析式，设向上平移k个单位后， ，将点（4,0）代入求解，然后结合题意即可得出结果．
【详解】解：设原抛物线的解析式为，根据题意可得，与x轴交于点（2.5,0）代入得：
①，
当向上移动1.5米到4米高度时，
抛物线解析式为：，与x轴交于点（4,0），代入得
②，
联立①②求解可得：
，
∴将其代入②解得，
∴原抛物线的解析式为，
设向上平移k个单位后，
∴
与x轴交点为（4,0），代入得：
解得：k=3，
∴原抛物线向上移动3个单位，
即喷头高3+2.5=5.5米，
故答案为：5.5．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，设出二次函数的解析式，然后利用待定系数法求解是解题关键．
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专题12 二次函数的图像与性质等
一、选择题
1. （2024四川凉山）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2022四川泸州） 抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
3. （2023四川泸州）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. 或 D. 或
4. （2023四川南充）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A. B. C. D.
5. （2023四川自贡）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
6. （2024四川眉山）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4
7. （2024四川遂宁）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. （2023四川成都）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为
C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大
9. （2023四川达州）如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
10. （2023四川广安）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. （2023四川广元）已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；关于的方程有实数根，则其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. （2023四川南充）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
二、填空题
13. （2024四川成都市）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______．
14. （2024四川内江）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则________（填“＞”或“＜”）；
15. （2022四川南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高______m时，水柱落点距O点．
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