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湘教版八年级上册数学同步练习卷
2.4 线段的垂直平分线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知AB＝AC，AB＝10，BC＝6，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．16 B．20 C．22 D．26
2．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，适当长度（大于长的一半）为半径作圆弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的周长为（ ）
A．11 B．14 C．16 D．17
4．如图，的垂直平分线交于点D，，，则的周长为（ ）
A．6 B．10 C．16 D．18
5．如图，DE、FG分别是△ABC的AB、AC边上的垂直平分线，且∠BAC=100°，那么∠DAF的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（ ）
A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上
8．点是内一点，点到的三个顶点的距离相等，则点是哪三条线的交点？（ ）
A．高线 B．角平分线 C．边的垂直平分线 D．中线
9．如图，点是内一点，，，则以下结论：①②③平分④与的位置关系是互相垂直．其中正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知锐角三角形中，，点是、垂直平分线的交点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
12．如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D；已知AB＝3，AC＝7，BC＝8，则△ABD的周长为 ．
14．如图，中，DE垂直平分BC交BC于点D，交AB于点E，，，则 ．
15．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，已知的周长为，，则 ．
16．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△BDC的周长是 ．
17．在ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC边于点D，E，若AE＝BC，则＝ ．
18．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、P，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、Q，∠BAC=110°，则∠PAQ= °．
19．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线和外一点．（如图）
求作：直线的垂线，使它经过点．
作法：如图2
（1）在直线上任取两点，；
（2）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；
（3）作直线．
所以直线就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是 ．
20．如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最 值（填入“大”或“小”），最值为 ．
三、解答题
21．如图，在中，是的垂直平分线，若，，求的周长？
22．如图，在中，．
(1)利用尺规作图作的垂直平分线，垂足为，交于点，延长至点，使；
(2)若，求的周长．
23．在中，，作的垂直平分线交于点D，交直线于点B．若，求的度数．（提示：分两种情况计算）
24．如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M个速度为，点N的速度为，当点M、N第一次相遇时，点M、N同时停止运动，设点M、N的运动时间为秒．
(1)当点M在上时，___________；当点M在上时，___________（用含t的代数式表示）．
(2)点N在上时，若为直角三角形，求t的值．
(3)连结，当的对称轴垂直平分线段时，直接写出t的值．
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湘教版八年级上册数学同步练习卷
2.4 线段的垂直平分线
一、单选题
1．如图，已知AB＝AC，AB＝10，BC＝6，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．16 B．20 C．22 D．26
【答案】A
【详解】解：∵AB＝AC，AB＝10，
∴AC＝10，
由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝10+6＝16．
2．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，适当长度（大于长的一半）为半径作圆弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据作图可得是的垂直平分线，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴的周长
．
3．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的周长为（ ）
A．11 B．14 C．16 D．17
【答案】B
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴△ACE的周长=AC+EC+EA=AC+EC+EB=AC+BC，
∵BC=8，AC=6，
∴△ACE的周长=AC+BC=14，
4．如图，的垂直平分线交于点D，，，则的周长为（ ）
A．6 B．10 C．16 D．18
【答案】C
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∵，，
∴；
5．如图，DE、FG分别是△ABC的AB、AC边上的垂直平分线，且∠BAC=100°，那么∠DAF的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【详解】∵∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=180°-100°=80°，
∵DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，
∴DA=DB，FA=FC，
∴∠DAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠DAF=100°-（∠DAB+∠FAC）=100°-（∠B+∠C）=20°，
6．如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∵和分别垂直平分和，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
7．在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（ ）
A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上
【答案】B
【详解】解：∵PA=PB，
∴P点一定在边AB的垂直平分线上，
8．点是内一点，点到的三个顶点的距离相等，则点是哪三条线的交点？（ ）
A．高线 B．角平分线 C．边的垂直平分线 D．中线
【答案】C
【详解】∵点到的三个顶点的距离相等，
∴点在的三条边的垂直平分线上，
∴点是三条边的垂直平分线的交点，
9．如图，点是内一点，，，则以下结论：①②③平分④与的位置关系是互相垂直．其中正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠BCD＋∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，故①错误；
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
故②正确；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故④正确；
∴BD平分∠ABC，故③正确；
故其中正确的有②③④，
10．已知锐角三角形中，，点是、垂直平分线的交点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：如图，连接OA、OB，
∵∠BAC=65°，
∴∠ABC+∠ACB=115°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
∴∠OBA+∠OCA=65°，
∴∠OBC+∠OCB=115°-65°=50°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC=25°，
11．如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
【答案】A
【详解】由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
12．如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵点E，F分别在，的垂直平分线上，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题
13．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D；已知AB＝3，AC＝7，BC＝8，则△ABD的周长为 ．
【答案】10
【详解】∵BC边上的垂直平分线交AC于点D，
∴BD＝CD．
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+（AD+CD）＝AB+AC＝3+7＝10．
14．如图，中，DE垂直平分BC交BC于点D，交AB于点E，，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵DE垂直平分BC交BC于点D，，
∴EC=BE，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，已知的周长为，，则 ．
【答案】4
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，．
∵的周长为，，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△BDC的周长是 ．
【答案】13
【详解】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
△BDC的周长是，
∵AB＝AC＝7，BC＝6，
∴△BDC的周长是6+7=13，
17．在ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC边于点D，E，若AE＝BC，则＝ ．
【答案】60°/60度
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠AED=∠BED=90°-40°=50°，
∴∠BEC=180°-2×50°=80°，
∵AE=BC，
∴BE=BC，
∴∠C=∠BEC=80°，
18．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、P，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、Q，∠BAC=110°，则∠PAQ= °．
【答案】40
【详解】∵在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∴PA=PB，AQ=CQ，∴∠PAB=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=70°，∴∠PAB+∠CAQ=70°，∴∠PAQ=∠BAC-（∠PAB+∠CAQ）=110°-70°=40°．故答案为40．
19．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线和外一点．（如图）
求作：直线的垂线，使它经过点．
作法：如图2
（1）在直线上任取两点，；
（2）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；
（3）作直线．
所以直线就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是 ．
【答案】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）
【详解】解：由尺规作图过程可知，，
∴点在线段的垂直平分线上，点也在线段的垂直平分线上，
∴，
∴作图依据是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
连接的依据是两点确定一条直线．
20．如图，等腰三角形ABC的面积为24，底边，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长存在最 值（填入“大”或“小”），最值为 ．
【答案】 小 11
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接AD，MA，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴，
解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，
∴MA=MC，
∴MC+DM=MA+DM≥AD，
∴MC+DM有最小值，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短为：，
三、解答题
21．如图，在中，是的垂直平分线，若，，求的周长？
【答案】的周长是13
【详解】解：是的垂直平分线．
，
，
的周长，
答：的周长是13．
22．如图，在中，．
(1)利用尺规作图作的垂直平分线，垂足为，交于点，延长至点，使；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)3
【详解】（1）①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，
②作直线，垂足为，交于点，
③以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点．
如图即为所作．
（2）由（1）得的垂直平分线交于点，
连接，
∴，
∴的周长为：
，
∵，，
∴，
∴的周长为．
23．在中，，作的垂直平分线交于点D，交直线于点B．若，求的度数．（提示：分两种情况计算）
【答案】的度数为或
【详解】解：①如图，当是锐角三角形时，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
②如图，当是钝角三角形时，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
综上，的度数为或．
24．如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M个速度为，点N的速度为，当点M、N第一次相遇时，点M、N同时停止运动，设点M、N的运动时间为秒．
(1)当点M在上时，___________；当点M在上时，___________（用含t的代数式表示）．
(2)点N在上时，若为直角三角形，求t的值．
(3)连结，当的对称轴垂直平分线段时，直接写出t的值．
【答案】(1)；(2)或5(3)或或或
【详解】（1）解：当点M在上时，，当点M在上时，．
故答案为：，；
（2）解：由题意，点N的速度为，，
当时，点N落在上，此时点M也在上．
当点M是的中点时，如图1，
当点M是的中点时，
，
是等边三角形，
，
此时，满足题意，
当点N是的中点时，如图2，
，
此时，满足题意，
综上所述，满足条件的t的值为或5；
（3）解：如图3中，当线段的垂直平分线经过点A时，
，
则，
解得．
如图4中，当线段的垂直平分线经过点B时，
，，
，
，
解得．
如图5中，当线段的垂直平分线经过点C时，
，
，
解得．
如图6中，当线段的垂直平分线经过点A时，
，，
，
，
解得．
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