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湘教版九年级上册数学同步练习卷 2.1 一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于的方程是一元二次方程，则值为（ ）
A．或 B． C． D．且
2．下列方程中，是一元二次方程的有( )
①x2＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③3x2＝x；④2x(x＋4)－2x2＝0；⑤(x2－1)2＝9；⑥－1＝0.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是（ ）
A．1，3，5 B．1，–3，0
C．–1，0，5 D．1，3，0
5．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
6．已知m是一元二次方程的根，则代数式的值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
8．关于的一元二次方程有一个根是，则
A．1 B．-1 C．±1 D．0
9．方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列一元二次方程的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为
A． B．0 C．1 D．或1
12．已知，下列结论正确的个数为（ ）
①若是完全平方式，则；
②的最小值是2；
③若n是的一个根，则；
④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．方程是关于的一元二次方程，则 ．
14．已知m是方程－2ｘ－3＝0的一个根，则代数式的值等于 ．
15．若关于x的一元二次方程的一个根是3，则的值是_________．
16．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
17．若关于x的一元二次方程（）的一个解是，则的值是 ．
三、解答题
18．先化简，再求值：，其中是方程的根．
19．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；
(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
20．求证：关于的方程，无论k取任何值，都有两个不相等的实数根．
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湘教版九年级上册数学同步练习卷
2.1 一元二次方程
一、单选题
1．关于的方程是一元二次方程，则值为（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】C
【详解】解析：由题意得，
解得，
2．下列方程中，是一元二次方程的有( )
①x2＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③3x2＝x；④2x(x＋4)－2x2＝0；⑤(x2－1)2＝9；⑥－1＝0.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【详解】分析：
根据“一元二次方程的定义”进行分析判断即可.
详解：
方程①是一元二次方程；
方程②不是一元二次方程，因为题中没有说明；
方程③是一元二次方程；
方程④化简后为：，故原方程不是一元二次方程；
方程⑤可化为，故原方程不是一元二次方程；，
方程⑥不是一元二次方程；
综上所述，6个方程中只有方程①③是一元二次方程，共2个.
故选A.
点睛：熟记一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，且含未知数的项的次数最高为2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为”是解答本题的关键.
3．将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【详解】解：，
即，
∴二次项的系数和一次项系数分别是，，
的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4．把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是（ ）
A．1，3，5 B．1，–3，0
C．–1，0，5 D．1，3，0
【答案】B
【详解】试题解析：∵x（x+2）=5x，
∴x2+2x-5x=0，
∴x2-3x=0；
∴a=1，b=-3，c=0．
5．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若，则的值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】B
【详解】∵，
∴，，
∴
6．已知m是一元二次方程的根，则代数式的值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【详解】解：∵m是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴．
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A，方程含有两个未知数，不是一元二次方程；B，分母上有未知数，不是一元二次方程；C，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；D，经整理后得，是一元一次方程；
8．关于的一元二次方程有一个根是，则
A．1 B．-1 C．±1 D．0
【答案】B
【详解】试题解析：把x=0代入原方程得到1-a2=0，
解得：a=±1，
∵a-1≠0，
∴a≠1，
9．方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A．x2+=1是分式方程，故此选项错误；
B．ax2+bx+c=0（a≠0），故此选项错误；
C．（x+1）（x+2）=1是一元二次方程，故此选项正确；
D．3x2﹣2xy﹣5y=0是二元二次方程，故此选项错误．
10．下列一元二次方程的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：①，是一元二次方程；
②，含有2个未知数，不是一元二次方程；
③，不是整式方程，故不是一元二次议程；
④，是一元二次方程；
⑤，是一元二次方程．
所以一元二次方程的个数为3个．
11．关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为
A． B．0 C．1 D．或1
【答案】A
【详解】解：把x=0代入方程得：
|a|-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
12．已知，下列结论正确的个数为（ ）
①若是完全平方式，则；
②的最小值是2；
③若n是的一个根，则；
④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①∵是完全平方式，
∴，
∴，故结论正确；
②∵，而，
∴，
∴的最小值是2，故结论正确；
③∵
把代入，得：
，
即，
此时，
∴，即，
∴，
∴故结论错误；
④∵，
∴，
∴，故结论错误；
二、填空题
13．方程是关于的一元二次方程，则 ．
【答案】
【详解】解：由题意，得
|m|=2，且m-2≠0，解得m=-2，
14．已知m是方程－2ｘ－3＝0的一个根，则代数式的值等于 ．
【答案】-11
【详解】试题分析：因为ｍ是方程－2ｘ－3＝０的一个根，所以把m代入方程可得：，所以，所以．
15．若关于x的一元二次方程的一个根是3，则的值是_________．
【答案】
【详解】解：依题意，把代入，
得，
那么，
即，
16．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
【答案】2021
【详解】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
，
17．若关于x的一元二次方程（）的一个解是，则的值是 ．
【答案】2010．
【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程（）的一个解是，∴，则，∴=．故答案为2010．
三、解答题
18．先化简，再求值：，其中是方程的根．
【答案】，
【详解】解：
，
是方程的根，
，
，
原式
．
19．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；
(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
【答案】(1)16，20；，4n＋4
(2)存在，见解析
【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9
图3的白砖数量为12+4=16
图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16
图4的白砖应比图3上下各多一行
得图4白砖的数量为：16+4=20
图1灰砖的数量为1
图2灰砖的数量为4
图3灰砖的数量为9
图4灰砖的数量为16
得图灰砖的数量为
图1白砖的数量为8=
图2白砖的数量为12=
图3白砖的数量为16=
图4白砖的数量为20=
得图白砖的数量为
故答案为：16，20；，4n＋4．
（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1
∴白砖数量为，灰砖数量为
∴=
∴
∴
∴，或（舍去）
故当时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1
20．求证：关于的方程，无论k取任何值，都有两个不相等的实数根．
【答案】见解析
【详解】证明：关于的方程，
△，
，
，
△恒成立，
无论取任何值，都有两个不相等的实数根．
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