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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题16 三角形及其全等
一、选择题
1. （2022四川德阳）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用构成三角形的条件即可进行解答．
以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家直线距离为a，
则根据题意有：，即，
当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，或者，
综上a的取值范围为：，
据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km，
故选：A．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边．
2. （2022四川凉山）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 5，5，10
【答案】C
【解析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．
A、，不能组成三角形，此项不符题意；
B、，不能组成三角形，此项不符题意；
C、，能组成三角形，此项符合题意；
D、，不能组成三角形，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
3. （2023四川达州）如图，，平分，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，利用三角形内角和定理求解即可．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
4. （2022四川自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
【答案】B
【解析】这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据三角形的内角和等于180°，即可求解．
设这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据题意得：
，
解得：，
即这个底角的度数为40°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
5. （2024四川巴中）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（ ）
A. 的垂直平分线一定与相交于点
B.
C. 当为中点时，是等边三角形
D. 当为中点时，
【答案】D
【解析】连接，根据，点是的中点得，则，进而得点在线段的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设，根据得，的，再根据得，则，由此可对选项Ｂ进行判断；当为中点时，则，是线段的垂直平分线，由此得，然后根据，，得，由此可对选项Ｃ进行判断；连接并延长交于，根据是等边三角形得，则，进而得，，由此得，，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】连接，如图1所示：
，点是的中点，
为斜边上的中线，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
即线段的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意；
设，
，
，
，
，
，
，
即，故选B正确，不符合题意；
当为中点时，则，
，
是线段的垂直平分线，
，
，，，
，
，
是等边三角形，故选C正确，不符合题意；
连接，并延长交于，如图2所示：
当为中点时，
点为的中点，
根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点，
当为中点时，是等边三角形，
，，平分，平分，
，
，
在中，，
，
，
，，
，故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
6. （2024四川广安）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了三角形中位线定理、平行线性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．先证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选D
7. （2023四川凉山）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列条件仍无法证明的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据，可得，再根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
∵，
∴，
∵，
A、添加，可利用角边角证明，故本选项不符合题意；
B、添加，可利用边角边证明，故本选项不符合题意；
C、添加，可利用角角边证明，故本选项不符合题意；
D、添加，无法证明，故本选项不符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8. （2023四川眉山）如图，中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．
9. （2022四川成都）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
A、，不能判断，选项不符合题意；
B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意；
C、，不能判断，选项不符合题意；
D、，不能判断，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
10. （2022四川南充）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．
在中，的平分线交于点D，，
∴CD=DF=3，故B正确；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正确；
∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，
∴△BDF≌△DEC，
∴BF=CD=3，故A错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
二、填空题
11. （2024四川凉山）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______．
【答案】##100度
【解析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答．
【详解】∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故答案为：．
12. （2024四川内江）如图，在中，，，，则的度数为________；
【答案】##100度
【解析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差．
根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴．
故答案为：
13. （2024四川成都市）如图，，若，，则的度数为______．
【答案】##100度
【解析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可．
【详解】由，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
14. （2023四川广元）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为 _____．
【答案】##56度
【解析】先判断为线段的垂直平分线，即可得，，再由，可得，即有，利用三角形内角和定理可求的度数．
【详解】由作图可知为线段的垂直平分线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断为线段的垂直平分线是解答本题的关键．
15. （2023四川遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是________三角形．
【答案】直角
【解析】设一份为，则三个内角的度数分别为，，，然后根据三角形内角和进行求解即可．
设一份为，则三个内角的度数分别为，，．
则，
解得．
所以，，即，．
故这个三角形是直角三角形．
故答案是：直角．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
16. （2023四川遂宁）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有_________．(填序号)
【答案】①②④
【解析】【分析】①当时，是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出，进而判断①；证明，根据全等三角形的性质判断②；作直线于点， 过点作于点，过点作于点，证明，，，即可得是的中点，故④正确，证明，可得，在中，，在中，，得出 ，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：①当时，是等边三角形，
∴
∴
∵等腰直角、，
∴
∴
∴；故①正确；
②∵等腰直角、，
∴，
∴
∴
∴；故②正确；
④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
又，
∴
又∵，
∴
同理得，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，即是的中点，故④正确，
∴，
设，则
在中，
在中，
∴
∴
解得：
∴，
∴，
∴
∴
在中，
∴,故③错误
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题
17. （2024四川乐山）知：如图，平分，．求证：．
【答案】见解析
【解析】利用证明，即可证明．
平分，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握、、、等全等三角形的判定方法是解题的关键．
18. （2024四川南充）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到，由，得到，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证．
【小问1详解】
证明：为的中点，
．
；
在和中，
；
【小问2详解】
证明：
垂直平分，
．
19. （2024四川自贡）如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若，平分，请直接写出的形状．
【答案】（1）见解析 （2）是等腰直角三角形．
【解析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定．
（1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明；
（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
20. （2024四川宜宾）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
【答案】见解析
【解析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明∶∵是等边三角形，
∴，，
又，
∴，
∴．
21. （2024四川内江）如图，点、、、在同一条直线上，，，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.
（1）先证明，再结合已知条件可得结论；
（2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论.
【小问1详解】
证明：∵
∴，即
∵，
∴
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴
22. （2023四川乐山）如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．
【答案】见解析
【解析】【分析】要证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD，根据AC//DB可得∠A=∠B，∠C=∠D，又知AO=BO，则可得到△AOC≌△BOD，从而求得结论．
【详解】（方法一）
∵AC//DB，
∴∠A=∠B，∠C=∠D．
在△AOC与△BOD中
∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
（方法二）∵AC//DB，
∴∠A=∠B．
在△AOC与△BOD中，
∵，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
23. （2023四川泸州）如图，点在线段上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定．
24. （2023四川宜宾）已知：如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在与中
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
25. （2022四川乐山）如图，B是线段AC的中点，，求证：．
【答案】证明过程见详解
【解析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．
证明∵B是AC中点，
∴AB=BC，
∵，
∴∠A=∠EBC，
∵，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．
26. （2022四川自贡）如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ．
【答案】详见解析
【解析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得．
证明：∵△是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大．
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2022-2024四川省各地数学三年中考真题专题分类汇编
专题16 三角形及其全等
一、选择题
1. （2022四川德阳）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A. B. C. D.
2. （2022四川凉山）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 5，5，10
3. （2023四川达州）如图，，平分，则（ ）
A. B. C. D.
4. （2022四川自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
5. （2024四川巴中）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（ ）
A. 的垂直平分线一定与相交于点
B.
C. 当为中点时，是等边三角形
D. 当为中点时，
6. （2024四川广安）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. （2023四川凉山）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列条件仍无法证明的是（ ）
A. B. C. D.
8. （2023四川眉山）如图，中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. （2022四川成都）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
10. （2022四川南充）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11. （2024四川凉山）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______．
12. （2024四川内江）如图，在中，，，，则的度数为________；
13. （2024四川成都市）如图，，若，，则的度数为______．
14. （2023四川广元）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为 _____．
15. （2023四川遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是________三角形．
16. （2023四川遂宁）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有_________．(填序号)
三、解答题
17. （2024四川乐山）知：如图，平分，．求证：．
18. （2024四川南充）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
19. （2024四川自贡）如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若，平分，请直接写出的形状．
20. （2024四川宜宾）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
21. （2024四川内江）如图，点、、、在同一条直线上，，，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
22. （2023四川乐山）如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．
23. （2023四川泸州）如图，点在线段上，，，．求证：．
24. （2023四川宜宾）已知：如图，，，．求证：．
25. （2022四川乐山）如图，B是线段AC的中点，，求证：．
26. （2022四川自贡）如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ．
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