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湘教版八年级上册数学同步练习卷
2.5 全等三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若△MNP≌△NMQ，且MN＝5cm，NP＝4cm，PM＝2cm，则MQ的长为 （ ）
A．5cm B．4cm C．2cm D．3cm
2．如图，，的周长为10，且，则的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
3．下列说法错误的是（ ）
A．能完全重合的两个三角形是全等三角形
B．面积相等的两个三角形一定是全等三角形
C．两个全等三角形的周长相等
D．全等三角形的对应边相等
4．如图，已知∠ABC＝∠DCB．添加一个条件后，可得△ABC≌△DCB，则在下列条件中，不能添加的是（ ）
A．AC＝DB B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠ABD＝∠DCA
5．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．边长相等的两个等边三角形全等 B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
6．与下图全等的图形是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题属于假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等
B．全等三角形的对应角相等
C．三条边对应相等的两个三角形全等
D．三个角对应相等的两个三角形全等
8．不能判定两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．两条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
9．如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，且的周长为20，，，则等于（ ）
A．3 B．5 C．9 D．11
11．如图，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DCB，只篅再添加一个条件即可，正确的条件是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AC＝DB C．AB＝DC D．BC＝BC
12．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12 cm
二、填空题
13．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为 m．
14．如图，与交于，，要使，可以补充一个边或角的条件是 .
15．如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则 ．
16．为中边上的中线，若，，则的取值范围是 ．
17．如图，，若，，，则的度数为 °．
18．为了测量一幢高楼AB的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P，测得旗杆C.视线PC与地面夹角，测楼顶视线与地面夹角，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于13米，量得旗杆与楼之间距离米，计算楼高AB是 米.
19．如图，和都是等腰直角三角形，，，则 度．
20．如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边 ．
三、解答题
21．如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=20°，点O在AB边上．连结OC，已知OA=OB=OC．
（1）直接写出∠A的度数；
（2）如图2，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转角至 OP，连结BP、CP.
①当=40°时，请你通过计算说明∠BCP=∠BPC；
②当∠PBC=∠PCB时，求旋转角的度数（0°＜β＜180°）．
22．图形操作
（1）如图①，为等边三角形，P为其内一点，请将绕点B逆时针旋转，P的对应点为，画出旋转后的三角形．
问题探究
（2）如图②，等腰直角三角形，，D，E为上两点且，，，试求的面积．
问题解决
（3）“五一”假期期间，八年级学生小明与爸爸回郊区老家看望爷爷．空闲时帮爷爷整理出一片四边形的菜园如图③所示．在四边形中，经测量，，刚好平分，米，米，其中段准备布设一条水管用来灌溉（不计面积），四边形四周用篱笆围成．请你通过计算说明爷爷需要多长的水管？
23．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．
(1)______．（用的代数式表示）
(2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
24．（1）因式分解：
（2）已知，如图，四边形中，，求证：．
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湘教版八年级上册数学同步练习卷
2.5 全等三角形
一、单选题
1．若△MNP≌△NMQ，且MN＝5cm，NP＝4cm，PM＝2cm，则MQ的长为 （ ）
A．5cm B．4cm C．2cm D．3cm
【答案】B
【详解】解：∵△MNP≌△NMQ，NP=4cm，
∴MQ=NP=4cm，
2．如图，，的周长为10，且，则的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【详解】解：∵，的周长为10，
∴的周长为10，，
∴的周长
的周长
．
3．下列说法错误的是（ ）
A．能完全重合的两个三角形是全等三角形
B．面积相等的两个三角形一定是全等三角形
C．两个全等三角形的周长相等
D．全等三角形的对应边相等
【答案】B
【详解】A正确，全等三角形的定义；
B错误，面积相等的三角形不一定全等；
C正确，全等三角形的性质；
D正确，全等三角形的性质．
4．如图，已知∠ABC＝∠DCB．添加一个条件后，可得△ABC≌△DCB，则在下列条件中，不能添加的是（ ）
A．AC＝DB B．AB＝DC C．∠A＝∠D D．∠ABD＝∠DCA
【答案】A
【详解】解：∵∠ABC＝∠DCB，
∵BC＝BC，
A、添加AC＝DB，不能得△ABC≌△DCB，符合题意；
B、添加AB＝DC，利用SAS可得△ABC≌△DCB，不符合题意；
C、添加∠A＝∠D，利用AAS可得△ABC≌△DCB，不符合题意；
D、添加∠ABD＝∠DCA，∴∠ACB＝∠DBC，利用ASA可得△ABC≌△DCB，不符合题意；
5．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．边长相等的两个等边三角形全等 B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
【答案】C
【详解】解：A、边长相等的两个等边三角形全等，是真命题，故A不符合题意；
B、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题，故B不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，故C符合题意；
D、底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题，故D不符合题意．
6．与下图全等的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得，
A选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
B选项图形与题干图形形状一样，故符合题意；
C选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
D选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
7．下列命题属于假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应边相等
B．全等三角形的对应角相等
C．三条边对应相等的两个三角形全等
D．三个角对应相等的两个三角形全等
【答案】D
【详解】解：A、全等三角形的对应边相等，选项正确，是真命题，不符合题意；
B、全等三角形的对应角相等，选项正确，是真命题，不符合题意；
C、三条边对应相等的两个三角形全等，选项正确，是真命题，不符合题意；
D、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，原命题错误，是假命题，符合题意．
8．不能判定两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．两条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
【答案】A
【详解】解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
B、符合判定，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定，故本选项正确，不符合题意；
D、符合判定，故本选项正确，不符合题意．
9．如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
10．已知，，且的周长为20，，，则等于（ ）
A．3 B．5 C．9 D．11
【答案】C
【详解】解：的周长为20，，
11．如图，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DCB，只篅再添加一个条件即可，正确的条件是（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．AC＝DB C．AB＝DC D．BC＝BC
【答案】A
【详解】解：由题意得知∠A=∠D，BC=CB，
当∠ABC＝∠DCB时，可根据SAS证明△ABC≌△DCB，故A选项符合题意；
当AC=DB时，根据SSA不能证明△ABC≌△DCB，故B选项不符合题意；
当AB=DC时，根据ASS不能证明△ABC≌△DCB，故C选项不符合题意；
当BC=BC时，只有两个条件，不能证明△ABC≌△DCB，故D选项不符合题意；
12．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12 cm
【答案】A
【详解】解：∵DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE，CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE，
BD+DE+BE=AE+BE=AB=6，
所以△DEB的周长为6cm．
二、填空题
13．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为 m．
【答案】4
【详解】解：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中， ,
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴BC﹣FC＝EF﹣FC，
即BF＝CE＝5m，
∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14m﹣5m﹣5m＝4m；
14．如图，与交于，，要使，可以补充一个边或角的条件是 .
【答案】或或或
【详解】解：由题意，
∵，BC为公共边，
∴当，满足SSS，符合题意；
当，满足SAS，符合题意；
当，先证明△ABO≌△DCO，然后得到，符合题意；
当，先证明△ABO≌△DCO，然后得到，符合题意；
故答案为：或或或.
15．如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则 ．
【答案】
【详解】解：如下图：延长BD与CA的延长线交于F点，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴∠BCD=∠FCD，∠BDC=∠CDF=90°，
又∵CD=CD，
∴△BCD≌△FCD，
∴BC=CF，
∴△BCF为等腰三角形，
∴BF=2BD，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∠DEB=∠AEC，
∴∠FBA=∠ECF，
在△BAF和△CAE中，
∴△BAF≌△CAE，
∵BF=CE，
∵BF=2BD，
∴CE=2BD，
∵BD=，
∴CE=2，
16．为中边上的中线，若，，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：如图，延长到E，使，
∵是边上的中线，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
17．如图，，若，，，则的度数为 °．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴．
18．为了测量一幢高楼AB的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P，测得旗杆C.视线PC与地面夹角，测楼顶视线与地面夹角，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于13米，量得旗杆与楼之间距离米，计算楼高AB是 米.
【答案】28
【详解】解：∵∠APB=53°，∠DPC=37°，CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠BAP=90°-∠APB=37°，
∴∠BAP=∠DPC，
在△APB和△PCD中，
∴△APB≌△PCD（AAS）
∴AB=PD
∵PD=DB-PB=41-13=28米
∴AB=28米
19．如图，和都是等腰直角三角形，，，则 度．
【答案】132
【详解】解：∵，∴，
在和中，，
∴，∴，
∵，
∴，∴，
∴．
20．如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边 ．
【答案】AB和AC,AD和AE,BD和CE
【详解】∵△ABD≌△ACE，∠BAD和∠CAE，∠ABD和∠ACE，∠ADB和∠AEC是对应角，
∴BD与CE，AD与AE，AB与AC为对应边，
三、解答题
21．如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=20°，点O在AB边上．连结OC，已知OA=OB=OC．
（1）直接写出∠A的度数；
（2）如图2，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转角至 OP，连结BP、CP.
①当=40°时，请你通过计算说明∠BCP=∠BPC；
②当∠PBC=∠PCB时，求旋转角的度数（0°＜β＜180°）．
【答案】（1）70°；（2）①见解析；②70°．
【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=90°，∠B=20°，
∴∠A=180°－90°－20°=70°；
（2）①∵OB=OC，∠ABC=20°，
∴∠BCO=∠ABC=20°，
∴∠AOC=∠BCO+∠ABC=40°，
∵∠AOP==40°，
∴∠AOC=∠AOP，
∴∠BOC=∠BOP，
在△BOC和△BOP中，
∵OC=OP，∠BOC=∠BOP，BO=BO，
∴△BOC≌△BOP（SAS），
∴BC=BP，
∴∠BCP=∠BPC；
②如图3，∵∠PBC=∠PCB，∠BCO=∠ABC=20°，
∴∠1=∠2，
∵OP=OC=OB，
∴∠2=∠4，∠1=∠3，
设∠1=x°，则∠PBC=∠PCB=(x+20)°，∠BPC=2x°，
由三角形的内角和定理可得：2(x+20)+2x=180，
解得：x=35，即∠1=∠3=35°，
∴∠AOP=β=∠1+∠3=70°；
即当∠PBC=∠PCB时，旋转角=70°．
22．图形操作
（1）如图①，为等边三角形，P为其内一点，请将绕点B逆时针旋转，P的对应点为，画出旋转后的三角形．
问题探究
（2）如图②，等腰直角三角形，，D，E为上两点且，，，试求的面积．
问题解决
（3）“五一”假期期间，八年级学生小明与爸爸回郊区老家看望爷爷．空闲时帮爷爷整理出一片四边形的菜园如图③所示．在四边形中，经测量，，刚好平分，米，米，其中段准备布设一条水管用来灌溉（不计面积），四边形四周用篱笆围成．请你通过计算说明爷爷需要多长的水管？
【答案】（1）见解析；（2）36；（3）米
【详解】（1）根据题意作出图形如下，
（2）将绕点顺时针旋转，得，连接，如图，
∴，，，，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
（3）如图，将顺时针旋转到，连接，
，
∵，平分，
∴，
∴，，B，C均在同一直线上，
则是等腰直角三角形，，
∵
∴
∴
在与中，
，
∴，
∴，
在中，
，，
∴，
∴，
∴．
∴得需要米的水管．
23．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．
(1)______．（用的代数式表示）
(2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当或2时与全等．
【详解】（1）解：依题意，得
∴．
故答案为：；
（2）解：①当，时，，
∵，
∴，
∴，
，
解得：，
，
，
解得：；
②当时，，
∵，
∴，
，
解得：，
，
，
解得：．
综上所述：当或2时与全等．
24．（1）因式分解：
（2）已知，如图，四边形中，，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】解：（1）
；
（2）连接，
∵四边形中，，，
∴
∴．
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