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湘教版八年级上册数学同步练习卷
2.2 命题与证明
一、单选题
1．下列四个命题中，是真命题的是( )．
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．互补的两个角是邻补角
D．平移前后的两个图形的形状相同，大小不同
【答案】A
【详解】分析：利用平行线的性质、邻补角的定义及平移的性质分别判断后即可确定正确的选项．
详解：A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题；
B．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误，是假命题；
C．互补的两个角不一定是邻补角，故错误，是假命题；
D．平移前后的两个图形的形状相同，大小相等，故错误，是假命题．
2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两直线平行，同位角相等
C．对应角相等的两个三角形全等
D．如果|a|＝|b|，那么a＝b
【答案】B
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等，是真命题，符合题意；
C、对应角相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，不符合题意；
D、如果|a|＝|b|，那么a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题，不符合题意；
3．下列句子中，是命题的是（ ）
A．是2的算术平方根吗 B．钝角三角形和直角三角形
C．同位角相等 D．频数分布直方图
【答案】C
【详解】A. 是2的算术平方根吗，没做出判断，故不是命题；
B. 钝角三角形和直角三角形，没做出判断，故不是命题；
C. 同位角相等是对同位角是否相等做出了判断，是命题；
D. 频数分布直方图，没做出判断，故不是命题；
4．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0 D．两直线平行，内错角相等
【答案】D
【详解】解：A、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，此逆命题是假命题，不符合题意；
B、“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等形”，此逆命题是假命题，不符合题意；
C、“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是“如果ab＞0，那么a＞0，b＞0”，此逆命题是假命题，不符合题意；
D、“两直线平行，内错角相等”的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，此逆命题是真命题，符合题意．
5．有下列命题：①方程的解是；②64的平方根是±8；③两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；④若，则；⑤若式子有意义，则.其中假命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】易知②③是真命题，
方程的解是，故①是假命题；
取，，则，但，故④是假命题；
若式子有意义，则，故⑤是假命题.
6．下列命题是假命题的是【 】
A．中心投影下，物高与影长成正比 B．平移不改变图形的形状和大小
C．三角形的中位线平行于第三边 D．圆的切线垂直于过切点的半径
【答案】A
【详解】分别根据中心投影的性质、切线的性质、平移的性质以及三角形中位线定理等进行判断即可得出答案：
A．中心投影下，物高与影长取决于物体距光源的距离，故此选项错误，是假命题；
B．平移不改变图形的形状和大小，根据平移的性质，故此选项正确，不是假命题；
C．三角形的中位线平行于第三边，根据三角形中位线的性质，故此选项正确，不是假命题；
D．圆的切线垂直于过切点的半径，利用切线的判定定理，故此选项正确，不是假命题．
7．下列命题中是真命题的个数是（ ）
①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤三条直线两两相交，总有三个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：连接直线外一点到这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，所以①是真命题；在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以②为假命题；若a∥b，b∥c，则a∥c，所以③为真命题；平面上过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以④为真命题；三条直线两两相交有三个交点或一个交点，所以⑤为假命题．
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．若a＞b，则ac＞bc
C．三个内角的度数之比为1：2：3的三角形是直角三角形
D．若两个三角形面积相等，则这两个三角形一定关于某条直线对称
【答案】C
【分析】根据平行线的性质、不等式的性质、直角三角形的性质和对称的性质判断即可．
【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，是假命题；
B、若a＞b，c＜0时，则ac＜bc，是假命题；
C、三个内角的度数之比为1：2：3的三角形是直角三角形，是真命题；
D、若两个三角形面积相等，这两个三角形不一定全等，不一定关于某条直线对称，是假命题；
故选C．
【点睛】该题主要考查了命题与定理中的真、假命题及其判断问题；解题的关键是灵活运用所学的定义、定理等数学知识对所给的命题逐一分析、比较、判断、解答．
9．下列命题中，真命题是（ ）
A．内错角相等 B．有一个角相等的两个等腰三角形全等
C．有两角及一边相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积相等
【答案】D
【分析】真命题就是正确的命题，即命题的说法是对的；假命题就是错误的命题，即命题的说法是错误的.
A. 内错角相等，是平行线性质定里的结论，但是缺少条件（两直线平行）；
B.若其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形的底角，就不一定全等；
C.若一个三角形的已知边是已知两个角的夹边，另一个三角形的已知边是已知两角的对边，就不一定全等，两角及一边必须对应相等；
D. 全等三角形就是能够完全重合的两三角形，故面积相等.
【详解】A. 内错角相等，是平行线性质定里的结论，但是缺少条件（两直线平行），故错误；
B.若其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形的底角，就不一定全等，故错误；
C.若一个三角形的已知边是已知两个角的夹边，另一个三角形的已知边是已知两角的对边，就不一定全等，两角及一边必须对应相等，两三角形才全等，故错误；
D. 全等三角形就是能够完全重合的两三角形，故面积相等，故正确.
10．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．直角三角形的两锐角互余 D．直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方
【答案】A
【详解】A对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，逆命题是假命题，故没有逆定理；B同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是逆定理；C直角三角形两锐角互余的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，是逆定理；D直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方的逆定理是：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，因此答案选择A.
【点睛】本题考查的知识点是定理与逆定理，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
11．下列四个命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；③相等的两个角是对顶角；④垂直于同一条直线的两条直线相互垂直. 真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【详解】①假命题，两平行直线被第三条直线所截，同位角相等；②真命题；③假命题，相等的两个角不一定是对顶角；④假命题，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
12．下列命题中，是真命题的是( )
A．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】B
【详解】A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以A选项为假命题．
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B选项为真命题；
C.对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项为假命题；
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以D选项为假命题；
二、填空题
13．把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：
【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等
【详解】解：把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等，
14．说明命题“a的平方是正数”是假命题的反例是 ．
【答案】
【详解】解：当时，
，
此时a的平方不是是正数，
命题“a的平方是正数”是假命题；
15．下列三个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③两直线平行，同位角相等．其中是假命题的有 ．（填序号）
【答案】②
【详解】解：①对顶角相等，是真命题；
②两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
③两直线平行，同位角相等，是真命题；
16．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下：
原料 时间 工序 原料 原料 原料
上漆
描绘花纹
则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时．
【答案】
【详解】甲按、、的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要（小时），
17．将命题“两直线平行、同旁内角互补”，改写成“如果…，那么…”的形式为
【答案】如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补
【详解】把命题“两直线平行，同旁内角互补”改写成“如果那么”的形式为：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补．
18．用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，第一步应假设 .
【答案】李子不是苦的
【详解】∵需证明：此必苦李，而反证法的假设即原命题的逆命题正确；
∴应假设：李子为甜李．
19．把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写成“如果…那么…”的形式是 ，这个命题是 （填“真”或“假”）命题
【答案】 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角 真
【详解】命题“直角三角形的两个锐角互为余角”中的题设是三角形是直角三角形，结论是它的两个锐角互为余角，
则改写成：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角，
由直角三角形的性质得：这个命题是真命题，
20．A，，，，五名同学猜测自己的数学成绩. A说：“如果我得优，那么也得优.”说：“如果我得优，那么也得优.”说：“如果我得优，那么也得优.”说：“如果我得优，那么也得优.”大家都没说错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是 （填字母）.
【答案】
【详解】解：由题意，若A得优，则A，，，，均为优，不合题意，则A非优；若B得优，则，，，均为优，不合题意，故B非优；因只有三个得优，故得优．
故答案为：
【点睛】本题考查逻辑推理,根据题意由条件，得出相应结论，运用反证法的思想是解题问题的关键．
三、解答题
21．与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜．
温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】
（1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？
（2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？
（3）你可能得到的最高分是多少？
【答案】（1）希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走；（2）手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0；（3）54分
【分析】(1)根据题意红色牌代表正分，黑色牌代表负分，进而得出答案；
(2)利用每人得6张牌的总分为零，即可得出手中牌的总分与同伴手中的总分关系；
(3)假设抽到三张红色牌且为8，9，10，进而得出答案．
【详解】解：(1)∵红色代表正分，黑色代表负分，
∴希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走，
故答案为：希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走；
(2)∵每人手中6张牌的总分为零，
∴无论多少次后，总分之和为0，
故答案为：手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0；
(3)假设抽到的三张牌均为红色牌且为8、9、10时，
可能得到的最高分是：2×(10+9+8)＝54(分)，
故答案为：54分．
【点睛】本题考查了推理与论证，根据题意注意红色牌代表正分得出是解题关键．
22．已知：，.设.
（1）计算______，______，______，______；
（2）试写出、、三者之间的关系______；
（3）根据以上得出的结论，求.
【答案】（1）1 ， 3， 4 ，7； （2）； （3）29.
【详解】（1）∵，，
∴=1，
==，
=，
=；
（2）由数列 的规律：前两项的和等于后一项的值，可得：；
（3）∵1 ， 3， 4 ，7，，，
∴.
23．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释. 如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片. 用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：．
（1）如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为________；
（2）若解释因式分解，需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；
（3）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则m的值为________，将此多项式分解因式为________．
【答案】（1）
（2）见解析
（3）m=6，
【详解】解：（1）
（2）如下图：
（3）
24．思考探究再回答：
定义一种对于三位数（a、b、c不完全相同）的“F运算”：重排的三位数上的数字，计算所得最大三位数与最小三位数的差（允许百位数为0）例如时，则
（1）579经过三次“F运算”得______；
（2）假设中，则经过一次“F运算”得_______;（用代数式表示）
（3）猜想：任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个定值______，请验证你的猜想．
【答案】（1）495；（2）99（a c）；（3）495
【详解】解：（1）①975 579＝396；②963 369＝594；③954 459＝495；
故答案是：495；
（2）由题意得：，，
∴经过一次“F运算”得：（100a＋10b＋c） （100c＋10b＋a）
＝100a＋10b＋c 100c 10b a
＝99a 99c
＝99（a c），
故答案是：99（a c）；
（3）不妨设这个三位数中三个数字为a≥b≥c，且a≥c＋1，
则“F运算”有＝99（a c）＝100（a c 1）＋10×9＋（10＋c a），
因此所得的三位数中必有一个9，而另外两个数字之和为9；
共有990，981，972，963，954五种情况；
以990为例得，990 099＝891，
981 189＝792，
972 279＝693，
963 369＝594，
954 459＝495，
…
由此可知最后得到495数就会循环．
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2.2 命题与证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个命题中，是真命题的是( )．
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．互补的两个角是邻补角
D．平移前后的两个图形的形状相同，大小不同
2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两直线平行，同位角相等
C．对应角相等的两个三角形全等
D．如果|a|＝|b|，那么a＝b
3．下列句子中，是命题的是（ ）
A．是2的算术平方根吗 B．钝角三角形和直角三角形
C．同位角相等 D．频数分布直方图
4．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0 D．两直线平行，内错角相等
5．有下列命题：①方程的解是；②64的平方根是±8；③两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；④若，则；⑤若式子有意义，则.其中假命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．下列命题是假命题的是【 】
A．中心投影下，物高与影长成正比 B．平移不改变图形的形状和大小
C．三角形的中位线平行于第三边 D．圆的切线垂直于过切点的半径
7．下列命题中是真命题的个数是（ ）
①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤三条直线两两相交，总有三个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．若a＞b，则ac＞bc
C．三个内角的度数之比为1：2：3的三角形是直角三角形
D．若两个三角形面积相等，则这两个三角形一定关于某条直线对称
9．下列命题中，真命题是（ ）
A．内错角相等 B．有一个角相等的两个等腰三角形全等
C．有两角及一边相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积相等
10．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．直角三角形的两锐角互余 D．直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方
11．下列四个命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；③相等的两个角是对顶角；④垂直于同一条直线的两条直线相互垂直. 真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．下列命题中，是真命题的是( )
A．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
二、填空题
13．把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：
14．说明命题“a的平方是正数”是假命题的反例是 ．
15．下列三个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③两直线平行，同位角相等．其中是假命题的有 ．（填序号）
16．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下：
原料 时间 工序 原料 原料 原料
上漆
描绘花纹
则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时．
17．将命题“两直线平行、同旁内角互补”，改写成“如果…，那么…”的形式为
18．用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，第一步应假设 .
19．把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写成“如果…那么…”的形式是 ，这个命题是 （填“真”或“假”）命题
20．A，，，，五名同学猜测自己的数学成绩. A说：“如果我得优，那么也得优.”说：“如果我得优，那么也得优.”说：“如果我得优，那么也得优.”说：“如果我得优，那么也得优.”大家都没说错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是 （填字母）.
三、解答题
21．与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜．
温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】
（1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？
（2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？
（3）你可能得到的最高分是多少？
22．已知：，.设.
（1）计算______，______，______，______；
（2）试写出、、三者之间的关系______；
（3）根据以上得出的结论，求.
23．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释. 如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片. 用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：．
（1）如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为________；
（2）若解释因式分解，需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；
（3）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则m的值为________，将此多项式分解因式为________．
24．思考探究再回答：
定义一种对于三位数（a、b、c不完全相同）的“F运算”：重排的三位数上的数字，计算所得最大三位数与最小三位数的差（允许百位数为0）例如时，则
（1）579经过三次“F运算”得______；
（2）假设中，则经过一次“F运算”得_______;（用代数式表示）
（3）猜想：任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个定值______，请验证你的猜想．
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