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湘教版九年级上册数学同步练习卷 3.4.2 相似三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，另一个和它相似的三角形最长的边是，则这个三角形最短的边是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，分别是的边上的点，且，若：：，则：的值是（ ）
A．： B．： C．： D．：
3．如图，梯形中，对角线相交于点O，若，，则等于【 】
A．12 B．8 C．7 D．6
4．如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形是正方形，是的中点，连接与对角线相交于点，连接并延长，交于点，连接交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，且OB=2AO，点A在反比例函数的图象上，点B比在反比例函数的图象上，则m是（ ）
A．4 B．6 C．－8 D．8
9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②；③；④AG+DF＝FG．其中正确的是（ ）（把所有正确结论的序号都选上）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ）
①△BDE∽△DPE；②；③；④tan∠DBE=.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，在中，，点是的重心，，垂足为，若，则线段的长度为（ ）
A．10 B．9 C．6 D．
12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的是（ ）
①△CMP∽△BPA；②△CNP的周长始终不变；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝2－2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
13．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2，反比例函数y=的图象经过点B，则k的值为 ．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE//BC，若AD=4，DE=2，BC=5，则BD= ．
15．（2016四川省甘孜州）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为 ．
16．如图，小明从路灯下处，向前走了米到达处，在处发现自己在地面上的影子长是米，如果小明的身高为米，那么路灯离地面的高度是_____米．
17．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M，使S△ABM=，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC，BD的交点，连接ON，则ON的长为 ．
18．如图，在矩形中，，，点在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，的长为 ．
19．如图，在四边形中，，，，点E，F分别是边的三等分点，，，连接，若四边形的面积为，则的面积是 ．
20．如图，在中，，过点B作，交的平分线于点D，与相交于点E．若，，则的长为 ．
三、解答题
21．如图，在中，，求的长度．
22．如图，在中，为边上一点，且．．
(1)求的度数；
(2)若，，求CD的长．
23．如图所示，某小区居民筹集资金1600元，计划在一块上下底分别为10米，20米的梯形空地上种植花木．
(1)他们在和地带上种植太阳花，单价为 ，当地带种满花后，共花160元，请计算地带种花所需费用；
(2)若其余地带有玫瑰和茉莉两种花可供选择，单价分别为和，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？
24．如图，直角梯形ABCD中，AD=3，AB=11，BC=6，AB⊥BC，动点P在线段AB上运动，如果满足△ADP和△BCP相似，计算此时线段AP的长度．
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湘教版九年级上册数学同步练习卷
3.4.2 相似三角形的性质
一、单选题
1．在中，，另一个和它相似的三角形最长的边是，则这个三角形最短的边是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设另一个三角形最短的一边是x，
∵△ABC中，AB＝12，BC＝18，CA＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
∴，
解得x＝18．
2．如图，分别是的边上的点，且，若：：，则：的值是（ ）
A．： B．： C．： D．：
【答案】B
【详解】解：：：，
：：，
，
∽，
．
3．如图，梯形中，对角线相交于点O，若，，则等于【 】
A．12 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【详解】∵梯形中，，
∴．
∴．
∵，
∴，
即．
解得．
4．如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
5．如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，故①正确；
∴∠BAD＝∠DAC，
∴，故②正确；
∴∠DBC＝∠BAD，故③正确；
∵∠D＝∠D，∠DBC＝∠BAD，
∴△DFB∽△DBA，故④正确；
6．如图，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．如图，四边形是正方形，是的中点，连接与对角线相交于点，连接并延长，交于点，连接交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得结论②；证明△DCE≌△CBF可得结论③，证明△CHF∽△CBF即可得结论④正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，
∴AB=AD=BC=CD，BE=CE，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠DEC=∠AEB，∠BAE=∠CDE，DE=AE，故①正确，
∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，
∴∠CHE=90°，
∴CF⊥DE，故②正确，
∵∠CDE=∠BCF，DC=BC，∠DCE=∠CBF=90°，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴CE=BF，
∵CE=BC=AB，
∴BF=AB，
∴AF=BF，故③正确，
∵∠BCF+∠BFC=90°，∠DEC=∠BFC
∴∠BCF+∠DECC=90°，
∴∠CHE=90°
∴∠CHE=∠FBC
又∠DEC=∠BFC
∴△CHF∽△CBF
∴
∵BC=2CE，
∴
∴
8．如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，且OB=2AO，点A在反比例函数的图象上，点B比在反比例函数的图象上，则m是（ ）
A．4 B．6 C．－8 D．8
【答案】D
【详解】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，
设点A的坐标是（a，b），
因为点A在函数的图象上，则ab=-2，
则AC=b，OC=-a，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
∵∠CAO=∠BOD，∠ACO=∠BDO=90°，
∴△ACO∽△BDO，
∴
∴OD=2b，BD=-2a，
∴B（2b，-2a），
∵点B比在反比例函数的图象上，
∴m= 2b （-2a）=-4ab，
∴m=8．
9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②；③；④AG+DF＝FG．其中正确的是（ ）（把所有正确结论的序号都选上）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF＋∠FBG＝∠CBF＋∠ABF＝∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF＝，
∴DF＝AD AF＝10 8＝2，
设AG＝x，则GH＝x，GF＝8 x，HF＝BF BH＝10 6＝4，
在Rt△GFH中，
∵GH2＋HF2＝GF2，
∴x2＋42＝（8 x）2，
解得x＝3，
∴GF＝5，
∴AG＋DF＝FG＝5，所以④正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠EFD＋∠AFB＝90°，
而∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴，
∴，
而，
∴，
∴△DEF与△ABG不相似；所以②错误．
∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6，
∴S△ABG＝S△FGH．所以③正确．
∴正确的结论有：①③④，
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ）
①△BDE∽△DPE；②；③；④tan∠DBE=.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴ ，
∴PD2=PH CD，
∵PB=CD，
∴PD2=PH PB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PB sin60°=4× ，PM=PC sin30°=2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM= ，故④正确；
11．如图，在中，，点是的重心，，垂足为，若，则线段的长度为（ ）
A．10 B．9 C．6 D．
【答案】B
【详解】解：延长交于，如图，
点是的重心，
，，
，
，
而，
，
，
，
，
．
12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的是（ ）
①△CMP∽△BPA；②△CNP的周长始终不变；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝2－2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
又∵∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=2，∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正确，
∵，
∴
∴，
又∵
∴△CNP的周长为：，
故②正确，
当PB=PC=PE=1时，设ND=NE=y，在Rt△PCN中，，解得，∴NE≠EP，故③错误，
设PB=x，则CP=2﹣x，
∵△CMP∽△BPA，
∴，
∴CM=x（2﹣x），作MG⊥AB于G，
∵AM==，
∴AG最小时AM最小，
∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=2﹣x（2﹣x）=，
∴x=1时，AG最小值=，
∴AM的最小值==，故④错误．
∵△ABP≌△ADN时，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°．
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK=z，
∴z+z=2，∴z=，
∴PB=故⑤正确．
二、填空题
13．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2，反比例函数y=的图象经过点B，则k的值为 ．
【答案】﹣8．
【详解】解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，
则∠OCA=∠BDO=90°，∴∠DBO+∠BOD=90°，
∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，
∴△DBO∽△COA，
∴，
∵点A的坐标为（2，1），∴AC=1，OC=2，∴AO=，
∴，即BD=4，DO=2，∴B（﹣2，4），
∵反比例函数y=的图象经过点B，
∴k的值为﹣2×4=﹣8．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE//BC，若AD=4，DE=2，BC=5，则BD= ．
【答案】6
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴
解得AB=10
∴BD=10-4=6
15．（2016四川省甘孜州）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为 ．
【答案】（8，0）．
【详解】根据相似三角形的性质求出P3D的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP4的长，得到答案．
解：∵点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），
∴OP1=1，OP2=2，
∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3，
∴=，即=，
解得，OP3=4，
∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4，
∴=，即=，
解得，OP4=8，
则点P4的坐标为（8，0），
16．如图，小明从路灯下处，向前走了米到达处，在处发现自己在地面上的影子长是米，如果小明的身高为米，那么路灯离地面的高度是_____米．
【答案】5.95
【详解】，
，
（米）
17．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M，使S△ABM=，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC，BD的交点，连接ON，则ON的长为 ．
【答案】
【详解】∵正方形ABCD的边长为3，S△ABM=，
∴BM=，
∵AB=3，BM=1，
∴AM=，
∵∠ABM=90°，BN⊥AM，
∴△ABN∽△BNM∽△AMB，
∴AB2=AN×AM，BM2=MN×AM，
∴AN=，MN=，
∵AB=3，CD=3，
∴AC=3，
∴AO=，
∵=，=，
∴=，且∠CAM=∠NAO，
∴△AON∽△AMC，
∴==，
∴ON=．
18．如图，在矩形中，，，点在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，的长为 ．
【答案】或
【详解】解：过点作于点，如图所示．
，
由旋转的性质，可知，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
∴，．
设．
当点在矩形内部时，．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
在中，∵，
∴，
解得（另一个值已舍去）．
如图，当点在矩形外部时，
，．
同理可得（另一个值已舍去）．
∴的长为或，
19．如图，在四边形中，，，，点E，F分别是边的三等分点，，，连接，若四边形的面积为，则的面积是 ．
【答案】6
【详解】解：如图所示，连接，过点D作交延长线于G，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
20．如图，在中，，过点B作，交的平分线于点D，与相交于点E．若，，则的长为 ．
【答案】4
【详解】解：作于点F，交的延长线于点H，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
三、解答题
21．如图，在中，，求的长度．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
22．如图，在中，为边上一点，且．．
(1)求的度数；
(2)若，，求CD的长．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：∵．，
∴，
，
，
；
（2）解：如图，
∵，
，
，
，
，
（负根已经舍弃），
．
23．如图所示，某小区居民筹集资金1600元，计划在一块上下底分别为10米，20米的梯形空地上种植花木．
(1)他们在和地带上种植太阳花，单价为 ，当地带种满花后，共花160元，请计算地带种花所需费用；
(2)若其余地带有玫瑰和茉莉两种花可供选择，单价分别为和，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？
【答案】(1)640元(2)应该选种的茉莉花，刚好用完资金
【详解】（1）解：∵ 四边形是梯形，
∴，
∴，
∵种满地带花费160元，
∴，
∴，
∴ 种满地带的花费为：（元）．
（2）解：∵，
∴，
而与的高相同，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
因此，应该选种的茉莉花，刚好用完资金．
24．如图，直角梯形ABCD中，AD=3，AB=11，BC=6，AB⊥BC，动点P在线段AB上运动，如果满足△ADP和△BCP相似，计算此时线段AP的长度．
【答案】AP=2或9或.
【详解】试题分析：分△ADP∽△DPC和△ADP∽△BCP两种情况进行讨论，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．
试题解析：解：①当△ADP∽△DPC时，
有，，解得：AP=2或9；
②当△ADP∽△BCP时，
，，解得：．
综上知：AP=2或9或．
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