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湘教版九年级上册数学同步练习卷
第3章 单元测试
一、单选题
1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：先由直角三角形的边角关系求得BC，再根据△ABC∽△BDC，利用相似三角形对应边成比例解答即可．
解：∵∠C =90°，AB=5，AC=4,
∴BC=3,
∵△ABC∽△BDC,
∴AC:BC=BC:CD,
∴4:3=3:CD,
∴CD=.
2．△ABC与△A 1 B 1 C 1 相似，相似比为2∶3，△A 1 B 1 C 1 与△A 2 B 2 C 2 相似，相似比为6∶5，则△ABC与△A 2 B 2 C 2 的相似比为 ( )
A．2∶5 B．4∶ 5 C．5∶9 D．3∶5
【答案】B
【详解】△ABC与△A 1B 1C 1相似，相似比为2∶3,也就是4:6，
△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2相似，相似比为6∶5，所以则△ABC与△A 2B 2C 2 的相似比为
4:5.
3．下列说法错误的是( )
A．D、E分别是△ABC的边AB、AC上两点，且DE∥BC，那么△ADE与△ABC关于点A位似
B．若将△ABC绕所在平面上某一点O旋转180°，则得到的△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为1
C．若△ABC与△A1B1C1位似，则△ABC与△A1B1C1相似
D．若△ABC与△A1B1C1相似，则△ABC与△A1B1C1位似
【答案】D
【详解】试题解析：D. 若与相似，则与不一定位似.
故错误.
4．如图，在平行四边形ABCD中AE:EB=1:2 , S AEF=3, 则S FCD为（ ）
A．3 B．27 C．6 D．12
【答案】B
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AE：EB=1：2，
∴AE：CD=1：3，
∵AB∥CD，
∴∠EAF=∠DCF，
∵∠DFC=∠AFE，
∴△AEF∽△CDF，
∵S△AEF=3，
∴，
解得S△FCD=27.
5．如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△；③其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【详解】因为点分别是的中点，所以是△的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确.
6．如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，已知
甲的路线为：A→C→B；
乙的路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB的中点；
丙的路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．
若符号[→]表示[直线前进]，则根据图1、图2、图3的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．甲=乙=丙 B．甲＜乙＜丙 C．乙＜丙＜甲 D．丙＜乙＜甲
【答案】A
【详解】分析：由角的度数可以知道2、3中的两个三角形的对应边都是平行的，所以图2，图3中的三角形都和图1中的三角形相似．而且图2三角形全等，图3三角形相似．
详解：根据以上分析：所以图2可得AE=BE，AD=EF，DE=BE．
∵AE=BE=AB，∴AD=EF=AC，DE=BE=BC，∴甲=乙．
图3与图1中，三个三角形相似，所以 ====．
∵AJ+BJ=AB，∴AI+JK=AC，IJ+BK=BC，
∴甲=丙．∴甲=乙=丙．
7．下列说法中正确的是（ ）
①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；
②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形都相似；
④有一个角对应相等的菱形都相似．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【详解】①虽然对应边成比例，但是对应角不一定相等，所以不一定相似，比如：所有菱形的对应边成比例，但是它们不一定相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边成比例，所以相似．故选D．
8．如图，如果成立，下列结论中不正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据题意可得：△ADE∽△ABC，DE∥BC，则，A正确；，B正确；，C错误；，D正确；故本题选择C．
9．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【详解】如图：连接BC，并连接OD交BC于点E：
∵DP⊥BP，AC为直径；
∴∠DPB=∠PBC=90°.
∴PD∥BC,且PD为⊙O的切线.
∴∠PDE=90°=∠DEB,
∴四边形PDEB为矩形，
∴AB∥OE，且O为AC中点，AB=6.
∴PD=BE=EC.
∴OE=AB=3.
设PA=x，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC，EC=PD=6-x.
.在Rt△OEC中:
,
即：，解得x=2.
所以AC=2OC=2×（3+x）=10.
10．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A．或 B．15 C． D．
【答案】A
【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m= 和n=不能同时取，
即当m=5，，，
当，n=10，，
11．如图所示，□ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为4，则△DCF的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【详解】
sy所以所以
12．如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，且S四边形DBCE=8S△ADE ． 那么AE：AC的值为（ ）
A．1：8 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【答案】C
【详解】∵S四边形DBCE=8S△ADE，
∴，
∴∶=1∶9,
又∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE：AC=1：3．
二、填空题
13．如图，点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形，已知图中的每个小正方形的边长都是1个单位，在图中选择适当的位似中心，画一个与格点△DEF位似且位似比不等于1的格点三角形 ．
【答案】画图见解析.
【详解】试题分析：根据位似图形的画法画出符合条件的三角形即可（答案不唯一），如下图中△DE′F′就是符合题意的一个三角形.
试题解析：
14．若△ABC∽△DEF，AB＝4 cm，DE＝8 cm，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
【答案】
【详解】∵△ABC∽△DEF，AB=4cm，DE=8cm，∴△ABC和△DEF的相似比为：AB：DE=4：8=．
15．若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为 .
【答案】5∶4.
【详解】已知△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，
得△ABC与△DEF的相似比为5：4；
得△ABC与△DEF的周长之比为5：4．
16．一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个．
【答案】5
【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则＝，解得x=3，
所以另一段长为18-3=15，
因为15÷3=5，所以是第5张．
17．现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于P，Q，易得BP：QR：QR=3：1：2．
（1）若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于P，Q，R，则BP：PQ：QR：RS=
（2）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，则BP：PQ：QR：RS：ST= ．
【答案】 4：1：3：2； 5：1：4：2：3．
【详解】试题分析：（1）∵四个直角三角形是全等三角形，∴AB=EF=CD，AB∥EF∥CD，BC=CE，AC∥DE，∴BP：PR=BC：CE=1，∵CD∥EF，∴△BCQ∽△BES．又∵BC=CE，∴CQ=SE=EF，∴DQ=EF，∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DQR．又∵∠BAP=∠QDR，∴△BAP∽△QDR，∴BP：QR=4：3，∴BP：PQ：QR=4：1：3，∵DQ∥SE，∴QR：RS=DQ：SE=3：2，∴BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2．
∵五个直角三角形是全等直角三角形，∴AB=CD=EF，AB∥CD∥EF，AC=DE=GF，AC∥DE∥GF，BC=CE=EG，∴BP=PR=RT，∵AC∥DE∥GF，∴△BPC∽△BER∽BTG，∴PC=TG=FG，RE=TG=FG，∴AP=FG，DR=FG，FT=FG，∴AP：DR：FT=5：4：3，∵AC∥DE∥GF，∴∠BPA=∠QRD=∠STF，又∵∠BAP=∠QDR=∠SFT，∴△BAP∽△QDR∽△SFT，∴BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3，又∵BP：QR：RT=1：1：1，∴BP：PQ：QR：RS：ST=5：（5﹣4）：4：（5﹣3）：3=5：1：4：2：3．
18．两个相似多边形的周长之比为1∶3，则它们面积之比为 ．
【答案】
【详解】相似多边形的周长的比是1:3，
周长的比等于相似比，因而相似比是1:3，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1:9；
三、解答题
19．（1）先化简，再求值:（a-2）2+a（a+4），其中a=；
（2）在△ABC中，D，E分别是AB,AC上的一点，且DE∥BC，，BC=12，求DE的长.
【答案】（1）原式=2a2+4=10；（2）DE =3.
【详解】（1）原式= a2-4a+4+a2+4 a=2 a2+4
当a=时，原式=2（）2+4=10；
（2）∵DE∥BC，
∴△ADE～△ABC.
∴.
∵BC=12，
∴DE=BC=3.
20．如图，在矩形中，，，在上，且，在边是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点有几个？并计算出的长．
【答案】的长分别为，，．
【详解】解：存在．
设，则，
当时，，所以，解得；
当时，，所以，解得，．
所以这样的点有三个，的长分别为，，．
21．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：写出的值．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值．
【答案】；（1）；（2）
【详解】解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，
∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF，
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD≌△BFC，
∴＝，
∴＝，
（1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵，
∴，
设AF＝3x，BC＝2x，
∵，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴＝＝1；
（2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，
∴△BCF∽△BDP，
∴，
设CF＝2x，PD＝3x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，
∴，
∴AP＝7x，AD＝4x，
∴．
22．如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．
(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3，2)，则点B的坐标为____________；
(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；
(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP的周长为_______．
【答案】（1）作图见解析；点B的坐标为：（﹣2，﹣5）；（2）作图见解析；（3）
【详解】（1）如图所示：点B的坐标为：（﹣2，﹣5）；
（2）如图所示：△AB2C2，即为所求；
（3）如图所示：P点即为所求，P点坐标为：（﹣2，1），四边形ABCP的周长为：+++=4+2+2+2=6+4．
故答案为6+4．
23．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－3，1)，C(－1，1)，以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A′B′C′.画出放大后的图形，并写出A′，B′，C′的坐标．
【答案】图详见解析，A′(－4，8)，B′(－6，2)，C′(－2，2)．
【详解】解：如图所示，△A′B′C′即为所求；
A′(－4，8)，B′(－6，2)，C′(－2，2)．
24．如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD=2，BD=4，AC=2．求证：△ACD∽△ABC．
【答案】证明见解析.
【详解】试题分析：首先利用已知得出=，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．
试题解析：∵，
，
∴ ，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD.
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湘教版九年级上册数学同步练习卷 第3章 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（ ）
A．2 B．
C． D．
2．△ABC与△A 1 B 1 C 1 相似，相似比为2∶3，△A 1 B 1 C 1 与△A 2 B 2 C 2 相似，相似比为6∶5，则△ABC与△A 2 B 2 C 2 的相似比为 ( )
A．2∶5 B．4∶ 5 C．5∶9 D．3∶5
3．下列说法错误的是( )
A．D、E分别是△ABC的边AB、AC上两点，且DE∥BC，那么△ADE与△ABC关于点A位似
B．若将△ABC绕所在平面上某一点O旋转180°，则得到的△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为1
C．若△ABC与△A1B1C1位似，则△ABC与△A1B1C1相似
D．若△ABC与△A1B1C1相似，则△ABC与△A1B1C1位似
4．如图，在平行四边形ABCD中AE:EB=1:2 , S AEF=3, 则S FCD为（ ）
A．3 B．27 C．6 D．12
5．如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△；③其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，已知
甲的路线为：A→C→B；
乙的路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB的中点；
丙的路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．
若符号[→]表示[直线前进]，则根据图1、图2、图3的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．甲=乙=丙 B．甲＜乙＜丙 C．乙＜丙＜甲 D．丙＜乙＜甲
7．下列说法中正确的是（ ）
①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；
②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形都相似；
④有一个角对应相等的菱形都相似．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
8．如图，如果成立，下列结论中不正确的是( )
A． B．
C． D．
9．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
10．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A．或 B．15 C． D．
11．如图所示，□ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为4，则△DCF的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
12．如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，且S四边形DBCE=8S△ADE ． 那么AE：AC的值为（ ）
A．1：8 B．1：4 C．1：3 D．1：9
二、填空题
13．如图，点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形，已知图中的每个小正方形的边长都是1个单位，在图中选择适当的位似中心，画一个与格点△DEF位似且位似比不等于1的格点三角形 ．
14．若△ABC∽△DEF，AB＝4 cm，DE＝8 cm，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
15．若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为 .
16．一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个．
17．现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于P，Q，易得BP：QR：QR=3：1：2．
（1）若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于P，Q，R，则BP：PQ：QR：RS=
（2）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，则BP：PQ：QR：RS：ST= ．
18．两个相似多边形的周长之比为1∶3，则它们面积之比为 ．
三、解答题
19．（1）先化简，再求值:（a-2）2+a（a+4），其中a=；
（2）在△ABC中，D，E分别是AB,AC上的一点，且DE∥BC，，BC=12，求DE的长.
20．如图，在矩形中，，，在上，且，在边是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点有几个？并计算出的长．
21．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：写出的值．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值．
22．如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．
(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3，2)，则点B的坐标为____________；
(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；
(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP的周长为_______．
23．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－3，1)，C(－1，1)，以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A′B′C′.画出放大后的图形，并写出A′，B′，C′的坐标．
24．如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD=2，BD=4，AC=2．求证：△ACD∽△ABC．
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