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湘教版九年级上册数学同步练习卷 3.5 相似三角形的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的周长比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
2．如果与的相似比为，则面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，设、、为三角形ABC的三条高，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．4
4．如图，D、E分别是和上的点，若，，，，则的值为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
5．在正方形ABCD中，边AB＝1，E是CD中点，则线段OP长度为（ ）
A． B． C．2 D．
6．如图，P为平行四边形ABCD边AB上一点，E、F分别为PD、PC的三等分点（靠近P），则阴影部分的面积与四边形CDEF的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1是2002年北京国际数学家大会徽标图案，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．把这4个全等直角三角形进行如图2的摆放，得到一个大正方形PQMN，若EF＝，AD＝，则为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，分别为上的点，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
9．如图，是正方形的边的中点，连接，点在上运动，且．当时，的长为（ ）
A．1 B． C． D．
10．在中，点为的重心，连接并延长交边于点，若有，则为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
11．如图，点G是△ABC的重心，BG、CG的延长线分别交AC、AB边于点E、D，则△DEG和△CBG的面积比是（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：3 D．2：9
12．如图，矩形ABCD中，已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM＞BM，AD=AM，FB=BM，EF和GM把矩形ABCD分成四个小矩形，其面积分别用S1，S2，S3，S4表示，EF与MG相交于点N，则以下结论正确的有（ ）
①N是GM的黄金分割点②S1=S4③．
A．①② B．①③ C．③ D．①②③
二、填空题
13．已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则 .
14．如图，在中，点、分别在边、上，，若，，，则 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图象于两点，过点作轴，过点作轴，与交于点．若，则的值为 ．
16．若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形的最长边为，则最短边为 ．
17．已知，顶点分别与对应，，的平分线的长为6，那么的平分线的长为 ．
18．如图，在△ABC中，D、F在BC上，且BD=DF=FC，连接AD、AF，E、G分别在AF、AC上，且ED∥AB，GF∥AB，则的值为 ．
19．如图，在平行四边形中，点在边上，射线交边的延长线于点，那么的长是 ．
20．如图，直线与轴、轴交于、两点，与双曲线交于点，若，则的面积为 ．
三、解答题
21．如图，在中，，求的长度．
22．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点P，若，求线段的长．
23．如图，双曲线y＝（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为（2，3）．
（1）确定k的值；
（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；
（3）计算△OAB的面积．
24．如图，在中，，，，动点D从点B出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动．设点D的运动时间为t，点D到的距离为，请解答下列问题：
(1)直接写出关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)若函数，在直角坐标系中分别画出，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接估计当时t的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2）
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湘教版九年级上册数学同步练习卷
3.5 相似三角形的应用
一、单选题
1．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的周长比等于（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】B
【详解】解：∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴它们的周长比等于1∶2．
2．如果与的相似比为，则面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵与的相似比为，
∴面积之比为，
3．如图，设、、为三角形ABC的三条高，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【详解】解：∵、、为三角形ABC的三条高，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
4．如图，D、E分别是和上的点，若，，，，则的值为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，经检验符合题意；
5．在正方形ABCD中，边AB＝1，E是CD中点，则线段OP长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD， AB//CD，
又∵E为CD中点，
∴2CE＝AB，
由勾股定理知：AC＝，
∵AB//CD，
∴△ABP∽△CEP，
∴,
∴,
∴．
6．如图，P为平行四边形ABCD边AB上一点，E、F分别为PD、PC的三等分点（靠近P），则阴影部分的面积与四边形CDEF的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴S△CPD＝S四边形ABCD，
∵E、F分别为PD、PC的三等分点，
∴，
∵∠EPF＝∠DPC，
∴△PEF∽△PDC，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积与四边形CDEF的面积比为，
7．如图1是2002年北京国际数学家大会徽标图案，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．把这4个全等直角三角形进行如图2的摆放，得到一个大正方形PQMN，若EF＝，AD＝，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图1中，设AE=DF=x，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴ ，
∴x=4或，
∴AE=4，，
如图2中，
，
，，
，
，
∴，
∴NQ=3，
∴，
∴，
8．如图，在中，分别为上的点，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A．
9．如图，是正方形的边的中点，连接，点在上运动，且．当时，的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：正方形ABCD中，AB=2，E是CD的中点，
∴AD=2，DE=1，∠ADE=90°，
∴AE===.
∵DP⊥AE，
∴∠DPE=90°，
∴∠ADE=∠DPE，
又∠AED=DEP，
∴△ADE∽△DPE，
∴，
∴，
解得：.
10．在中，点为的重心，连接并延长交边于点，若有，则为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【详解】解：如图，点为的重心，
为的中线，
，
，
，，
而，
，
，
为直角三角形．
11．如图，点G是△ABC的重心，BG、CG的延长线分别交AC、AB边于点E、D，则△DEG和△CBG的面积比是（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：3 D．2：9
【答案】A
【详解】试题分析：∵点G是△ABC的重心，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴=，△DEG∽△CBG，
∴==（）2=1：4．
12．如图，矩形ABCD中，已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM＞BM，AD=AM，FB=BM，EF和GM把矩形ABCD分成四个小矩形，其面积分别用S1，S2，S3，S4表示，EF与MG相交于点N，则以下结论正确的有（ ）
①N是GM的黄金分割点②S1=S4③．
A．①② B．①③ C．③ D．①②③
【答案】A
【详解】因为四边形ABCD是矩形,AM=AD,BM=BF,
所以四边形AMGD,四边形BMNF都是正方形,
所以AM=AD=MG=BC,MB-BF=MN=FN,
因为点M是线段AB的黄金分割点,AM>BM,
所以,
所以,
所以,故②正确,
所以,
所以N是GM的黄金分割点,故①正确,
因为,
因为,
所以,故③错误,
二、填空题
13．已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则 .
【答案】
【详解】解：∵点D是线段的中点，
∴
∵
∴，
即，
解得．
14．如图，在中，点、分别在边、上，，若，，，则 ．
【答案】
【详解】解：，
，
，
，，，
，
．
15．如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图象于两点，过点作轴，过点作轴，与交于点．若，则的值为 ．
【答案】5
【详解】∵过原点的直线交反比例函数的图象于两点，
，即，
∵过点作轴，过点作轴，
∴轴，
，
∵ 轴,
，
，
，
解得 ，
16．若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形的最长边为，则最短边为 ．
【答案】12
【详解】解：∵三角形三边之比为4：4：7，
∴与他相似的三角形的三边之比也为4：4：7，
设这个三角形三边为，
∵与它相似的三角形的最长边为，
∴，
则，
最短边长为，
17．已知，顶点分别与对应，，的平分线的长为6，那么的平分线的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示：
，，
，，
是的角平分线，是的角平分线，
，
，
，
的平分线的长为6，
的平分线的长为，
18．如图，在△ABC中，D、F在BC上，且BD=DF=FC，连接AD、AF，E、G分别在AF、AC上，且ED∥AB，GF∥AB，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵BD=DF=FC，
∴=、=，
∵ED∥AB，
∴△ABF∽△EDF，
则==2，
∴DE=AB，
∵GF∥AB，
∴△ABC∽△GFC，
∴==3，
∴GF=AB，
则==，
19．如图，在平行四边形中，点在边上，射线交边的延长线于点，那么的长是 ．
【答案】6
【详解】∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．如图，直线与轴、轴交于、两点，与双曲线交于点，若，则的面积为 ．
【答案】
【详解】解：过作轴，交于点，连接，
∵，
∴，
∵BO∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
三、解答题
21．如图，在中，，求的长度．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
22．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点P，若，求线段的长．
【答案】4
【详解】解：由作图知，平分，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
即．
23．如图，双曲线y＝（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为（2，3）．
（1）确定k的值；
（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；
（3）计算△OAB的面积．
【答案】（1）k＝6；（2）y＝﹣x+5；（3）△AOB面积为9
【详解】解：（1）将点A（2，3）代入解析式y＝，
得：k＝6；
（2）由（1）得，
将D（3，m）代入反比例解析式，
得：m＝＝2，
∴点D坐标为（3，2），
设直线AD解析式为y＝kx+b，
将A（2，3）与D（3，2）代入
得：，
解得：
则直线AD解析式为y＝﹣x+5；
（3）过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，
∵AB∥x轴，
∴BM⊥y轴，
∴MB∥CN，
∴△OCN∽△OBM，
∵C为OB的中点，即＝ ，
∴＝（）2=，
∵A，C都在双曲线上，
∴S△OCN＝S△AOM＝3，
由＝，
得：S△AOB＝9，
则△AOB面积为9．
24．如图，在中，，，，动点D从点B出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动．设点D的运动时间为t，点D到的距离为，请解答下列问题：
(1)直接写出关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)若函数，在直角坐标系中分别画出，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接估计当时t的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)
(2)画图见解析，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小
(3)
【详解】（1）解：当点D在线段上，此时；
∵，
∴，
∴，即；
∵，，
∴，其中；
当点D在线段上，如图，此时，；
∵，
∴，
∴，即；
∵，，
∴，其中；
综上，，
（2）解：所画的两个函数的图像如下：
函数的性质为：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．
（3）解：当时，表明函数的图像在的图像上方或两者的相交，此时．
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