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湘教版九年级上册数学同步练习卷 第1章 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在下图中，反比例函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数(k≠0)的图象在第一象限内的一支如图所示，P是该图象上一点，A是x轴上一点，PO=PA，S△POA=4，则k的值是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．16
3．如图所示，是反比例函数y＝与y＝在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（ ）
A．5 B．4 C．10 D．20
4．对于反比例函数y＝（k≠0），下列说法不正确的是（ ）
A．它的图象分布在第一、三象限 B．点（k，k）在它的图象上
C．它的图象是中心对称图形 D．随的增大而增大
5．已知反比例函数y=，点A（m，y1），B(m+2，y2 )是函数图像上两点，且满足，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图所示，已知点P为反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，且PA⊥x轴于点A，PA，PO分别交于反比例函数y＝图象于B，C两点，则△PAC的面积为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
7．功是常数W(J)时，表示力F(N)与物体在力F的方向上通过的距离s(m)的函数关系的图象只可能是（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中，y与x成反比例的是( )
A．y＝－ B．y＝ C．y＝－5 D．y＝
9．下列函数中，属于反比例函数的有（ ）
A． B． C．y=2x D．y=x2
10．在反比例函数（k＜0）的图象上有两点，（﹣1，y1），，则y1﹣y2的值是（ ）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．不能确定
二、填空题
11．如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为4，则双曲线的表达式为 ．
12．如图，反比例函数的图象与直线相交于B两点，ACy轴，BCx轴，则图中阴影部分的面积等于 个面积单位．
13．反比例函数图象过点和，则 ．
14．两个反比例函数,在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，……P2005在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3， x2005纵坐标分别为1，3，5，……；
共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，……，P2005分别作轴的平行线，与的图象交点依次是Q1(x1，y1)，Q2（x2，y2），Q3(x3,y3)，……，Q2005（x2005，y2005）,则 .
15．反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的序号是 ;
16．如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为．若 的面积为，点为的中点，则的值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，过点A(4，5)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于B、C两点．若函数的图象与△ABC的边有公共点，则k的取值范围是 .
三、解答题
18．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y＝－，y＝.现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工成长方形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？
19．平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A，，反比例函数的图象经过点C．
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形，请你通过计算说明点在双曲线上.
20．已知反比例函数y=的图象经过点A（2，﹣3）．
（1）求k的值；
（2）函数的图象在哪几个象限 y随x的增大怎样变化
（3）画出函数的图象；
（4）点B（，﹣12），C（﹣2，4）在这个函数的图象上吗
21．在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2．
(1)y关于x的函数关系式是________， x的取值范围是________；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
22．有这样一个问题：探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质.小明根据学习函数的经验，对函数与，当k>0时的图象性质进行了探究，下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数与图像的交点为A,B．已知A的坐标为(-k，-1)，则B点的坐标为 .
(2)若P点为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N.求证：PM=PN.
证明过程如下：设P(m，)，直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则 解得
所以,直线PA的解析式为 ．
请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.
②当P点坐标为(1,k)(k≠1)时，判断ΔPAB的形状，并用k表示出ΔPAB的面积.
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湘教版九年级上册数学同步练习卷
第1章 单元测试
一、单选题
1．在下图中，反比例函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵k=4，可根据k＞0，反比例函数图象在第一、三象限；
∴在每个象限内，y随x的增大而减小．
2．反比例函数(k≠0)的图象在第一象限内的一支如图所示，P是该图象上一点，A是x轴上一点，PO=PA，S△POA=4，则k的值是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．16
【答案】B
【详解】根据反比例函数的性质和系数k的几何意义，可知过P作垂线，垂足为B，则三角形POB的面积为，然后根据等腰三角形的性质可知=S△POA=2，解得k=±4，然后根据反比例函数的图像在第一象限，可知k=4.
3．如图所示，是反比例函数y＝与y＝在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（ ）
A．5 B．4 C．10 D．20
【答案】A
【详解】设点A（a，）
∵AB∥x轴
∴点B纵坐标为，且点B在反比例函数y= 图象上，
∴点B坐标（﹣ ，）
∴S△ABP=（a+）×=5
4．对于反比例函数y＝（k≠0），下列说法不正确的是（ ）
A．它的图象分布在第一、三象限 B．点（k，k）在它的图象上
C．它的图象是中心对称图形 D．随的增大而增大
【答案】D
【详解】A.对于反比例函数y＝（k≠0），系数为k2>0，所以该反比例函数的图象分布在第一、三象限．故A项不符合题意．
B.当x=k时， ，所以点（k，k）在反比例函数的图象上．故B项不符合题意．
C.反比例函数y＝的图象是关于原点对称的双曲线，是中心对称图形．故C项不符合题意．
D.在每个象限内，随的增大而减小．故D项符合题意．
5．已知反比例函数y=，点A（m，y1），B(m+2，y2 )是函数图像上两点，且满足，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
详解：∵点A（m，y1），B(m+2，y2 )是函数图像y=上的两点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得.
6．如图所示，已知点P为反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，且PA⊥x轴于点A，PA，PO分别交于反比例函数y＝图象于B，C两点，则△PAC的面积为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】A
【详解】解：过C作CH⊥x轴于点H，如图，则有CH∥PA，∴△OHC∽△OAP，∴．
∵点C在反比例函数图象上，点P在反比例函数图象上，∴S△CHO=，S△PAO=4÷2=2，∴，∴，∴，∴=，∴S△APC=S△APO=×2=1．故选A．
7．功是常数W(J)时，表示力F(N)与物体在力F的方向上通过的距离s(m)的函数关系的图象只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：已知力F所做的功W，则表示力F(N)与物体在力F的方向上通过的距离s(m)的函数关系式为：，是反比例函数，且其图象在第一象限，
8．下列函数中，y与x成反比例的是( )
A．y＝－ B．y＝ C．y＝－5 D．y＝
【答案】D
【详解】试题解析：A. 是正比例函数，y与x成正比例，错误；
B. y与x不成反比例，错误；
C. ,即为与x成反比例，错误；
D. 是反比例函数，y与x成反比例，正确；
9．下列函数中，属于反比例函数的有（ ）
A． B． C．y=2x D．y=x2
【答案】B
【详解】试题解析：A. 是正比例函数，故此选项错误；
B. 是正比例函数，故此选项正确；
C. 是正比例函数，故此选项错误；
D. 不是反比例函数，故此选项错误；
10．在反比例函数（k＜0）的图象上有两点，（﹣1，y1），，则y1﹣y2的值是（ ）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．不能确定
【答案】C
【详解】试题分析：点（﹣1，y1），（﹣，y2）在反比例函数（k＜0）的图象上，∴代入得：y1=﹣k，y2=﹣4k，∴y1﹣y2=﹣k﹣（﹣4k）=3k，∵k＜0，∴y1﹣y2的值是负数，故选C．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
二、填空题
11．如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为4，则双曲线的表达式为 ．
【答案】y＝－
【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0，∵S△AOB=4，∴|k|=8，∴k=﹣8，即可得双曲线的表达式为：.
12．如图，反比例函数的图象与直线相交于B两点，ACy轴，BCx轴，则图中阴影部分的面积等于 个面积单位．
【答案】10
【详解】：△ABC的面积S=2|k|=2×5=10个面积单位．
13．反比例函数图象过点和，则 ．
【答案】3
【详解】反比例函数图象过点和，则a=3解：设所求反比例函数是y=，把代入函数得6= ，
解得k=12，于是y= ，
把代入得， ，解得a=3，
14．两个反比例函数,在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，……P2005在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3， x2005纵坐标分别为1，3，5，……；
共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，……，P2005分别作轴的平行线，与的图象交点依次是Q1(x1，y1)，Q2（x2，y2），Q3(x3,y3)，……，Q2005（x2005，y2005）,则 .
【答案】2004.5
【详解】由题意可知：P2 005的坐标是(,4009)，
又∵P2 005在上，
∴=，
∵Q2 005在上,且横坐标为x2 005，
∴y2 005==2004.5.
15．反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的序号是 ;
【答案】①②③
【详解】①∵A，B都在反比例函数上，
∴==1，故①正确；
②∵矩形OCMD，△ODB，△OCA的面积都为定值，
∴四边形OAMB的面积不会发生变化，故②正确；
③如图，连接OM，
由题意可得S△ODM=S△OCM=，
若A是MC的中点，则S△OAM=S△OAC=，
∵=1，
∴，
则B一定是MD的中点，故③正确；
16．如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为．若 的面积为，点为的中点，则的值为 ．
【答案】8
【详解】过点B作BE⊥x轴于点E，
，由的几何意义得，
又∵为中点，
∴设，．
∴，．
17．如图，在平面直角坐标系中，过点A(4，5)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于B、C两点．若函数的图象与△ABC的边有公共点，则k的取值范围是 .
【答案】5≤k≤20
【详解】试题解析：∵过点A(4,5)分别作x轴、y轴的平行线，交直线于两点，
∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，
将代入得
将代入得，
∴点B的坐标为点C的坐标为
∵函数的图象与△ABC的边有公共点点
即
三、解答题
18．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y＝－，y＝.现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工成长方形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？
【答案】600
【详解】试题解析：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将长方形ABCD分成四个全等的小长方形．
因为点A为y＝的图象上的一点，
所以S长方形AEOH＝6.
所以S长方形ABCD＝4×6＝24.
所以总费用为25×24＝600(元)．
答：所需钢条一共花600元
19．平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A，，反比例函数的图象经过点C．
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形，请你通过计算说明点在双曲线上.
【答案】（1）;（2）详见解析.
【详解】（1）∵点C（3，3）在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数的解析式为；
（2）过C作CE⊥x轴于点E，过D作DF⊥x轴于点F，
则△CBE≌△DAF
，
，
，
，
，
∵点与点D关于x轴对称，
，
把代入得，，
∴点在双曲线上.
20．已知反比例函数y=的图象经过点A（2，﹣3）．
（1）求k的值；
（2）函数的图象在哪几个象限 y随x的增大怎样变化
（3）画出函数的图象；
（4）点B（，﹣12），C（﹣2，4）在这个函数的图象上吗
【答案】（1）-6；（2）函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大；（3）见解析；（4）点B在函数图象上，C不在函数的图象上；
【详解】（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（2，﹣3），
∴代入得：k=﹣3×2=﹣6；
（2）∵反比例函数的解析式为y=﹣，
k=﹣6＜0，
∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大；
（3）函数的图象为：
；
（4）点B在函数图象上，C不在函数的图象上．
21．在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2．
(1)y关于x的函数关系式是________， x的取值范围是________；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
【答案】（1）y=，x＞0；（2）见解析；（3）1
【详解】解：（1）由题意可得：
S△ABC=xy=2，
则：y=，
其中x的取值范围是x＞0，
（2）函数y=（x＞0）的图像如图所示；
（3）将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后得到y=-x+3+a，
若与函数y=（x＞0）只有一个交点，
联立：，
得：，
则，
解得：a=1或-7（舍），
∴a的值为1.
22．有这样一个问题：探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质.小明根据学习函数的经验，对函数与，当k>0时的图象性质进行了探究，下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数与图像的交点为A,B．已知A的坐标为(-k，-1)，则B点的坐标为 .
(2)若P点为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N.求证：PM=PN.
证明过程如下：设P(m，)，直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则 解得
所以,直线PA的解析式为 ．
请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.
②当P点坐标为(1,k)(k≠1)时，判断ΔPAB的形状，并用k表示出ΔPAB的面积.
【答案】（1）（k，1）；（2）①证明见解析；②ΔPAB为直角三角形.或.
【详解】
（1）B点的坐标为（k，1）
（2）①证明过程如下：设P(m，)，直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则 解得
所以,直线PA的解析式为．
令y=0，得x=m-k
∴M点的坐标为（m-k，0）
过点P作PH⊥x轴于H
∴点H的坐标为（m，0）
∴MH=xH-xM=m-(m-k)=k.
同理可得：HN=k
∴PM=PN
②由①知，在ΔPMN中，PM=PN
∴ΔPMN为等腰三角形，且MH=HN=k
当P点坐标为（1，k）时，PH=k
∴MH=HN=PH
∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°
∴∠MPN=90°，即∠APB=90°
∴ΔPAB为直角三角形.
当k>1时，如图1，
=
=
当0=
=
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