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湘教版八年级上册数学同步练习卷
2.3 等腰三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知点和点，在x轴上确定点P，使得为等腰三角形，则满足这样条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，在中，，点是外一点，连接、、，且交于点，在上取一点，使得，．若，则的度数为
A． B． C． D．
3．下列说法中，正确的有（ ）
①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；
③等腰三角形的两底角相等； ④等腰三角形两底角的平分线相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在第1个△中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第2个，在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以为顶点的底角度数是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，，平分交于点D，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，在第1个△中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第2个，在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以为顶点的底角度数是（ ）
A． B．
C． D．
7．长方形纸片中，长，宽．现将长方形纸片按图1所示的方式折叠，使得与重合；再将向右折叠，使得点落在的延长线上，如图2所示，此时与相交于点．则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
8．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
9．如图是人字型屋架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D．如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是（ ）．
A．AC和BC，焊接点B B．AB和AC，焊接点A
C．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A
10．下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；④已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16；⑤有一个角等于60°的三角形是等边三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，中，，绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点是点E，连接，若，则旋转角度是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F，若，，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
13．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且AE=AD，BD=BF，若∠EDF=42°，则∠C的度数为 度．
14．如图，在平面直角坐标系中，且，点C在y的正半轴上且是等腰三角形，在第二象限内找一点A作等边，求点A的纵坐标是 ．
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，腰长为6，则其底边上的高是 ．
16．如图，，点、、……在射线ON上，点、、……在射线OM上，，，……均为等边三角形，从左数起第1个等边三角形的边长记，第2个等边三角形的边长记，以此类推，若，则 ．
17．已知△ABC的三边长分别为5、5、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．
18．如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为 ．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，若ABC的面积为18cm2 ， 则图中阴影部分的面积是 cm2.
20．如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转到的位置，点B的对应点在BC边上，则的度数为 ．
三、解答题
21．在中，，，将的顶点放置在边的中点上，使的两边分别与边，交于点，（点不与点重合，点不与点重合），设，．
(1)【发现】若．
①如图1，当点与点重合时， ______，______；
②如图2，当点，均不与点重合时，______；
(2)【探究】如图3，当点不与点重合时，判断，和之间满足怎样的数量关系，并说明理由．
22．如图，在中，，，，求的度数．
23．已知a、b、c是三边长，且，试判断的形状．
24．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边满足，判断的形状并说明理由．
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湘教版八年级上册数学同步练习卷
2.3 等腰三角形
一、单选题
1．如图，已知点和点，在x轴上确定点P，使得为等腰三角形，则满足这样条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：当时，点P的位置有2个；
当时，点P的位置有1个；
当时，点P的位置有1个；
与x轴有4个交点．
2．如图，在中，，点是外一点，连接、、，且交于点，在上取一点，使得，．若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意，，
∵，
∴∠ADE=，
∴∠AEB=44°+68°=112°；
故选择：C.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是求出∠ADE的度数.
3．下列说法中，正确的有（ ）
①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；
③等腰三角形的两底角相等； ④等腰三角形两底角的平分线相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：①等腰三角形的两腰相等；正确；
②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；
③等腰三角形的两底角相等；正确；
④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．
4．如图，在第1个△中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第2个，在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以为顶点的底角度数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：，，
；
，
；
同理得：，，，
一般地，第个等腰三角形的底角的度数是，
第2021个等腰三角形的底角度数是，
5．如图，在中，，，平分交于点D，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】∵，
∴为等腰三角形，
∵，，平分交于点D，
∴，
∴，
∴，
∴、为等腰三角形，
∴图中等腰三角形的个数为3个
6．如图，在第1个△中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第2个，在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以为顶点的底角度数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：，，
；
，
；
同理得：，，，
一般地，第个等腰三角形的底角的度数是，
第2022个等腰三角形的底角度数是，
7．长方形纸片中，长，宽．现将长方形纸片按图1所示的方式折叠，使得与重合；再将向右折叠，使得点落在的延长线上，如图2所示，此时与相交于点．则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在图2中，，
∴的面积=，
故选B
8．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
【答案】C
【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为60°，
∴此等腰三角形是等边三角形.
∵一边长为6，
∴它的周长为18．
9．如图是人字型屋架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D．如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是（ ）．
A．AC和BC，焊接点B B．AB和AC，焊接点A
C．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A
【答案】C
【详解】解：为的中点，
所以根据焊接工身边的工具只有可检验直角的角尺，
显然是AD和BC焊接点D，
10．下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；④已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16；⑤有一个角等于60°的三角形是等边三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，故①错误；
等腰三角形两腰上的高相等，故②正确；
等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故③正确；
已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为或，故④错误；
有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故⑤错误；
故正确的有②③，共2个，
11．如图，中，，绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点是点E，连接，若，则旋转角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由旋转的性质可得，，，是旋转角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
12．如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F，若，，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】解：，
，，
和的平分线分别交于点，
，，
，，
，，
，，
，
二、填空题
13．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且AE=AD，BD=BF，若∠EDF=42°，则∠C的度数为 度．
【答案】96°
【详解】解：由题意得：∠ EDF=42°，
∠EDA+∠FDB=，
AE=AD，BD=BF，
∠AED+∠DFB=，
∠A+∠B=，
在△ABC中，∠C=，
14．如图，在平面直角坐标系中，且，点C在y的正半轴上且是等腰三角形，在第二象限内找一点A作等边，求点A的纵坐标是 ．
【答案】1或或
【详解】解：如图所示：
因为是等腰三角形，且，
当点D为等腰三角形的顶点时，此时，
设，
那么
解得，（此时与点O重合，故舍去），
即，
因为是等边三角形，且结合等边三角形的三线合一
所以
当点O为等腰三角形的顶点时，此时，
则
因为是等边三角形，且结合等边三角形的三线合一
所以
当点C为等腰三角形的顶点时，即作的垂直平分线交y轴于一点，即为
设，
那么，
即，
解得，
即，
因为是等边三角形，且结合等边三角形的三线合一，
所以，
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，腰长为6，则其底边上的高是 ．
【答案】3或
【详解】解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠ABD=30°，∴AD=AB=×6=3，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=（90°﹣30°）=30°，∴∠ABD=∠ABC，∴底边BC上的高AE=AD=3；
②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∴△ABC是等边三角形，∴底边上的高为×6=．
综上所述，底边上的高是3或．故答案为3或．
16．如图，，点、、……在射线ON上，点、、……在射线OM上，，，……均为等边三角形，从左数起第1个等边三角形的边长记，第2个等边三角形的边长记，以此类推，若，则 ．
【答案】
【详解】解：、、……均为等边三角形，
，，，，
∥∥，
，
，
，，，
即，
，
，
由此类推：
，
，
…
，
17．已知△ABC的三边长分别为5、5、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．
【答案】6
【详解】解：如图所示：满足条件的点有6个．
当CA＝CD，BA＝BG，DA＝DC，GA＝GB，BA＝NK，CA＝CH时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG，BK，CH分别为分割线）．
18．如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为 ．
【答案】8
是等边三角形，得到即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴
∵，
∴，
如图，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，
∵
∴
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的最小值为8．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，若ABC的面积为18cm2 ， 则图中阴影部分的面积是 cm2.
【答案】9
【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴BD=CD，根据等腰三角形的对称性
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积的一半，
∵△ABC的面积18cm2，
∴阴影部分的面积=9cm2．
20．如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转到的位置，点B的对应点在BC边上，则的度数为 ．
【答案】40°
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转到的位置，
∴AB＝A，∠BA＝∠CA，
∴∠B＝∠AB＝70°，
∴∠BA＝180°－∠B－∠AB ＝40°，
∴∠CA＝∠BA＝40°，
三、解答题
21．在中，，，将的顶点放置在边的中点上，使的两边分别与边，交于点，（点不与点重合，点不与点重合），设，．
(1)【发现】若．
①如图1，当点与点重合时， ______，______；
②如图2，当点，均不与点重合时，______；
(2)【探究】如图3，当点不与点重合时，判断，和之间满足怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①105，60②165
(2)，理由见详解
【详解】（1）解：①当点与点重合时，
∵，，
∴，即，
∵，
∴；
②当点，均不与点重合时，如下图，连接，
∵，，
∴
，
即．
（2），和之间的数量关系为：，
理由如下：
当点不与点重合时，如下图，连接，
∵，，
∴
，
即．
22．如图，在中，，，，求的度数．
【答案】
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
．
23．已知a、b、c是三边长，且，试判断的形状．
【答案】为等腰三角形
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
24．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)为等腰三角形，理由见解析．
【详解】（1）解：原式
，
；
（2）解：
，
，
；
（3）解：为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的三边长，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
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